湖北省随州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 含解析

湖北省随州市2025-2026学年高一上学期期末数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的定义，计算即可.【详解】，，．故选：C2.下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性的定义和幂函数的单调性可得结论．【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称，，可得奇函数，函数在上单调递减，符合题意．选项B：函数的定义域为，定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．选项C：函数的定义域为，关于原点对称，，可得为偶函数，不是奇函数，不符合题意．选项D：函数的定义域为，关于原点对称，，可得为奇函数，函数在上单调递增，并非单调递减，不符合题意．故选：A．3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出半径，再根据扇形的面积公式计算可得.【详解】因为弧长为的弧所对的圆心角为，所以半径，则该弧所在扇形面积.故选：B4.方程的解所在的区间为：A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，再利用零点存在性定理判断作答.【详解】令，则函数在R上单调递增，而，，即函数的唯一零点在区间内，所以方程的解所在的区间为.故选：A5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定的范围，根据特殊角的三角函数计算的值，即可.【详解】对数函数在单调递增，，即，指数在单调递增，，，，.故选：D6.“（）”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数求得的值，结合充分，必要条件的定义判断即可．【详解】若，则（）或（），推不出（）；反过来，若（），可推出.故“（）”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据作差法、举反例、不等式性质和指数函数的图象与性质判断各个选项.【详解】对于A，，因为，但的大小关系不确定，当时，，则，即，A错误；对于B，当时满足，此时，则，B错误；对于C，若，所以，则，根据不等式的可加性，可得，C正确；对于D，若，所以，对于指数函数和，当时，的图象在图象的下方，即，所以，D错误.故选：C.8.某数学兴趣小组在研究常用对数值时设计了下面表格，下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（）1.1252375A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算法则计算后判断．【详解】假设，，正确.由得.由，解得.检验，与表格数据相符.故的数据正确，题中只有一个数据错误，因此的数据错误.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.正实数a，b满足，则下列说法正确的是（）A.ab有最大值，且最大值为9B.ab有最小值，且最小值为9C.有最大值，且最大值为6D.有最小值，且最小值为6【答案】BD【解析】【分析】利用，得出关于或的一元二次不等式求解.【详解】因为，所以，等号成立时，即，得，得，故ab有最小值，且最小值为9，故B正确；A错误；因为，所以，等号成立时，即，得，故有最小值，且最小值为6，故D正确；C错误.故选：BD10.当时，下列不等式可能成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对ABD举例判断即可；对C，对分段讨论即可判断.【详解】对于A，，当时，，，，，A正确；对于B，当时，，即，，即，，B正确；对于C，时，，，，不满足；时，不满足；，，不满足；，，即，，，不满足；，即，，，不满足；综上，不满足；对于D，，，，，，D正确.故选：ABD11.已知函数对任意实数a，b均有，则称为“保积函数”，则下列说法正确的有（）A.若函数为保积函数，则B.对任意正实数，保积函数恒成立C.若保积函数的图象经过点，则函数为偶函数D.若保积函数，且当时，总有，则在上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】举反例判断A；根据题干法则赋值判断B；结合题意分析求得，，令，由偶函数定义判断C；由单调性的定义判断D.【详解】对于A，当时，为常数函数0，显然，满足，但是，故A错误；对于B，由题意，令，则，故B正确；对于C，令，则或，若，则对，取，都有，此时函数为常数函数0，不满足，故；令，则或，若，取，则，所以，结合选项B可知，，所以，令，则，又定义域为R，则函数为偶函数，故C正确；对于D，设任意的，则，所以，由B选项可知，所以，所以在上单调递减，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为_________．【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于0，建立的不等量关系，求解即可.【详解】函数有意义，需，解得或，所以函数的定义域为.故答案：.【点睛】本题考查对数函数的定义域以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于基础题.13.若，使得，则实数的取值范围为________________．【答案】【解析】【分析】由得：，利用时，，计算即可.【详解】，，，，令则，，，即，，解得：，实数的取值范围为．故答案为：14.函数，其图象经过点，函数，则关于的不等式的解集为_______________．【答案】【解析】【分析】根据图象经过点求出函数解析式，再代入化简不等式，分情况讨论求解即可.【详解】由函数的图象经过点，将代入对应的解析式得，解得，则，又，原不等式，可化为，即.结合的分段定义，分与两种情况代入的解析式展开化简，1.当（即）时：（1）若，则，，代入不等式得，化简得，恒成立，故.（2）若，则，，代入不等式得化简得，即，解得.2.当（即或）时，（1）若，则，，代入不等式得：，化简得，即，解得.（2）若，则，，代入不等式得，化简得，无解.综合以上情况，整理得不等式的解集为，即原不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）化简；（2）若为第二象限角，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数诱导公式结合任意角即可化简；（2）由（1）的结果，结合三角函数同角关系与角所在的象限，联立后即可求得的值.【小问1详解】.【小问2详解】由题意得，即，，且为第二象限角，故，联立，解得.16.某科技公司根据多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，．（1）求的值；（2）若该公司想要明年的利润相比今年增加100万元，则明年的研发投入需要增加到今年的多少倍？【答案】（1）（2）2倍.【解析】【分析】（1）根据当时，求值；（2）根据以及对数的运算法则求解.【小问1详解】当时，，解得；【小问2详解】设今年的研发投入为，利润为，明年的研发投入为，利润为，依题意可得，故，则，故明年的研发投入需要增加到今年的2倍.17.已知函数．（1）当时，判断奇偶性；（2）若实数为方程的两根，求的值．【答案】（1）奇函数（2）【解析】【分析】（1）求解与根据奇函数与偶函数的定义即得；（2）由韦达定理得到相关式子，代入化简即可.【小问1详解】当时，，定义域R，，故为奇函数．【小问2详解】依题意可得：，，故18.设矩形的周长为12cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点．（1）求的周长；（2）求PC的最小值；（3）求面积的最大值．【答案】（1）6（2）（3）【解析】【分析】(1)利用折叠证，将周长转化为矩形半周长，直接得定值.(2)勾股定理列方程得表达式，用基本不等式求最小值.(3)代入面积公式化简，结合基本不等式求得面积最大值.【小问1详解】设点折叠后的对应点为，如图：由矩形及折叠性质可知：，，，，，的周长为.【小问2详解】设，则，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，则，当且仅当即时等号成立，所以最小值为.【小问3详解】由(2)可知的面积，当且仅当即时等号成立，所以的最大面积为.19.记双曲正弦函数，双曲余弦函数，其中e为自然对数的底数．（1）证明为定值，并求出该值；（2）若函数的最小值为0，求实数的值；（3）若函数在上只有1个零点，求实数的取值范围．（注：【答案】（1）证明见解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函数定义化简即可；（2）化简，令，将问题转化为在上的最小值为0，再分类讨论对称轴即可；（3）利用，化简，再令，将问题转化为在上只有1个零点，再结合一元二次函数的性质求解或参变分离求解.【小问1详解】；