数学线段的垂直平分线（1）课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章

三角形的证明及其应用4

线段的垂直平分线（第1课时）准备：如图1，一张三角形纸片ABC。操作：如图2，折叠纸片，使点A与点B重合，折痕l与线段AC，AB分别交于点D，E。

发现：折痕l与线段AB有怎样的位置关系？折痕l上任意一点P到A，B两点间的距离有什么特征？图1图2情境引入，提出问题活动：折纸

已知：如图3，直线

MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点。求证：PA＝PB。分类讨论②点P在线段AB外①点P在线段AB上活动探究，形成结论线段垂直平分线的性质定理

∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°。

∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PCA≌△PCB(SAS)。

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)。图3①当点P在线段

AB上时，点P与点C重合，那么结论显然成立。②当点P在线段

AB外时，证明如下：

如图4，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，且点P是直线MN上的任意一点(已知)，∴PA＝PB。文字语言符号语言活动探究，形成结论线段垂直平分线的性质定理定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。图形语言图41.你能写出上面这个定理的逆命题吗？2.它是真命题吗？请证明自己的结论。3.与同伴交流结论及证明方法（画出图形，严谨推理）。活动探究，形成结论线段垂直平分线性质定理的逆定理定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。【尝试·思考】

已知：点

P是平面上任意一点，且PA＝PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。证明：【分享】你们有哪些证明思路？是如何联想到的？分类讨论①当点P在线段

AB上时，如图5②当点P在线段

AB外时，如图6活动探究，形成结论线段垂直平分线性质定理的逆定理图6图5活动探究，形成结论线段垂直平分线性质定理的逆定理定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图7，∵PA＝PB(已知)，

∴点P在线段AB的垂直平分线上。图71.到线段

AB两个端点距离相等的点有多少个？这些点一定都在线段

AB的垂直平分线上吗？2.根据上述定理，如何确定AB的垂直平分线？请尝试用尺规作图说明。活动探究，形成结论回顾版创新版图8PQ

1.已知：如图9，直线AB是线段CD的垂直平分线，E，F是直线AB上的两点。求证：∠ECF＝∠EDF。自主完成上图分析，及规范证明。策略迁移，解决问题图9

证明：∵直线AB是线段

CD的垂直平分线，E，F是直线AB上的两点，

∴EC＝ED，FC＝FD（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。

∵EF=EF，∴△CEF≌△DEF（SSS）。

∴∠ECF＝∠EDF（全等三角形的对应角相等）。

2.如图10，折叠三角形纸片ABC，使点A与点B重合，折痕l与线段AC，AB分别交于点D，E。若AB＝AC，∠A＝α，则∠CBD＝

。（用含α的代数式表示）图10策略迁移，解决问题

90°－例1

已知：如图11，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC。求证：直线AO垂直平分线段BC。还有其他证明方法吗？策略迁移，解决问题

证明：∵AB＝AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)。

同理，点O在线段BC的垂直平分线上。

∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)。图11课堂小结

在本节课的学习中，你收获了什么？还想到了什么？线段的垂直平分线基础知识基本技能基本思想活动经验＜必做题——基础夯实＞1.如图12，在

△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E。连接AE，若AE＝6，EC＝3，则BC的长是（

）。A.

9B.

6C.

4.5D.

3图13图122.如图13，已知△ABC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是（）。A.B.C.D.作业布置3.如图14，在△ABC中，已知AB＝27，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。图14图154.如图15，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝

。作业布置5.如图16，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°。（1）用尺规作线段AB的垂直平分线，分别交AB和BC于点E，F；（2）在上述图中连接AF，求∠AFC的度数。图16作业布置＜选做题——综合提升>1.已知：如图17，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，△ABD是等边三角形，连接CD，交AB于点O，则CD的长度为

。图17图18作业布置2.如图18，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点