数学问题解决活动 最短距离课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第三章平移与旋转3.3问题解决活动最短距离学习目标1.能利用轴对称解决最短路径问题.2.通过构造相关点的对称点、平移点或旋转点，改变某些点的位置，

将不相关、复杂的问题转化为相关、简单的问题3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想温故知新(2)如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一点C，

使得点C到点A，B的距离之和最短？提示:(1)作点B(A)关于直线l的对称点B’；(2)连接AB'，与直线l相交于点C，

则点C即为所求.你能证明AC+BC最短吗?(1)如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使

得这个点到点A，B的距离之和最短？连接AB，与直线l相交于点C,由两点之间线段最短知,点C为所求的点证明:如图，在直线l上任取一点C'(与点C不重合).

连接AC'，BC'，B'C'，由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'=B'C’.

∴AC+BC=AC+B'C=AB’，AC'+BC'=AC'+B'C’.

在△AB'C'中，AB'<AC'+B'C’，

∴AC+BC<AC'+BC’，

即AC+BC最短.新知探究问题

如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧,现要,沿着地铁线路修建一条地下通道,居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。已知该地下通道长度为am,那么地下通道的两个出入口应该设计在何处,才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短?请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度)。一.理解问题,数学化上述问题可以抽象成怎样的数学问题?试着写一写,画一画,并比较“温故知新”中的问题(1)有何异同?居民区工厂(1)如图所示，定点A，B分别位于直线l的两侧，动点M，N(点M居

左)在直线l上且MN=a，求使AM+MN+NB取得最小值时点M，N的位置.(2)与前面问题(1)相比A,B都是在直线两侧问题(1)是确定一个点C使AC+BC最短

该问题是确定两个点M,N(且MN=a为定值)

使AM+MM+NB的值最小二.拟定计划,熟悉化(1)你以前遇到过类似的问题吗?(2)解决这个问题最大的困难是什么?以前遇到过两点之间的最短路线问题,如:前面复习环节中的问题.与垂线段最短有关的最短路线问题、最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离(确定一线段)无法通过直接连接A，B两点(确定一个点)来得到所求点的位置.你能将这个问题转化成前面的问题(1)吗?(3)地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、

通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗?将居民区A沿铁路方向向右平移am(将工厂B向左平移am)得到点A′A′N’连接A′B交l于N’(确定N点位置)将这个问题转化成前面的问题(1)(4)如何确定M点的位置呢?将点N′沿直线l向左平移am得到M′即确定M的位置M′(5)你还有其它移动方法吗?三.实施计划,条理化A′NAaM

B如图,将点A沿铁路方向向右平移am到点A′连接A′B交l于N,在直线l上点N的左侧截取MN=a，连接AM，此时AM+MN+NB取得最小值.N,M为两个出入口位置.l你能说明该方案的理由吗?A′NAaM

Bl证明:连接A′M,由平移可知AA′=MN，AA′∥MN，∴∠AA′M=∠NMA∵A′M=A′M∴△AA′M≌△NMA′(SAS)∴AM=A′N∴AM+MN+NB=MN+A′N+NB=MN+A′B.根据“两点之间线段最短”可得，此时A′N+NB最小，故此时AM+MN+NB取得最小值.通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么?四.回顾反思,经验化(1)解决这类最短路径问题可以将一个定点(定线段)进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答.(2)解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点

的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化

“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”

等进行解决变式应用1.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁,

现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直.那么，天桥建在何

处才能使由甲到乙的路线最短?甲乙仿照前面问题解决的过程和方法尝试解决解:如图所示，记甲单位所在位置为点A，

乙单位所在位置为点B，将点A沿竖直

向下的方向平移，平移距离等于桥长，

到达点A1，连接A1B，与道路靠近乙单

位的一侧交于点B1，过点B1建桥即符合要求.AA1B1尝试说明理由.解：如图，作ME∥OB，E在M的右侧，使得ME＝a，作点E关于OB的对称点F，连接FN交OB于点Q，在OQ上截取QP＝a，连接MP,此时将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短。2.将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q,PQ=a)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队

伍后再赶到校场N。问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得

将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短？OBMNEFQP尝试说明理由.当堂测评1．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径A—M—N—B最短的是图中的(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)(

)D2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，1)，(6，－1)。若x轴上有两个动点M，N(M在N的左侧)，且MN＝1，则AM＋BN的最小值为________。3.如图，在平面直角坐标系中，