九年级数学下册《锐角三角函数》第二课时（余弦、正切）教案

九年级数学下册《锐角三角函数》第二课时（余弦、正切）教案

一、教学设计理念与理论依据

（一）核心指导思想

本节课的设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深度践行“以学生发展为本”的育人理念。教学全过程致力于促进学生数学核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析——的协同发展。我们摒弃传统的“定义-记忆-练习”的机械教学模式，转向建构主义学习理论指导下的“情境-探究-生成-应用”的深度认知路径。教师角色从知识的传授者转变为学习活动的设计者、组织者和引导者，学生则是知识的主动建构者和意义的积极发现者。

（二）单元整体分析

锐角三角函数是沟通几何与代数的关键桥梁，是学生从恒定几何关系迈向变量函数关系的思维跃升点。在本单元中，第一课时已学习正弦（sinA），学生初步经历了在直角三角形中，从“边角对应关系”抽象出“函数关系”的数学化过程，建立了“角度确定，比值确定”的函数思想萌芽。本课时（余弦、正切）绝非孤立的新知传授，而是对锐角三角函数概念的结构化完善与体系化建立。通过类比正弦的研究路径，学生将自主构建余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，深刻理解三个函数之间的内在联系与区别，从而完整形成对锐角三角函数的认知图式，为后续解直角三角形、三角函数的应用以及高中三角学的深度学习奠定坚实的思维基础。

（三）跨学科视野与数学文化浸润

教学设计将有机融入跨学科视角：

1.物理学视角：以斜面问题、力的分解为情境，体现余弦、正切在解决物理问题中的工具价值。

2.工程学视角：引入坡度、仰角、俯角等工程测量中的实际问题，强化数学的应用性。

3.数学史视角：简要追溯“弦表”到“余弦”、“余切”的历史演变，介绍我国古代数学家的工作，增强文化自信，让学生理解数学概念是人类在长期实践中抽象与优化的结晶。

二、教学背景分析

（一）学情分析

认知起点：九年级学生已熟练掌握直角三角形各边关系（勾股定理）、相似三角形的性质与判定，并初步理解了正弦的概念及其函数内涵。具备一定的观察、猜想、归纳和演绎推理能力。

认知障碍预判：

1.概念混淆：容易混淆三个三角函数的定义式，尤其是正切与正弦、余弦分母不同，易记错。

2.符号抽象：理解“cosA”、“tanA”作为整体符号代表一个比值，而非乘法运算，仍需强化。

3.函数思想薄弱：对于“锐角A的度数一旦确定，其cosA、tanA值唯一确定”这一函数本质，理解可能停留在表面，未能内化为分析问题的思维工具。

4.几何直观与代数运算脱节：在复杂图形中，难以快速、准确地识别目标直角三角形及目标边（邻边、对边）。

发展区定位：基于以上分析，本节课的“最近发展区”在于：引导学生从正弦的研究范式（情境-探究-定义-性质-简单应用）出发，通过自主与合作探究，实现余弦、正切概念的类比迁移与意义建构，并在此过程中深化对函数思想的理解，提升数形结合能力。

（二）教学内容分析

本质剖析：余弦和正切是刻画直角三角形中锐角与两边比值之间函数关系的另外两个核心数学模型。余弦（cosA=∠A的邻边/斜边）侧重于锐角与斜边及其邻边的关系；正切（tanA=∠A的对边/∠A的邻边）则独特地关联了两条直角边，是斜率概念的雏形。二者与正弦共同构成了一个完备的“工具箱”，使得我们可以从任意两边之比去把握角的大小，或由角的大小推断边的关系。

知识结构图：

锐角A的三角函数

│

├──正弦(sinA)=对边/斜边

├──余弦(cosA)=邻边/斜边

└──正切(tanA)=对边/邻边

三者关系：sin²A+cos²A=1；tanA=sinA/cosA（本课时暂不揭示，为伏笔）。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.理解锐角余弦（cosA）、正切（tanA）的概念，能准确叙述其定义，并正确书写符号。

2.能根据定义，在直角三角形中，已知两边求出锐角的余弦、正切值，或已知一锐角的余弦、正切值及一边，求出其他边。

3.初步掌握使用计算器求锐角的余弦、正切值及由值求对应锐角度数的方法。

（二）过程与方法

1.经历从具体情境中抽象出余弦、正切概念的过程，体会类比、迁移的数学思想方法。

2.通过探究“当锐角A固定时，其余弦、正切值是否固定”的活动，深化对三角函数函数本质的理解。

3.在解决实际问题的过程中，发展数学建模能力和数形结合能力。

（三）情感、态度与价值观

1.通过探究获得新知，体验数学发现与创造的乐趣，增强学习数学的自信心。

2.感受三角函数来源于生活又服务于生活的价值，体会数学的实用美和严谨性。

3.在小组合作学习中，培养乐于交流、敢于质疑的科学态度。

四、教学重难点

1.教学重点：锐角余弦、正切概念的建立及其含义的理解。

2.教学难点：

1.3.从函数角度理解余弦、正切，即理解“对于每一个确定的锐角A，都有唯一确定的cosA（或tanA）与之对应”。

2.4.在复杂图形或实际问题中，灵活构造或识别直角三角形，并正确找到目标角的邻边、对边。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示）、实物投影仪、教学三角板、导学案。

2.学生准备：复习正弦定义及性质，科学计算器，直尺，量角器。

3.环境准备：学生按异质分组，4-6人一组，便于合作探究。

六、教学过程实施

第一阶段：情境再现，温故孕新（预计时间：8分钟）

活动一：知识锚点唤醒

1.问题导入：（PPT展示一幅宏伟山坡的图片，山坡上有一条笔直的登山步道）如图，为了测量这座山坡的坡度（即坡角α的正切值），登山队在山脚A点测得山坡上B点的仰角为30°，前进100米到达C点，再次测得B点的仰角为45°。在第一课时，我们知道sin30°=1/2，这能直接帮助我们求出山坡的坡度吗？

1.2.学生思考：意识到正弦无法直接解决“对边与邻边之比”（坡度）的问题，产生了认知冲突和学习新函数的心理需求。

2.3.教师引导：这启示我们，除了“对边与斜边之比”，直角三角形中边与角之间还有其他重要的定量关系等待我们去发现。

4.复习回顾：请一位学生板演，在Rt△ABC中，∠C=90°，写出∠A的正弦定义式，并说明其函数意义。

1.5.板书：sinA=∠A的对边/斜边=a/c。

2.6.意义强调：对于每一个确定的锐角A，无论直角三角形大小如何，sinA的值都是一个固定常数。这是正弦的函数本质。

设计意图：以真实的测量问题创设情境，使学生感受到单一的正弦函数在解决问题时的局限性，从而自然激发探索新知的欲望。复习正弦不仅巩固旧知，更重要的是回顾其研究路径（定义-函数性），为余弦、正切的类比探究提供清晰的“方法论”支架。

第二阶段：合作探究，概念生成（预计时间：22分钟）

活动二：余弦（cosA）的发现与定义

1.探究任务一（小组合作）：

1.2.素材：每组发放两个大小不同的含30°角的直角三角板（可画在学案上）。

2.3.任务：

a.分别测量或利用勾股定理计算，求出∠A=30°时，∠A的邻边与斜边的比值。

b.改变直角三角形的大小（如缩放），但保持∠A=30°，这个比值变化吗？

c.猜想：对于任意锐角A，这个“邻边/斜边”的比值是否也只与∠A的大小有关？

3.4.学生活动：测量、计算、比较、小组内讨论。学生通过具体数据（如30°角，比值约为√3/2≈0.866）发现比值恒定。

4.5.几何画板验证：教师用几何画板动态演示：在Rt△ABC中，固定∠A的度数，拖动直角顶点改变三角形大小，实时显示“邻边/斜边”的比值，验证其不变性。

6.概念定义：

1.7.学生归纳：类比正弦，由学生尝试给出定义：“在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦”。

2.8.符号引入：教师规范：记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边。

3.9.语言辨析：强调“cosA”是一个整体，表示一个比值。以cos30°为例，它是一个数值，约为0.866，而非“cos”乘以“30°”。

4.10.板书：在正弦定义旁，对应地板书余弦定义和表达式（cosA=b/c）。

活动三：正切（tanA）的发现与定义

1.探究任务二（小组接力探究）：

1.2.问题驱动：回到开场“山坡坡度”问题。坡度i=竖直高度/水平宽度，即坡角α的“对边/邻边”之比。这个比值有什么特性？

2.3.自主探究：学生沿用上述方法，选择∠A=30°或45°，探究“对边/邻边”的比值是否固定。

3.4.发现与命名：学生通过计算发现该比值也固定。教师揭示：这个比叫做∠A的正切。

4.5.符号引入：记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。

5.6.板书：完成三角函数的“全家福”：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b。

7.深度辨析与联系：

1.8.提问：三个函数定义中，哪条边是“公共的”？(斜边)哪个函数不涉及斜边？(正切)

2.9.“对”“邻”相对性：在Rt△ABC中，∠B的余弦、正切是什么？请学生写出：cosB=a/c,tanB=b/a。强调“对边”“邻边”是相对于所研究的锐角而言的。

3.10.初步关系感知：观察三个表达式，你能发现sinA,cosA,tanA之间有什么关系吗？(tanA=sinA/cosA)教师肯定发现，并指出这将是下节课深入研究的优美结论。

设计意图：本环节是概念建构的核心。通过两次结构化的探究活动，完整复现了从具体实例→数据观测→猜想→验证→抽象定义→符号表示的数学概念形成全过程。学生不再是定义的被动接受者，而是概念的主动发现者。小组合作与几何画板动态验证相结合，既培养了合作交流能力，又以技术手段直观揭示了函数本质，有效突破了难点。

第三阶段：剖析本质，深化理解（预计时间：10分钟）

活动四：函数本质再认识与计算器初探

1.函数性讨论：

1.2.提问：为什么我们说余弦、正切和正弦一样，都是∠A的函数？

2.3.学生阐述：因为对于每一个确定的锐角A，都有唯一确定的cosA值和tanA值与之对应。

3.4.教师升华：我们可以把锐角A看作“自变量”，把cosA、tanA看作“因变量”。这种关系刻画了角度与边长比值之间的确定性依赖关系，是函数思想的完美体现。三角函数的定义域是0°<∠A<90°。

5.特殊角三角函数值：

1.6.挑战：请推导或根据含30°、45°、60°的特殊直角三角形，填写下表。

2.7.学生完成学案表格：

锐角A

sinA

cosA

tanA

30°

1/2

√3/2

√3/3

45°

√2/2

√2/2

1

60°

√3/2

1/2

√3

3.8.记忆策略指导：观察规律（如sin值随角度增大而增大，cos值减小，tan值增大）；利用三角板图形记忆。

9.计算器使用：

1.10.教师示范：如何使用科学计算器求cos50°、tan22.5°；已知cosα=0.6428，如何求锐角α。

2.11.学生操作练习：计算cos72°、tan15°，已知tanβ=2.1445，求β（精确到1°）。

设计意图：本环节旨在将新概念从“具象定义”提升到“抽象本质”。通过函数性讨论，将分散的概念点串联成线，形成更高层次的数学观念。特殊角函数值的推导与记忆，是后续精确计算的基础。计算器的引入，则将学生从繁复的近似计算中解放出来，聚焦于概念理解和问题建模，体现技术作为认知工具的价值。

第四阶段：多维应用，能力进阶（预计时间：12分钟）

活动五：基础应用——直接运用定义

【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。

(1)求cosA和tanB的值。

(2)若AB=10，BC=6，求cosB和tanA的值。

1.学生分析：先由勾股定理求第三边，再根据定义找准目标角的邻边、对边。

2.教师强调：解题规范：①“在Rt△ABC中，∠C=90°”为条件前提；②写出定义式；③代入数值计算。

【例题2】在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，求cosB和tanB的值。

1.思维进阶：需要作辅助线（底边上的高AD）构造直角三角形，将解等腰三角形问题转化为解直角三角形问题。

2.学生板演，教师点评构造直角三角形的策略及“转化”思想。

活动六：综合应用——解决实际问题

【问题】如图所示，一座古塔AB的高度未知。在离塔底B点50米的C处，用测角仪测得塔顶A的仰角为40°，测角仪高CD=1.5米。求古塔AB的高度（精确到0.1米）。

1.建模引导：

1.2.实物抽象：将实际问题抽象为几何图形（画出Rt△ADE，其中∠E=90°，∠D=40°，DE=BC=50米）。

2.3.模型选择：已知∠D的邻边DE，求对边AE，应选用正切函数：tan40°=AE/DE。

3.4.求解与还原：计算AE，再加上测角仪高CD，得到塔高AB。

5.学生独立完成，教师巡视指导，关注建模过程的规范性。

设计意图：应用环节设计为两个梯度。基础应用紧扣定义，巩固边角对应关系，特别是“对边”“邻边”的准确识别。综合应用选取典型实际问题，完整呈现“审题→抽象→建模→求解→解释”的数学建模过程，培养学生将现实问题“翻译”为数学语言并求解的能力，凸显数学的应用价值。

第五阶段：总结反思，结构升华（预计时间：6分钟）

活动七：梳理与展望

1.知识网建构（学生自主总结，教师补充完善）：

1.2.今天我们学习了哪两个新的锐角三角函数？它们的定义是什么？

2.3.正弦、余弦、正切三者有何异同？（列表对比：定义式、涉及边、函数关系等）

3.4.它们共同的本质是什么？（函数关系，比值只与角的大小有关）

5.思想方法提炼：

1.6.我们是如何学习余弦和正切的？（类比正弦的研究思路）

2.7.在解决问题时，我们经常需要做什么？（构造直角三角形，实现转化）

3.8.从实际问题到数学结论，我们经历了怎样的过程？（从具体抽象出模型，即数学建模）

9.拓展延伸：

1.10.已知sinA、cosA、tanA中任意一个值，能否求出另外两个？它们之间是否存在更简洁的恒等关系？

2.11.如果没有直角三角形，对于一个锐角，它的三角函数值还有意义吗？（为高中任意角三角函数埋下伏笔）

3.12.布置分层作业：基础题（定义应用）；提高题（综合应用与探究）；阅读材料（三角学的历史与发展）。

设计意图：通过系统化的总结，引导学生将零散的知识点整合成结构化的知识网络，实现从“学会”到“会学”的转变。思想方法的提炼高于具体知识，是促进学生终身数学素养发展的关键。富有挑战性的设问和分层作业，则关照了不同层次学生的发展需求，并将学习引向更广阔的未来空间。

七、板书设计

主板书区域：

28.1锐角三角函数（二）——余弦、正切

一、余弦(cosine)

定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，

cosA=∠A的邻边/斜边=b/c

函数性：∠A确定→cosA值唯一确定。

二、正切(tangent)

定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，

tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b

函数性：∠A确定→tanA值唯一确定。

三、特殊角的三角函数值

∠A

sinA

cosA

tanA

30°

1/2

√3/2

√3/3

45°

√2/2

√2/2

1

60°

√3/2

1/2

√3

副板书区域：

1.例题解答过程。

2.学生探究中的关键发现或疑问。

3.实际问题建模的示意图。

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流的积极性、提出问题的能力。

2.3.问答反馈：通过层层递进的问题链，实时诊断学生对概念的理解程度。

3.4.练习反馈