二项式定理(解析版)

第=page44页，共=sectionpages44页6.3.1二项式定理【基础巩固】1．在的展开式中x32的系数为（）A．144 B．136 C．128 D．121 【答案】A【解析】，

令，得，所以.

故选：A.2．在二项式2xA．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【解析】二项式展开式的通项为：Tr+1=C6r2x6−r−x故选：B.3．的展开式中常数项为（）A．120 B．−120 C．180 D．−【答案】D【解析】x−32x2−1x6=x2x2−1x6−3故选：D.4．的展开式中的系数为（）A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D【解析】，

这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现，

所以的系数为C64(−1故选：D.5．（多选）对于，下列判断正确的是（）A．对任意n∈N∗，展开式中有常数项

B．存在n∈N∗，使得展开式中有常数项

C．对任意n∈N【答案】BD【解析】的展开式的通项为Tr+1=，

令7r−2n=0，得r=2n7，即当是7故选：BD.6．的展开式中的系数为________（用数字作答）.【答案】−【解析】的通项公式为，

令4−3r=1，则，则系数为C4故答案为：−327．在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为______.（用数字作答）【答案】160【解析】由二项式的展开式的通项为，

可得展开式的第四项为，因为二项展开式的第四项为常数项，所以n−6=0，解得.该常数项为.故答案为：1608．已知在的展开式中，第项为常数项．

(1)求的值；

(2)求展开式中有理项的个数，并指明是展开式的第几项．【答案】见解析【解析】(1)已知二项展开式的通项．

因为第项为常数项，所以当k=8时，2n−5k2=0，解得．

(2)要使20−5k2∈Z，只需为偶数，由于，k∈Z，故，共个，

因此有理项分别为第、、、、、【能力拓展】9．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为a=bmodm．若a=C300+C301·2+A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】A【解析】由二项式定理得a=C300+C301·2+C302·22+⋯+C3030230，

又

因为故选：A.10．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME−14”的下方展示的是八卦中的四卦——3,7,4,4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B【解析】由进位制的换算方法可知，八进制数77⋯7107换算成十进制数为810−1．

根据二项式定理，可得

，

因为(−2)9是10的倍数，

所以换算后十进制数的末尾数字为的末尾数字，由，

故选：B．11．在的展开式中按的升幂排列的第3项是__________．【答案】−【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为x2项，

又1−2x4的二项展开式的通项公式为，

1+3x3的二项展开式的通项公式为，【素养提升】12．某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:

(1)计算：；(请用数字作答)

(2)若n∈N∗，且n⩾3，证明：；

(3)设数列a0，a1，a2，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的n∈N∗，函数【答案】见解析.【解析】(1)原式

=7(C70+C71+C72+C73)=7(1+7+2