相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

⑴三角形相似的条件：

①_____________________;②.

二、两个三角形相似的六种图形:

只要■能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而

使词题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）

先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单：

2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例;

3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例;

找另一角-----k两角对应相等，两三角形相似

a）已知一对等

找夹边对应成比例-----►两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

找夹角相等^_^两边对应成比例且央角相等，两三角形相似

b）已知两边对应成比找第三边也对应成比例----^三边对应成比例，两三角形相似

找一个直角f斜边、直为边对应成比例，两个直角三角形相似

找另一角.两角对应相等，两三角形相似

0己知一个直

L找两边对应成比例----►判定定理2

找顶角对应相等一►判定定理1

d）有等腰关找底角对应相等—►判定定理1

找底和腰对应成&匕例一►判定定理3

e；相似形的传递性若△s4,△s4,则^s>

12231

四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例

式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个

三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个

不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题

复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例I、已知：如图，AABC中，CE_LAB,BF_LAC.

求证：AEAC

~AF

（判断“横定”还是“竖定”？）

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例2、如图，CD是RtZXABC的斜边AB上的高，ZbAC的

平分线分别交BC、CD于点E、F,AC-AE=AF•AB吗？

说明理由。

分析方法：

1）先将积式_________________

2）（“横定”还是“坚定”？）

例3、已知：如图，ZkABC中，NACB二90。，AB的垂直平分线交AB于D,

交BC延长线于F。

求证：CD2=DE-DFo

分析方法：

1）先将积式_________________

2）（“横定”还是“竖定”？）

五、过渡法（或叫代换法）

1、等量过渡法（等线段代换法）

例1:如图3,4ABC中，AD平分NBAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE?=

BE«CE.分析：

2、等比过渡法（等比代换法）

例2:如图4,在4ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,E是AC的中点，ED交AB

的延长线于点F.

ABDF

求证：记W

F

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3、等积过渡法（等积代换法）

例3：如图5,在AABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE

■LAG,垂足为E,交CD于点F.

求证：CD2=DF-DG.

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似;

不相似，不用急：等线等比来代替。”

同类练习：

1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且NADE=NC

（2）AD・AB=AE•AC.

2.如图，4ABC中，点DE在边BC上，且AADE是等边三定形，ZBAC=120°

求证：（1）AADB^ACEA；

(2)DE=BD-CE;

(3)AB・AC=AD-BC.

3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，ZD=ZECA.

求证：AD・EC=AC・EB.

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10.AABC中，NBAC=90°,AD_LBC,E为AC中点。

求证：AB:AC=DF：AFo

11.已知，CE是RTZ\ABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P,连接AP,作BGJLAP,垂足为G,交

CE于点D

试证：CE=ED・EP.

六、证比例式和等积式的方法：

可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系：三点定形用相似，三点共线取平截:

平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园赛.

例1如图5在aABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DFJ_AB于F,交AC的延长线于H,交BE

于G,求证：（1）FG/FA=FE/FH⑵FD是FG与FH的比例中项.

例2如图6,UABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F,

S=18,求：（DBF：FD⑵S

△FBE△FDAD

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例3如图7在aABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N.求：AN：AB

的值:

例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE_LAC交AC于F,过F作FG〃AB交AE于G.

求证：AG2=AFXFC

例5如图在aABC中，

证：△ABCSAFCD；(2)

例6如图10过△ARC的顶点C仔作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和F.过点D作DM〃FC交

AB于点M.⑴若S:S=2：3,求AE：ED：

△AEF

⑵求证：AEXFB=2AFXED

例7已知如图11在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时,

△ADP与△QCP相似？

例8已知如图12在梯形ABCD中，AD//BC,/A=9S,AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P

的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.

例9.如图，已知4ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，CF〃BA,BF

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交AD于P点，交AC于E点。

求证：BP2=PE-PFO

例10.如图，已知：在4ABC中，ZBAC=900,AD±BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

ABDF

求证：充一而。

八、相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段

或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以

下几种：

（一）、作平行线

例1.如图，MBC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,

BFBD

求正CF=CE

例2.如图，aABC中，AB<AC,在AB、AC上分别截取BD二CE,DE,BC的延长线

相交于点F,证明:AB•DF=AC-EFo

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B

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例3、如图4—5,B为AC的中点，E为BD的中点，则AF:AE-.

例4、如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0点，E为AB延长线上一点，0E交BC于F,

若AB二a,BC=b,BE=c,求BF的长.

例5、AABC中，在AC上裁取AD,在CB延长线上裁取BE,使AD=BE,求证:

DF»AC=BC*FE

例6:如图aABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,

求证：AE：ED=2AF：FB。

（二）、作延长线

例7.如图，RtAABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F,FG±AB于G,求

证：FG2=CF・BF

AF=-AD

例8.如图47,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，3,连E、F交AC于G.求AG:AC的

值.

A

（三）、作中线

例10:已知：如图，Z\ABC中，AB=AC,BD±AC于

D.求证：BC2=2CD-AC.

BC

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中考综合题型

1.已知：如图，在AA8C中，，48=4。,/4=36。,8。是角平分线，试利用三角形相似的关系说明

AD2=DCAC.

2.如图，矩形A8C。中，AO=3厘米，A3=a厘米(。＞3).动点、M,N同时从3点出发，分别沿

BTA,BTC运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于A8,分别交AN,CD于P,Q.当点N

到达终点c时，点M也随之停止运动.设运动时间为，秒.

(0若。=4厘米，/=1秒，则尸加二匚厘米；

(2)若4=5厘米，求时间/,使LPNEsAPAD,并求出它们的相似比；

3.如图，已知aABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC

匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停

止运动，设运动时间为t(s),解答下列问题：

(1)当t=2时，判断aBPO的形状，并说明理由；

(2)设ABPO的面积为S(cm?),求S与t的函数关系式：

4.如图(10)所示：等边4ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线BC_LAC于C交AB的延

长线于B.

⑴请你探究：＞噜箓=等■是否都成立?

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ACCD

⑵请你继续探究：若aABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一而一定成立吗？并

AI3

图(II)

5.如图12,在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边

形ABC0为矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，AB：BC=4：3,点E、F

分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合)，且NCEF二NACB.BC

(9求AC的长和点D的坐标；

(2)说明4AEF与ADCE相似;

1

6.如图，在RtZiABC中，ZB=90°,AB=1,BC=以点C为圆心,

乙

A0EDx

CB为半径的孤交CA于点D：以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于

，点、E♦

图12

(1)求AE的长度；

(2)分别以点A、E为圆心，A3长为半径画弧，两弧交于点F(F与C在AB两侧)，连

接AF、EF,设EF交弧DE所在的圆于点G,连接AG,试猜想NEAG的大小，并说明理

由.

7.如图(1),4ABC与4EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9,ZBAG=ZDEF=90°,固

△ABC,将aEFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的

情况，设DE、DF(或它们的延长爱)分别交BC(或它的延长线)于G、九点、，如图(2).

(O问：始终与AAGC相似的三甬形有.及

(2)设CG=x,BH=y,求y关的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由)：

联D)

图⑴图⑵

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9.(1)如图1,在aABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE〃BC,AQ交DEPDPPE

于点.求证：_=_

BQQC

(2)如图，在△ABC中，NBAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在AABC的边上，连接AG,AF分别交DE

于M,N两点.

①如图2,若AB二ACF,直接写出MN的长;

10.如图，在AABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且

满足AD=AB,ZADE=ZC.

(1)求证：NAED二NADC,ZDEC=ZB：

(2)求证：AB2=AEAC.

12.如图，在aABC中，NC=90°,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点(异于A、B两点；，过点P分别

作AC、BC边的垂线，垂足为M、N.设AP=x.

(1)在aABC中，AB=____;

(2)当x=时，矩形PMCN的周长是14：

(3)是否存在x的值，使得aPAM的面积、ZXPBN的面积与矩形PMCN

的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明.

4PB

(第25题)

14.如图1,在RtZ\ABC中，NBAC=90°,AD_LBC于点。，点O是AC边上一点，连接RO交AQ

于/，0E±B0交BC边于点E.

(1)求证：XABFsXCOE.、

八“ACOF

(3)当°为AC边中点_____=〃时，请直接写出_的值.

ABOE

图1

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16.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,NDME=NA=NB=a,

且DM交AC于F,ME交BC于G.

(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

(2)连结FG,如果a=45°,AB=4无，AF=3,求FG的长.

R正方形A3C。边长为4,M、N分别是EC、CD上的两个动点，当〃点在BC上运动时，保持AM

和MN垂直，

(1)证明：RtAABMRtAMCN；

(2)设BM=x,梯形ABC7V的面积为y,求y与x之间的函数关系式；；

(3)当M点运动到什么位置时RtZ\AB"sRtAAMN,求x的值.

GE厂n1

2)如图，△ABC中，ZXE分别是边BC、AE的中点，AO、CE相交于G.求证：_____GD_1

'CE~AD3

p(jAr)

15已知NABC=90°,AB=2,BC=3,AD/7BC.P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足—£=----

PCAB

(如图8所示).

(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段PC的长；

3

(2)在图8中，联结AP.当A。",，且点Q在线段AR上时，设点B、Q之间的距离为X,

S

/皿二y,其中s表示aAPo的面积，s表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并

S△APQAPBC

△PBC

写出自变量的取值范围；

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17.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点8(—8,6),C(0,6),

将四边形0ABC绕点。按顺时针方向旋转a度得到四边形OABC,此时直线OA、直线BC分别与直线

BC相交于点P、Q.

Bp

(O四边形0ABC的形状是当a=90°时，_____的值是；

-----------BQ-------------

BP

(2)①如图2,当四边形OA'BC的顶点B'落在y轴正半轴附，求玩的值；

②^图3,当四边形0ABe的顶点£'落在直线BC上时，求△OPB的面积.

18.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=X,现将纸片折登，便点D与点P重

合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。

(1)当X=0时，折痕EF的长为#.：

当点E与点A重合时，折痕EF的长为#.；

(2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取

求出当x=2时菱形的边长：

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第(2)题国第(3)题国

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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

一、相似三角形

⑴三角形相似的条件：

①_______________________:②;③_______________________________.

二、两个三角形相似的六种图形：

AAAABAA

BC8色型图LB5二x型N图BdD母干型图C

"条件DE〃BC条4在I=NB条件/卜/B条件AB"DE原件/A=」D条件AD是RtABC

斜边上的高

只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本田形，从而

使诃题得以解决.

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）

先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；

2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；

3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；

r找另一角----->两角对应相等，两三角形相似

a）已知一对等

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找夹边对应成比例两边

对应成比例且夹角相等，两三

角形相似

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_______________________________________________实用文档_________________________________

”找夹角相等——►两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

b）已知两边对应成比V找第三边也对应成比例►三边对应成比例，两三•角形相似

.找一个直角一►斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似

r找另一角—►两角对应相等，两三角形相似

C）己知一个直

I找两边对应成比例----►判定定理2

r找顶角对应相等—►判定定理1

①有等腰关<找底角对应相等一►判定定理1

I找底和腰对应成比例——►判定定理3

e）相似形的传递性若△,△s4,则^

122313

四、“三点定账法”，即由有关线段的三个不同的湍点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例

式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个

三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个

不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”.

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题

复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。A

例1、已知：如图，AABC中，CE_LAB,BF_LAC.八、

求证：AE_AC_电

不取

（判断“横定”还是“竖定”？）BC

例2、如图，CD是Rt^ABC的斜边AB上的高，ZBAC的

平分线分别交BC、CD于点E、F,AC・AE=AF・AB吗？

说明理由。

分析方法：

1）先将积式_________________

2）（“横定”还是“竖定”？）

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求证：CD2=DE-DFo

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分析■方法:

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1）先将积式_________________

2）（“横定”还是“竖定”？）

五、过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下

面分情况说明.

3、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，

不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件

找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后

再应用三点定形法确定相似三角杉。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代

换的线段再代换回来。

例1:如图3,AABC中，AD平分NBAC,AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E求证：DE2=

BE-CE.分析：

4、等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第

三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个

比相等的比，并进行代摸，然后再用三点定彩法来确定三角彩.

例2：如图4,在4ABC中，ZBAC=90°,AD±BC,E是AC的中点，ED交AB

的延长线于点F.

ABDF

求证：充

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然三通过三角形相似推出线段成比例；若三

点定形法不能确定两个相似三角彬，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法

确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3:如图5,在4ABC中，NACB=90°,CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上

一点，过B作BE_LAG,垂足为E,交CD于点F.

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求证：CD2=DF•DG.

小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似;

不相似，不用急：等线等比来代替。”

同类练习；

1.如图，点D、E分别在边AB、AC上，且NADE二NC

(2)AD・AB=AE-AC.

（2题图）

2.如图，ZXABC中，点DE在边BC上，且4ADE是等边三优形，NBAC=120°

求证：（1）AADB^ACEA；

（2）DE2=BD・CE；

（3）AB-AC=AD-BC.

3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，ZD=ZECA.

求i正：AD・EC=AC・EB.

（比题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）

4.如图，AD为△ABC中NBAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。

求证：FD2=FC-FBo

（比题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）

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5.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,

求i正：FC2=FG・EF.

（比题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。）

6.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM〃BE交DE于M.

求证：FM=CF.

（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替

代可以解决。）

7.如图，Z\ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE//AB,BE分另］交AD、AC于点F、G,连接FC

求证：（1）BF二CF.

(2)BF2=FG•FE.

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（练习题图）（

8.如图，NABC=90°,AD=DB,DEIAB,

求证：DC?=DE-DF.

9.如图，ABCD为直角梯形，AB^CD,AB±BC,AC±BD0AD=BD,过E作EF〃AB交AD于F.

是说明：(1)AF=BE；(2)AF2=AE•EC.

10.AABC中，NBAC=90°,AD1BC.E为AC中点。

求证：AB：AC=DF：AFo

11.已知，CE是RTZXABC斜边AB上的高，在EC延长线上任取一点P,连接AP,作BG_LAP,垂足为G,交

CE于点D.

试证：CE2=ED•EP.

（注：此题要用到等积替代，将CE?用射影定理替代，再化成比例式。）

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六、证比例式和等积式的方法：

对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、而积法等.若比例

式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相

似三角形来证明.

可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；

平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.

例1如图5在aABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF_LAB于F,交AC的延长线于H,交BE

于G,求证：⑴FG/FA=FB/FH⑵FD是FG与FH的比例中项.

1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似.我相似三角形用三点定形法（在比例式中，或横

着找三点，或竖着找三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等

比代换

例2如图6,[ZIABCD中，E是BC上的一点,AE交BD于点F,已知BE：EC=3：1,

S=18,求：(DBF：FD(2)S

△FBEAFOA

2说明：线段BF、FD三点共线应用平裁比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比

定理”得到对应线段成比例、三南形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的

平方，求出三角形的面积.

例3如因7在4ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N.求：AN：AB

的值；

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BD

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3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已

知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.

例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE±AC交AC于F,过F作FG〃AB交AE于G.求证：

AG2=AFXFC

4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要

证明的两个三角形相似.、

例5如图在aABC中，D是BC边的中点，且AD=AC,DE1BC,交AB于点E,EC交AD于点F.⑴求

证：△ABCs/^FCD；⑵若S=5,BC=10,求DE的长.

AFCDA

5说明：要证明两个三角形和似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相以.再由相似

三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.

例6如图10过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E过点D作DM〃FC交

AB于点M.⑴若S：S=2：3,求AE：ED：C

△AEF惊边#HDEf

⑵求证：AEXFB=2AFXED

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AFMB

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6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质

得到两线段的比.注意平截比定理的应用.

例7己知如图11在正方杉ABCD的边长为1,P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时,

△ADP与△QCP相似？

7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题是开放

性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.

例8己知如图12在梯形ABCD中，AD〃BC,NA=90。，AB=7,AD=2,BC=3.试在边AB上确定点P

的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似.

8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题有多个

位置，应注意计算，严防漏解.

例11.如图，已知AABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，CF//BA,BF交AD于P点，交AC于E点。

求证：BP=PE・PF。

标准文案

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11分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因

为AB二AC,D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平

分线的性质知PB二PC,只需证明APECs/^PCF,问题就能解决了，

例12.如图，已知：在4ABC中，ZBAC=900,AD±BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F°

阕_DF

=

求证:AC.7F

12分析：比例式左边AB,AC在4ABC中，右边DF、AF在aADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经

过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。

七、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，

得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”：

第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维比程。

八、相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的