高三数学《随机变量及其分布》练习题

第1页《随机变量及其分布》练习题一．选择题1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为34，乙在每局中获胜的概率为14，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数X的期望E（A．94 B．52 C．112．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣2）＝P（X≥2a﹣2），则（ax﹣1）5展开式中各项系数之和为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣643．已知随机变量X～N（0，1），P（X≤﹣1）＝P（X≥k），则k＝（）A．0 B．1 C．2 D．34．假设某次考试的成绩服从正态分布N（85，92）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线约为（若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.95）（）A．76 B．88 C．94 D．1035．随机变量ξ～B(5，12)，则DA．52 B．72 C．56．已知随机变量X服从二项分布B(5，12)，则EA．5 B．8 C．10 D．137．设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜3）＝0.8，则P（1＜X＜2）＝（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.98．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N（50，0.22），质检员随机抽取100个零件，尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为（）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827）A．68 B．75 C．82 D．959．已知事件A，B，且P(A)=56，P(B)=23，P(A|B)=12，则A．45 B．25 C．1310．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（172，4），则P（X≥168）≈（）（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9544）A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.977211．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（）A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.3612．下列结论中错误的是（）A．在回归模型中，决定系数R2越大，则回归拟合的效果越好 B．样本数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x9+1的方差为8，则数据x1，x2，⋯，x9的方差为2 C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.6，则P（3＜X＜4）＝0.2 D．具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为ŷ=0.4x−m，若样本点中心为（m，3），则13．某校期中考试的数学成绩X（满分：150分）服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≤65）+P（X＜115）＝1，则μ＝（）A．75 B．80 C．90 D．9514．已知随机变量ξ∼N（0，1），设函数f（x）＝P（﹣4x＜ξ＜4﹣4x），则f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．15．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2≤X＜6）＝0.4，则P（X＜2||X|＞2）（）A．15 B．13 C．1616．下列说法中正确的是（）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程ŷ=2+0.5x中，当变量x每增加一个单位时，yC．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.4 D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣217．下列说法不正确的是（）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据4x1，4x2，…，4xn的方差为32 C．设ξ～N（1，σ2）且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.2 D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于118．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为12和310，且对应维权成功的概率分别为45，9A．625 B．2780 C．2519．一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E（X）＝（）A．74 B．83 C．9420．设随机变量X服从正态分布N（0，1）．已知部分小概率值和相应的临界值如下表：α2.7063.8415.0246.6357.87910.828P（X2≥α）0.10.050.0250.010.0050.001若实数m满足P（m≤X＜3）＝0.025，则（）A．2.706＜m2＜3.841 B．3.841＜m2＜5.024 C．5.024＜m2＜6.635 D．6.635＜m2＜7.879

《随机变量及其分布》练习题参考答案与试题解析一．选择题题号1234567891011答案CABCCBAABDA题号121314151617181920答案CCBCCCBAB一．选择题1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止，设甲在每局中获胜的概率为34，乙在每局中获胜的概率为14，且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数X的期望E（A．94 B．52 C．11解：由题意知，离散型随机变量X的所有可能取值为2，4，故可以得到P(X=2)=(将上述数据代入期望公式可得：E(X)=2×5故选：C．2．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣2）＝P（X≥2a﹣2），则（ax﹣1）5展开式中各项系数之和为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64解：因为随机变量X服从正态分布，且P（X≤﹣2）＝P（X≥2a﹣2），所以−2+2a−22=1，解得设(3x−1)5令x＝1时，a0+a故选：A．3．已知随机变量X～N（0，1），P（X≤﹣1）＝P（X≥k），则k＝（）A．0 B．1 C．2 D．3解：已知随机变量X～N（0，1），则该正态分布曲线的对称轴为X＝0，又P（X≤﹣1）＝P（X≥k）则−1+k2=0，则故选：B．4．假设某次考试的成绩服从正态分布N（85，92）．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线约为（若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.95）（）A．76 B．88 C．94 D．103解：已知成绩服从正态分布N（85，92），则均值μ＝85，标准差σ＝9．A等级为成绩由高到低的前16%，因为P（X＞μ+σ）=1−P(μ−σ＜X≤μ+σ)所以A等级的分数线约为μ+σ＝85+9＝94．故选：C．5．随机变量ξ～B(5，12)，则DA．52 B．72 C．5解：因为随机变量ξ～B(5，1所以D(ξ)=5×1则D（2ξ+1）＝22D（ξ）＝4×5故选：C．6．已知随机变量X服从二项分布B(5，12)，则EA．5 B．8 C．10 D．13解：已知随机变量X服从二项分布B(5，1所以E(X)=5×1则E(2X+3)=2E(X)+3=2×5故选：B．7．设随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜3）＝0.8，则P（1＜X＜2）＝（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.9解：根据题意可知，X～N（2，σ2）且P（X＜3）＝0.8，所以P（X＜2）＝0.5，所以P（2＜X＜3）＝P（X＜3）﹣P（X＜2）＝0.8﹣0.5＝0.3，所以P（1＜X＜2）＝P（2＜X＜3）＝0.3．故选：A．8．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N（50，0.22），质检员随机抽取100个零件，尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为（）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827）A．68 B．75 C．82 D．95解：根据题意可知，μ＝50，σ＝0.2，∴P（49.8≤X≤50.2）＝P（50﹣0.2≤X≤50+0.2）≈0.6827，∵质检员随机抽取100个零件，∴尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为：100×0.6827≈68个．故选：A．9．已知事件A，B，且P(A)=56，P(B)=23，P(A|B)=12，则A．45 B．25 C．13解：事件A，B，且P(A)=56，P(B)=2∴P（AB）＝P（B）P（A|B）=2则P（B|A）=P(AB)故选：B．10．某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（172，4），则P（X≥168）≈（）（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9544）A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772接：由某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（172，4），可得P（X≥168）＝P（172﹣2×2≤X≤172）+P（X＞172）=1故选：D．11．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（）A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36解：设事件A表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件B1，B2，B3分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”，因为三个年级的教师人数之比为3：3：4，所以P(B因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，所以P（A|B1）＝40%＝0.4，P（A|B2）＝30%＝0.3，P（A|B3）＝35%＝0.35，所以P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）=3故选：A．12．下列结论中错误的是（）A．在回归模型中，决定系数R2越大，则回归拟合的效果越好 B．样本数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x9+1的方差为8，则数据x1，x2，⋯，x9的方差为2 C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.6，则P（3＜X＜4）＝0.2 D．具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为ŷ=0.4x−m，若样本点中心为（m，3），则解：对于A选项，决定系数R2越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确；对于B选项，样本数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x9+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x9的方差为(12)对于C选项，因为随机变量X服从正态分布X～N（3，σ2），所以均值μ＝3，所以正态曲线的对称轴为x＝3，因为P（X≤4）＝0.6，所以P（X＞4）＝1﹣0.6＝0.4，由对称性知，P（X≥3）＝0.5，所以P（3＜X＜4）＝0.5﹣0.4＝0.1，故C错误；对于D选项，因为经验回归方程过样本中心点，所以将（m，3）代入y＝0.4x﹣m中，得3＝0.4m﹣m，解得m＝﹣5，故D正确．故选：C．13．某校期中考试的数学成绩X（满分：150分）服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≤65）+P（X＜115）＝1，则μ＝（）A．75 B．80 C．90 D．95解：某校期中考试的数学成绩X～N（μ，σ2），P（X≤65）+P（X＜115）＝1，得P（X≤65）＝1﹣P（X＜115）＝P（X≥115），根据正态分布曲线的对称性可得μ=65+115故选：C．14．已知随机变量ξ∼N（0，1），设函数f（x）＝P（﹣4x＜ξ＜4﹣4x），则f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．解：随机变量ξ～N（0，1），则正态分布曲线关于ξ＝0对称，又函数f（x）＝P（﹣4x＜ξ＜4﹣4x），因为f（1﹣x）＝P[﹣4（1﹣x）＜ξ＜4﹣4（1﹣x）]＝P（4x﹣4＜ξ＜4x），因为ξ～N（0，1），所以根据对称性可知f（x）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于x=12对称，故排除当x=12时，f(1故选：B．15．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2≤X＜6）＝0.4，则P（X＜2||X|＞2）（）A．15 B．13 C．16解：已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2≤X＜6）＝0.4，则该正态分布的均值为2，其图象的对称轴为直线x＝2，则P（X＜2）＝P（X＞2）＝0.5，又P（2≤X＜6）＝0.4，由对称性可知P（X＜﹣2）＝P（X≥6）＝0.5﹣0.4＝0.1，由条件概率公式得P(X＜2||X|＞2)=P(X＜−2)故选：C．16．下列说法中正确的是（）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B．在线性回归方程ŷ=2+0.5x中，当变量x每增加一个单位时，yC．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.4 D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2解：对于A，已知数据从小到大排列为10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，由10×60%＝6，得这组数据的第60百分位数为14+162=15，对于B，线性回归方程ŷ=2+0.5x中，当变量x每增加一个单位时，ŷ对于C，随机变量X服从正态分布N（3，σ2），则μ＝3，由P（X≤4）＝0.7，得P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣P（X≤3）＝0.7﹣0.5＝0.2，则P（2＜X＜4）＝2P（3＜X＜4）＝2×0.2＝0.4，C正确；对于D，由η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ），D错误．故选：C．17．下列说法不正确的是（）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据4x1，4x2，…，4xn的方差为32 C．设ξ～N（1，σ2）且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.2 D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1解：对于A，将数据从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，9，又7×60%＝4.2，所以第60百分位数为6，故A正确；对于B，数据4x1，4x2，…，4xn的方差为42×2＝32，故B正确；对于C，因为ξ～N（1，σ2）且P（ξ＜0）＝0.2，则正态分布曲线的对称轴为ξ＝1，所以P（0＜ξ＜1）＝P（ξ＜1）﹣P（ξ＜0）＝0.5﹣0.2＝0.3，则P（1＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜1）＝0.3，故C错误；对于D，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故D正确．故选：C．18．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为12和310，且对应维权成功的概率分别为45，9A．625 B．2780 C．25解：设选择邮件投诉为事件A，维权成功为事件B，则P(B)=1P(AB)=3所以P(A|B)=P(AB)即在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为2780故选：B．