五道有关近似值计算习题及答案详解三

五道有关近似值计算习题及答案详解三1.切线法计算x^3+1.7x^2+8.6x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001。2.sin29°的近似计算3.切线法计算8x^3-42x^2+40=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001。4.四种方法计算√8884的近似值5.√100.201的近似计算1.切线法计算x^3+1.7x^2+8.6x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算x^3+1.7x^2+8.6x-1.2=0的实数近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=x^3+1.7x^2+8.6x-1.2，对x求导有：f'(x)=3x^2+3.40x+8.6，f''(x)=6x+3.40。当x=0时，f(x)=f(0)=-1.2<0，当x=1时，f(x)=f(1)=1+1.7+8.6-1.2=10.1000>0，可知在区间[0,1]上必有实数根，下面讨论根的唯一性：在区间[0,1]上，对于f'(x)=3x^2+3.40x+8.6，其对应方程3x^2+3.40x+8.6=0的判别式为：△=(3.40)^2-4*3*8.6=4*(1.7^2-3*8.6)=-4*22.91<0，则f'(x)=3x^2+3.40x+8.6＞0，所以函数f(x)为增函数，故方程x^3+1.7x^2+8.6x-1.2=0在[0,1]上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=x0-f(x0)/f'(x0)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=1-f(1)/f'(1)=1-10.1000/15.0000=0.327;x2=0.327-f(0.327)/f'(0.327)=0.327-1.8289/10.0326=0.145;x3=0.145-f(0.145)/f'(0.145)=0.145-0.0858/9.1561=0.136;x4=0.136-f(0.136)/f'(0.136)=0.136-0.0036/9.1179=0.136。至此，可知f(0.136)≈0.0036>0，f(0.135)≈-0.0056＜0，所以此时可以以x=0.136或者x=0.135为方程根的近似值，其误差不超过0.001。2.sin29°的近似计算主要内容：详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin29°近似值的主要思路和步骤。主要公式：(1)sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,(2)y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。方法一：微分法计算∵(sinx)´=cosx∴dsinx=cosxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=29°=30°+△x,△x=-0.017。则：sin29°≈sin30°+cos30°*(-0.017)，≈sin30°+cos30°*(-0.017)，≈0.485。注意：本题中取x0为30°，当29°越接近30°时，近似值精确度越高。方法二：泰勒公式计算(1)sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!,cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^n*x^2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。(2)sinx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n+1)/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)^n*(x-π/6)^(2n)/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)^2/2!-√3(x-π/6)^3/3!+(x-π/6)^4/4!+√3(x-π/6)^5/5!-...]。(3)当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)^3/3!]-(x-π/6)^2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π/6)^2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)^2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)^2-√3(x-π/6)]对于本题：x-π/6=29π/180-π/6≈(-0.017),则：sin29°≈1/2+(√3/12)*(-0.017)*(6-(-0.017)^2-√3*(-0.017))≈0.485。3.切线法计算8x^3-42x^2+40=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算方程8x^3-42x^2+40=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=8x^3-42x^2+40，当x=-1.7时,f(-1.7)=8*(-1.7)^3-42*(-1.7)^2+40=-120.7＜0，当x=0时,f(0)=8*0-42*0+40=40＞0，可知在区间(-1,0)上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=12*2x^2-6*14x=6x(2*2x-14)，在区间(-1.7,0)上，对于f'(x)=6x(2*2x-14)>0，则f(x)为增函数,故方程8x^3-42x^2+40=0在(-1.7,0)上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-1.7-f(-1.7)/f'(-1.7)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-1.7-f(-1.7)/f'(-1.7)=-1.7--120.7/212.16=-1.131,x2=-1.131-f(-1.131)/f'(-1.131)=-1.131+25.299/125.704=-0.930,x3=-0.930-f(-0.930)/f'(-0.930)=-0.930+2.761/98.878=-0.902,x4=-0.902-f(-0.902)/f'(-0.902)=-0.902+0.042/95.294=-0.902,至此，可知可以以x=-0.902为方程根的近似值，其误差不超过0.001。4.四种方法计算√8884的近似值※.线性穿插法计算近似值设√8884=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：√8836=94,√8884=x,√9025=95,用线性穿插得：(8884-8836)/(9025-8884)=(x-94)/(95-x)48(95-x)=141(x-94)189x=17814x=5938/63≈94.2539.※.微分法计算近似值∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x）对于本题有：√8884-√8836=(8884-8836)/(2√8836)√8884=√8836+48/(2*94)√8884=94+12/47≈94.2553.※.极限法计算近似值原理为当x趋近无穷小时，有(1±x)^a≈1±ax，其中a为不为1的常数。对于本题:√8884=√(8836+48）√8884=√[8836(1+48/8836）]=94√(1+48/8836）=94*[1+48/(2*8836)]=94+12/47≈94.2553.※.泰勒展开式计算近似值∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+O(x^3)∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2+O(x^3)其中O(x^3)表示x的三次无穷小。对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)。即：f(x)≈f(x0)+(1/2)x0^(-1/2)(x-x0)-(1/8)x0^(-3/2)*(x-x0)^2。对于本题，x=8884，x0=8836,x-x0=48,代入得：√8884≈√8836+(24/1)*8836^(-1/2)-(1/8)*48^2*8836^(-3/2)≈94+(24/1)*94^(-1)-(1/8)*48^2*94^(-3)≈94+12/47-48^2/(8*94^3)即：√8884≈94.2549。5.√100.201的近似计算主要内容：本文通过微分法、无穷小替换法、泰勒展开法，介绍计算√100.201近似值的主要思路和步骤。※.微分法计算∵y=√x，∴dy=dx/2√x,对于本题，则有：△y≈(1/2√x)△x，此时有：√100.201≈√100+△y=10+(1/2√100)△x。对于本题有：△x=100.201-100=0.201,代入上式：√100.201≈10+(1/2√100)*0.201=10+0.201/(2*10)=10.010050。即为此时用微分法计算出的近似值。※.无穷小替换法当x趋近于0时，有lim(x→0)(1+x)^n=lim(x→0)1+nx,则二者近似相等，即(1+x)^n≈1+nx。对于本题，变形如下：√100.201=√(100+0.201)=√[100(1+0.201/100)]=√100*√[(1+0.201/100)]≈10*(1+0.201/200)=10.010050。※：泰勒公式计算根据泰勒幂级数展开，有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(