2026年山西运城市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页运城市2026年高考考前模拟测试高三数学试题2026.03本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．在中，，，则（

）A． B． C． D．3．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（

）A．－6 B．－3 C．3 D．64．已知直线，圆，则“”是“直线与圆相交”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．在平行四边形中，，则（

）A．3 B． C．6 D．6．若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（

）A． B． C． D．7．若函数的图象关于点对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知某圆锥的外接球的表面积是36，则该圆锥的体积的最大值是（

）A．32 B． C．64 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，且（），则（

）A． B． C． D．10．已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（

）A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是C．的最大值是 D．存在点，使得11．若函数的定义域为，且，，则（

）A． B．，C．是偶函数 D．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知一组数据5，a，，7，10的平均数为5，则这组数据的第30百分位数为______．13．如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______．14．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的两支分别交于，两点，且，若坐标原点到直线的距离为，则双曲线的离心率是______四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参加专业培训后，考核合格的概率为．(1)若志愿者，都参加了培训，求志愿者，中至少有1人通过培训考核的概率；(2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望．16．如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且．(1)证明：平面．(2)求多面体的体积．(3)求平面与平面夹角的余弦值．17．设正项数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式;(2)若，记数列的前n项和为，证明：．18．已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为．(1)求C的方程；(2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；(3)若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t．19．柯西不等式是一个重要不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用，柯西不等式的二维形式：对任意的实数都有，当且仅当时等号成立，已知函数．(1)当时，证明：．(2)已知有两个不同的零点．①求a的取值范围；②证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】因为，，所以.2．D【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得.【详解】因为，且，所以.又因为中，，由正弦定理得，所以.3．A【分析】先对进行求导，并求得，从而求得.根据导数的几何意义，可得到曲线在处的切线斜率.【详解】，得.所以，解得.所以.所以曲线在处的切线斜率为.4．B【详解】由，得，因为方程表示圆，所以，解得.所以圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，若直线与圆相交可得，则可得，解得.所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.5．D【分析】用、表示出、，再由数量积的运算律计算可得.【详解】在平行四边形中，，，所以.故选：D6．C【分析】设，由可求出的值，由可得，作出函数与的图象，数形结合可得出函数的零点个数.【详解】根据题意，设，则，即，所以，解得，所以，由可得，作出函数与的图象如图所示：由图可知，函数与有且只有三个交点，故函数的零点个数为.7．C【分析】先根据二倍角公式化简函数的表达式，然后根据余弦函数的对称中心计算即可.【详解】.因为，所以.令，得，所以函数的对称中心为.因为函数的图象关于点对称，所以，解得，取最大的整数.此时，所以的最大值为.8．B【分析】根据外接球的表面积，求出外接球的半径，建立圆锥的基本量和外接球半径的几何关系，结合导数求出圆锥体积的最大值.【详解】由题意可得：外接球的表面积，根据球的表面积公式，可得.设圆锥底面半径为，高为，由球的截面性质可知，，且.故圆锥的体积为.令，则.当，，单调递增.当，，单调递减.即当时，取得体积最大值，所以.9．AC【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，即，所以，解得.10．ACD【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得.【详解】如图：过点作于点，设，则，.对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确；对于B，因为圆经过点，所以圆的半径，所以圆的面积的最小值是，B错误；对于C，因为，所以，所以，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以C正确；对于D，，，化简得，得，即，再代入得，所以存在或使得成立，D正确.11．BCD【分析】利用赋值法计算可判断A，B；令可得，根据偶函数定义计算可判断C；利用赋值法结合C可得，分，及三种情况讨论可判断D.【详解】对于A，令，得，故A错误；对于B，令，得，因为，所以，即，所以当时，成立，故，，故B正确；对于C，令，得，即，所以，故函数是定义在上的奇函数，令，因为，所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确；对于D，令，得，当时，有，当时，有，由C可知，函数是定义在上的奇函数，所以当时，有，所以，当时，由A可知，，，即，此时成立，当时，，同理，当时，成立，所以当时，成立，故D正确.12．2【详解】因为数据5，a，，7，10的平均数为5，所以，解得，所以这组数据为，按从小到大顺序排列为,又，所以这组数据的第30百分位数为2.13．【详解】某片雪花的总侧枝数为，故它们位于同一主枝上的概率为.14．【详解】过作垂足为，则，，由，得，过点作于点Q，则，由O为的中点，得，因为为锐角，所以，有，得，所以，由双曲线的定义知，，即，解得，又，所以..，所以双曲线的离心率为.15．(1)(2)的分布列为：数学期望为1【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立，因此单个志愿者通过培训考核的概率为，则单个志愿者没有通过培训考核的概率为.因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”，因此所求概率.（2）由题意，服从超几何分布，的所有可能取值为，概率公式为，分别计算概率得，，，，因此的分布列为：所以数学期望为.16．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先由题意求证平面得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证；（2）依次求出和即可求解多面体的体积；（3）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解.【详解】（1）证明：因为平面平面，，且平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）由题意可知，所以由平面得平面，因为平面，平面，所以，所以由可知四边形是边长为2的正方形，所以，又，所以，所以多面体的体积为；（3）由平面和可建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，因为，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，所以，平面与平面夹角的余弦值为.17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明.【详解】（1）依题意，当时，，，则；当时，，，两式相减，整理可得，又为正项数列，故，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）证明：由（1）可知，所以，显然，当，则，即，此时，综上，成立.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程.（2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程.（3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出.【详解】（1）由题意可得：，即，由离心率，所以.故椭圆方程为：.（2）倾斜角为，可得斜率.设直线方程为：，与椭圆联立：代入得：，满足，即.则，.设，，则中点横坐标：，纵坐标：.消去参数得：，所以中点轨迹方程为：.（3）由题意可知直线：与椭圆交于,，设，，，，与椭圆联立方程：，消去可得.则，，根据，可得，即，整理得：，即，可得：，因为，为常数，则不恒成立.，则，得：.19．(1)证明见解析(2)①②证明见解析【分析】（1）利用导数工具研究函数单调性得到即可分析求证；（2）①问题化为有两个不同的正实根，构造函数并应用导数研究交点个数求参数范