2025-2026学年下学期安徽滁州高三数学3月检测试卷（含解析）

高三3月数学注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={x∣−1A.{−1,C.{0,2.椭圆x236A.13B.23C.33.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,cA.1B.2C.2D.24.已知复数z满足z⋅z=z+zA.22B.1C.25.甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有A.60种B.70种C.80种D.100种6.log0.5e,log0.25A.0B.log2eC.log7.记Sn为等差数列an的前n项和,若S52+aA.2215B.175C.348.在三棱台ABC−A1B1C1中，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的4倍，D为CC1的中点，点E满足2A.27B.13C.2二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知an为等比数列,其前n项和为Sn,公比为qA.若a1=1,B.若a3=4aC.若q=12D.若S4−S210.设函数fx=A.曲线y=fx切线斜率的最小值为-3B.fx的图象关于点C.x<1是fx<0的充要条件D.x>11.如图，在△ABC中，AB=4,AD=EB=14AB，△ABC的内切圆G与AB相切于点A.CAB.S⋅tanC2C.∠D.记△BCD的内心为H,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若向量a,b满足a=11,13.已知7sinθ+3cos14.已知函数fx的图象关于点1,1对称,也关于直线x+y=0对称,且当0≤四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数fx=cosx(1)求t的值；(2)将fx的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到函数gx的图象，求gx的单调递减区间以及gx16.(15分)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过C上一动点A作C的准线的垂线，垂足为B.当(1)求C的方程；(2)直线BF与C交于P,Q两点，点A，P均在第一象限，O为坐标原点，当P为BQ的中点时,求△17.(15分)某新能源汽车公司为测试A型和B型两款辅助驾驶系统避让障碍物的能力,用分别搭载A型和B型系统的汽车各测试了100次,其中A型系统成功避让80次,B型系统成功避让75次.假设每次测试相互独立,用频率估计概率.(1)估计A型系统每次测试中成功避让的概率；(2)若对B型系统再测试3次，设X为其中成功避让的次数，求X的分布列和数学期望EX(3)这两款辅助驾驶系统都是利用摄像头配合激光雷达来识别障碍物的，如果摄像头没有正确识别障碍物，仅依靠激光雷达，则A型和B型系统成功避让的概率都只有25，若摄像头正确识别障碍物，则A型系统一定能成功避让，B型系统成功避让的概率为910，设A型、B型系统中摄像头正确识别障碍物的概率分别为p1,p218.(17分)如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=25，BC=5.将△ABC以AB为轴旋转至△ABP，动点P与原来的△ABC形成三棱锥P−ABC(1)证明:AB⊥平面PCM(2)记二面角P−AC−B为α，二面角P−(i)证明:tanβtan(ii)当tanβ−α取最大值时,求19.(17分)已知函数fx=lnxx(1)求x0，并讨论fx(2)设an是公比为q(i)若a1=q=x(ii)是否存在an满足:a1,a2,a3,q均为正整数且q>1高三3月数学・答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案C命题透析本题考查集合的交集.A∩2.答案D命题透析本题考查椭圆的几何性质.由已知得a=6,b=3.答案A命题透析本题考查余弦定理与三角形的面积公式.由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=24.答案D命题透析本题考查复数的运算及几何性质.设z=x+yi,x,y∈R,则x+5.答案B命题透析本题考查排列组合的应用.根据题意,他们选的景点完全相同的选法有C52=10种,恰有1个景点相同的选法有C6.答案D命题透析本题考查对数比较大小,对数的运算以及中位数的计算.log0.5e=−log2e,log0.25e=−12log2e,7.答案B命题透析本题考查等差数列的性质.由S52+a52=34,S5=5a3,可得25a32+a52=34,又S7=7a4,所以S558.答案C命题透析本题考查棱台的结构特征和相关计算.由于三棱台上下底面的三角形相似,所以AB=12A1B1,从而A1E=12A1B+12AB=12A1A+AB+12AB= 12A1A+AB=12A1A+12A1B1,则E是线段AB1的中点,平面ADE即平面ADB1.如图,连接AC1,B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案BCD命题透析本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用.对于A,若a1=1,a2=2,则公比对于B,由题意知a42=a3a5,故a3=4a42=对于C,当q=12时,an=a1⋅12对于D,由S4−S2=4a4,得a3+a4=4a4,a3=3a4,所以q=10.答案AD命题透析本题考查三次函数的性质,不等式与充分、必要条件的判断.对于A,由题意,得f′x=3x2对于B,因为f′x的图象的对称轴为直线x=2,根据三次函数的图象特点,可知其对称中心在直线x=2上,又f2=8−24+18−对于C,f′x=3x−1x−3,可得fx在−∞,1和3,+∞上单调递增,在1,3上单调递减,极大值为f1=0,极小值为f3=−4,当对于D,当x>4时,fx>f4=0,当1≤x≤4时,fx≤f1=f4=0,当x<1时,fx另解:因式分解可得fx=x−12x−4,所以fx11.答案ACD命题透析本题考查解三角形与双曲线的综合应用.如图1,设△ABC的内切圆G与AC,BC分别相切于点图1对于A,根据内切圆的性质,得AP=AE,CP=CQ,BE=BQ,则CA−CB=AP−BQ=AE对于B,在△ABC中,由余弦定理得16=CA2+CB2−2CA×CBcosC①,又CA−CB=2,即CA−对于C,以AB的中点为原点,AB为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系,则A−2,0,B2,0,D−1,0,E1,0当∠ABC≠π2时,tan∠BDC=kCD=nm+∠ABC∈0,π,∠BDC∈0,π2,所以∠ABC=2∠BDC.当∠ABC=π2时,C2对于D,如图2,不妨设∠BDH=θ,则∠BDC=2θ,又∠ABC=2∠BDC,故∠ABC=4θ,∠DBH=2θ,只需证明点H在双曲线x2−y2图2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.答案9命题透析本题考查向量的基本运算.2a−b2=413.答案1命题透析本题考查三角函数的倍角公式,诱导公式.由7sinθ+3cos2θ=7sinθ+3114.答案5命题透析本题考查函数图象的对称性与周期性.设f72=t,则函数fx设点Bx1,y1与A72,t设点Cx2,y2与B−32,设点Dx3,y3与Ct−2,由于fx在0,1上单调递增,值域为0,1,根据fx图象的对称性可知,fx在R上单调递增,故当且仅当0≤x≤1时,fx的值域为0,1,故点D4−t,12四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查三角恒等变换与三角函数的性质.1fx由于fx的最大值为1,故t=−(2)由(1)知fx=2cosx+因为y=cosx的单调递减区间为所以令2kπ≤2x+π6所以gx的单调递减区间为kπ−注:写kπ−π当x∈π4,2π所以2cos即gx在区间π4,2π316.命题透析本题考查抛物线的性质,抛物线与直线的位置关系.(1)由抛物线的定义,得AB=AF=4=xA+p2,则xA=4−p2.(2分)由△ABF的面积为由yA2=2pxA,得故C的方程为y2=(2)由(1)可得F2,0，设BF:y由y=kx−2则xP+若点P为BQ的中点,则xB+xQ2所以xP−2xP=−1,解得xP=1(负值舍去),则(12分)而kBF=kPF,得B−2,82由于OQ⋅OA=4×16故所求外接圆半径r=AQ17.命题透析本题考查概率的计算、随机变量的分布列与期望、条件概率与全概率公式.(1)估计A型系统每次测试中成功避让的概率为80100=(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，由题意知B型系统每次测试中成功避让的概率为75100=34，所以X所以PXPX=故X的分布列为X0123P64927642764(8分)EX=(3)利用全概率公式可得p1+251−910p2+25所以p1<18.命题透析本题考查空间位置关系的判断及相关计算.(1)因为AC⊥BC,所以AB因为BCBM=BABC=所以∠BMC=∠BCA=90∘由已知可得△APB≅△ACB,同理,在△APB中可证又PM∩CM=M,所以AB⊥(2)(i)由(1)知AB⊥平面PCM，所以平面PCM⊥平面ABC，则点P在平面ABC内的射影0在直线CM上.如图,过点O分别向AC,BC引垂线,垂足分别为S,T,连接PS,PT由于AC⊥OS,AC⊥PO,PO∩从而AC⊥PS,因此α=∠PSO,同理因此tanα=从而tanβtanα=(ii)由题意可知α,β∈0,π2所以tanβ当且仅当tanα=22设此时MO=x(∠PMC为钝角时,O在CM的延长线上,计算可得CM=PM=2,则由PO2+MO2=PM所以cos∠PMC=19.命题透析本题考查导数的应用,导数与数列的综合问题.1fx的定义域为0令f′x=0,得x=e当x∈0,e时,f′x>0,当所以fx在0,e上单调递增,在e,+∞上单调递减.(2)(i)由(1)可知a1=q=e，所以an=记Sn则Sne所以e−1S所以Sn<(ii)若fa1,fa即2lna1qa又因为q>1,所以