平面几何中的向量方法(解析版)

第=page33页，共=sectionpages77页6.4.1平面几何中的向量方法【基础巩固】1．已知四边形中，AB=DC，，∠BAD=60∘，则四边形一定是（A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D【解析】由AB=DC，则且，即四边形是平行四边形，

又，∠BAD=60∘，则△ABD为等边三角形，所以四边形是菱形.2．如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知MP//QN，，PQ=4，QN=6，，求小明家到学校的位移大小是（）

A．15 B． C．318 D．【答案】D【解析】由题意可得，

所以①，

因为，设其夹角为，所以，

又MP//QN，所以，

所以①，所以.故选：D.3．已知中，，，则此三角形为（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B【解析】如下图所示：

设M为AC中点，则，

所以BM⊥AC，即为等腰三角形，

又，所以，

即ABAB2+ACAC故选：B.4．如图，在中，，，，D是BC的中点，CE⊥AB，AD与CE交于点F.则cos∠CFD=（）

A．25719 B．5719 C．【答案】D【解析】由CE⊥AB，则，

且，得，

又是的中点，即是中线，则，

则，得AD=372，

所以

=1258AB·AC-故选：D．5．（多选）已知平面向量OA,OB为非零向量，且满足，则（）A．OA,OB夹角的取值范围是0,π6

B．OB的取值范围是1,3

【答案】ABD【解析】由，

若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示，

由图，当与圆相切时，即最大∠AOB=π6，最小显然为0，

所以，A对；

当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知1⩽|OB|⩽3，B对；

如图，若轴，由，

显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故1⩽|OD|⩽3，而，

所以OA·OB的取值范围是，C错；

如图，若是中点，则，则，

显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则32⩽|OC|⩽52，

所以，D对.故选：ABD.6．已知向量a,b满足，则_____.【答案】1【解析】如图：

设OA=a，OB=b，作平行四边形，则，BA=a-b，

因为，即，所以平行四边形为矩形.

又，所以∠BOC=π3故答案为：7．在平面四边形中，，若的面积是△BCD的面积的2倍，则的长度为______.【答案】【解析】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴，

以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.

又

则.

过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则.

又注意到△AHE∼△CGE，则AEEC=2.设，则，

则x1-23,y1-2=130,-4⇒E23,23.

注意到B故答案为：8．已知三个点．

(1)求证：；

(2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值．【答案】见解析【解析】(1)由，则，

又，即AB⊥AD，则.

(2)，四边形为矩形，∴DC=AB．

设C点坐标为(x,y)，则，

，解得x=5y=0，故点坐标为，

由于，故，

又，设与的夹角为，则cosθ=AC·BD|AC||BD|=1525=3【能力拓展】9．已知a，b是单位向量，且a·b=12．若平面向量满足，则pA．223 B． C．3 D【答案】B【解析】由题意，得，设向量a、b的夹角为θ，

因为a·b=12，所以cosθ=12，故．

以O为原点，以a方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

使b的起点与O重合，终点在第一象限，则a=1,0，，

设p=10．设为两个非零向量a,b所成的角，已知对任意，|a-tb|的最小值为12|aA．π6 B．

C．π6或5π6 D．【答案】C【解析】令，如下图示，|a-tb|即为线段的长度，

由对任意，|a-tb|的最小值为12|a|，即，而∠AOB=θ，

显然AC⊥OB时，线段最短，此时，

故选：C.11．如图，ΔAB1C1,ΔB1B2C2,【答案】【解析】由ΔAB1C1,ΔB1B2C2,ΔB2B3C3是三个边长为1的等边三角形，

所以为等腰三角形，∠AB1C2【素养提升】12．如图所示，在中，AB=2，，∠BAC=120∘，BD=2DA，CE=2EB．

(1)求AE·CD的值．

(2)线段上是否存在一点，使得CD⊥AP?若存在，求的值；若不存在，说明理由．

(3)若是△【答案】见解析【解析】(1)AE=AB+BE=AB+13