数学直角三角形（1）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明及其应用3直角三角形（第1课时）问题1

本章我们已经从哪些方面探究了三角形？请尝试有条理地梳理这些知识，并与同伴进行交流。丰富的情境三角形三角形的全等三角形的基本要素及重要线段边、角三角形的内角和等于180°与等腰三角形有关的结论与等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论探索发现猜想证明概念性质判定应用回顾建结构，问题启思路回顾梳理，引出课题问题2我们曾经探索过直角三角形的哪些性质与判定方法？请与同伴进行交流，并在班级内分享交流结果。三角形的全等三角形的基本要素及重要线段边、角三角形的内角和等于180°与等腰三角形有关的结论与等边三角形有关的结论探索发现猜想证明概念性质判定应用角边三角形的高线、中线、角平分线回顾建结构，问题启思路与直角三角形有关的结论丰富的情境三角形我们曾经探索过直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。请你证明这一结论。梳理思证明，交流促完善CAB图1已知：如图1，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°。求证：

∠A＋∠B＝90°。

证明：在

Rt△ABC

中，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，

∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝180°－90°＝90°。

定理

直角三角形的两个锐角互余。梳理思证明，交流促完善

如图1，在

Rt△ABC

中，

∵∠C＝90°(已知)，符号语言：

∴∠A＋∠B＝90°。CAB图1如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请证明你的结论，并与同伴进行交流。梳理思证明，交流促完善已知：如图2，在

△ABC

中，∠A＋∠B＝90°。求证：△ABC

是直角三角形。CAB图2

证明：在

△ABC

中，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，

∠A＋∠B＝90°，

∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°。

∴∠C＝90°。

∴△ABC

是直角三角形。

定理

有两个角互余的三角形是直角三角形。如图2，在

△ABC

中，

∵∠A＋∠B＝90°(已知)，符号语言：

∴△ABC

是直角三角形。CAB图2梳理思证明，交流促完善直角三角形的三条边之间有什么样的数量关系？我们曾经利用什么方法得到这个结论？如果利用基本事实和已有定理，能够证明勾股定理吗？勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。梳理思证明，交流促完善

如图3，在

△ABC

中，

∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c(已知)，

符号语言：

∴a2＋b2＝c2。CAB图3acb在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三条边的平方时，我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论。你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流。尝试寻思路，交流促发展【尝试·交流】在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三条边的平方时，它是直角三角形吗？尝试寻思路，交流促发展已知：如图4，在

△ABC

中，AB2＋AC2＝BC

2。求证：△ABC

是直角三角形。CAB图4【尝试·交流】

证明：如图5，作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC，则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)。

∵AB2＋AC2＝BC2，

∴BC2＝B′C′2。

∴BC＝B′C′。

∴△ABC≌△A′B′C′

(SSS)。

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)。因此，△ABC是直角三角形。尝试寻思路，交流促发展C′A′B′图5【尝试·交流】

定理

如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。尝试寻思路，交流促发展如图6，在△ABC

中，

∵AB2＋AC2＝BC2(已知)，符号语言：

∴∠A＝90°。

∴△ABC

是直角三角形。CAB图6【尝试·交流】（1）观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。直角三角形角直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。边直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。交流寻共性，互逆验真假【观察·交流】（2）观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角。如果

a＝b，那么

a2＝b2；如果

a2＝b2，那么

a＝b。一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等。交流寻共性，互逆验真假上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流。【观察·交流】在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。交流寻共性，互逆验真假【观察·交流】

你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。例如，本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理。你还能举出一些互逆定理的例子吗？交流寻共性，互逆验真假【尝试·思考】原命题互换条件结论逆命题一定存在，但不一定“真”例：如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。假命题定理互换条件结论+是真命题逆定理稀有，一定“真”例：两直线平行，内错角相等；

内错角相等，两直线平行。互为逆定理性质判定交流寻共性，互逆验真假【尝试·思考】1.本节课你获得了哪些知识？这些知识之间有什么联系？2.本节课你经历了怎样的研究过程？应用了哪些思想方法？3.接下来，你会利用这种研究思路去研究什么图形呢？4.在证明一个几何命题时，你是如何获得证明思路的？总结提思维，迁移建框架丰富的情境直角三角形角直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。互逆命题及其真假类比归纳探索发现猜想证明总结提思维，迁移建框架边归纳探索发现猜想证明概念性质判定应用丰富的情境三角形三角形的全等三角形的基本要素及重要线段边、角与直角三角形有关的定理角边三角形内角和定理与等腰三角形有关的定理与等边三角形有关的定理三角形的高线、中线、角平分线互逆命题及其真假一般到特殊总结提思维，迁移建框架典例助规范，练习固新知

例

在

△ABC