2025-2026学年下学期辽宁名校联盟高三数学3月调研卷二试卷（含解析）

辽宁省名校联盟2026年高考模拟卷(调研卷)数学(二)本试卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知x=1−i,则复数A.−22.设全集U={x∈Z∣−2<x<7A.4B.7C.8D.163.在平面直角坐标系中,某动点Mx,y满足方程y+32A.2B.2C.22D.4.点M的坐标为kπ+π4,0k∈Z是点A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知定义在R上的偶函数fx满足f2x+3=−f2x，当3≤A.-8B.6C.8D.106.如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽1200m，水流速度为向东5 km/h，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且BC=1000 m，D码头在A码头的正东方向，且AD=500 m，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往A.8 km/hB.9 km/hC.107.已知圆C:x2+y2−6x+8=0,Ax1,yA.12+5B.14+68.已知3ln23<5ln7A.a<b<cB.b二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为2,M,Q分别为棱A1A.CB.AQ⊥平面C.AA1//D.三棱锥A−BCP10.如图,阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形,因其形似四叶草,故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线,记抛物线在每个象限内的交点分别为A,B,C,D.已知这四条抛物线的焦点共圆,若开口向右的抛物线方程为y2=4x,过点F1,0作直线l与曲线A.开口向下的抛物线的焦点坐标为0B.曲线E上两点间距离的最大值为8C.点3,3不在曲线ED.直线l的斜率为311.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,A.aB.角A的取值范围为0C.ac的取值范围为−1+52,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若直线y=−x−5是曲线y=13.已知正项等比数列an的前n项和为S0,a1,a2是关于x的方程x14.在某次“一带一路”知识竞赛中,主办方为所有参赛者设计了一个抽奖活动:在抽奖箱中放置3个黑球和7个黄球(除颜色外完全相同),采用不放回揽球的方式,每位参赛者摸3次球,每次摸1个球,第kk=1,2,3次摸球,若摸到黑球,则得50k元奖金,若摸到黄球,则没有奖金.现甲参加了这次竞赛，记他获得的奖金为X元，则EX15.(13分)人工智能技术(简称AI技术)已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外.某市教体局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况.随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一个月内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表.年龄是否喜欢使用AI技术合计是否不超过45岁461460超过45岁322860合计7842120(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用(2)将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下,求此人年龄超过45岁的概率.附:χ2=nad−a0.10.010.001x。2.7066.63510.82816.(15分)已知数列an的前n项和为Sn,a1(1)证明:数列Snn(2)记bn=1anan+1，求数列b17.(15分)如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=4，E在棱AB上，BE(1)求证:平面PAB⊥平面ABC(2)若点P,A,B,C(i)求球M的表面积；(ii)求直线PC与直线AM所成角的余弦值.18.(17分)已知平面上一动圆P与圆F:x2+y2−23x=13相内切(其中圆P的半径小于圆F的半径),且圆P经过点F(1)求C的方程；(2)记C与x轴的两个交点分别为A1，A2(A2在A1的右侧)，直线l与C相交于点M，N(异于点A1,A2,且直线A(i)直线l是否过一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由;(ii)求四边形A1MA2N19.(17分)已知函数fx=x2−acosx,(1)当a=1时，求f(2)若fx在区间0,π2内单调递增，求(3)若a∈0,2，g′数学(二)一、选择题1.B因为z=1−i,所以z−5z2.C由题意得U=(−1,0,1,2,3,4,5,6},A=03.A易知y+322+x2− y−322+x2∣=6表示点Mx,y到点0,−32和点0,32的距离之差的绝对值等于6,又6<624.B在fx=3tanx−π4中,令x−π4=kπ2k∈Z,解得x=kπ2+π4k∈Z,所以f5.C由f2x+3=−f2x,得f(x+ 3)=−fx,所以fx+6=−fx+3= fx,所以fx是以66.D以D为坐标原点,以向东的方向为x轴正方向,以垂直对岸向北的方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,小船从A码头经D航行到C码头的最短路径要求由A直线航行到D,而在D处的合速度方向由D指向C.设小船在静水中的速度为DQ=x,y，水流速度为向东5 km/h，即DP=5,0,水流速度与静水中船速的合速度DR=DP+DQ=x+5,y,由题意可知合速度方向与向量DC=0.5,1.2同向,且大小为13 km/h.设合速度DR=kDC=7.D由题意得l=2圆C2x−32+y2=1,圆心C3,0,设线段AB的中点为M,得CM⊥AB,CM= AC2−AM2=12,所以点M的轨迹是以C为圆心,12为半径的圆,即x−32+ y2=14⋅2x1−y15可看作是点A到直线2x−y=0的距离,同理28.A由已知得a=log3,b=log237= 1log,23,c=log115,由3ln23<5ln7,得75> 233,两边同时取以7为底的对数可得5> log,233=3log,23,即log,23<5二、选择题9.ABD因为△A1B1C1为等边三角形,M为A1B1的中点,所以C1M⊥A1B1,又AA1⊥平面A1B1C1,C1M⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥C1M,又AA1,A1B1⊂平面ABB1A1,AA1∩A1B1=A1,所以C1M上平面ABB1A1,又AQ⊂平面ABB1A1,所以C1M⊥AQ, A10.BD对于A项,开口向右的抛物线方程为y2=4x，焦点为F1,0，由对称性可知开口向下的抛物线方程为x2=−4y，其焦点为0,−1,故A项错误;联立y2=4x,x2=4y,得x=4,y=4.所以B4.4,根据对称性可得曲线E上两点间距离的最大值为2OB=82,故B项正确:对于C项，由B项易知点3,3在曲线E的内部，故C项错误;对于D项,如图.过P.Q分别作抛物线y2=4x的准线x=−1的垂线,垂足分别为D,E,过P11.BCD对于A项,由2asinA= asin2B+2bsinBcosA,得2asinA=2asinB.cosB+2bsinBcosA,由正弦定理得2sin2A= 2sinAsinBcosB+2sin2BcosA=2sinB⋅ sinAcosB+sinBcosk2−k+1>0.k2−k−1sinBsinC2sinAsinBsinC=sin2A2sin2A=1三、填空题12.6设gx=ex−2x−a,则g′x= ex−2,因为直线y=−x−5是曲线y=gx的切线，且直线的斜率为-1，所以令g′x= ex−213.-5由已知得S7=a1+a2=4,由等比数列的性质可得S2,S4−S25，当且仅当S4=514.90由题意得X的可能取值为0,50,100,150四、解答题15.解:(1)零假设为H0:是否喜欢使用AI根据列联表中的数据计算可得χ2=根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立，即认为该市中学教师是否喜欢使用AI(2)记事件A:所抽取的中学教师年龄超过45岁,事件B;所抽取的中学教师喜欢使用AI技术,则PAB=故所求概率为PA∣16.(1)证明:由Sn=nan+即Sn=nS整理得nS(4分)即Sn+又S11所以数列Snn是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)解:由(1)得Sn(8分)所以S0=当n≥2时,a显然a1=2也满足上式,所以bn=所以Tn=17.(1)证明:由已知得AE=所以AE2所以PE⊥AB在△ACE中,由余弦定理得CE又PE=所以PE所以PE⊥CE又AB∩CE=E,AB,CE⊂平面ABC,又PE⊂平面PAB所以平面PAB⊥平面ABC.(6(2)(i)解:由几何性质知球心M在过AB中点O且与平面ABC垂直的直线上,以AB的中点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,过点O平行于PE的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,−2,0,P0,−1,3,设M0,0,t,球M故M0,0,1故球M的表面积Sn=4πR2=20π.(10分)(ii)解:所以AM=0记直线AM与直线PC所成角为θ,所以cos====7070,故直线PC与直线AM所成角的余弦值为7018.解:(1)将圆F的方程整理得x−3设动圆P的半径为r0<r<4,由圆F与动圆P所以PF+P所以圆心P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆,且2a=4,2c=(3分)所以a2故C的方程为x24(2)(i)由题意得A1−2,0,A22,0，设Mx1若直线l的斜率为0,则点M,N关于y轴对称,必有k所以直线l的斜率必不为0,(5分)设其方程为x=联立x整理得t2所以Δ=4且y1+因为点Mx1,y1在C上,所以x124+所以k1数学・辽宁名校联盟所以k1=−14k3因为28========−1,(10所以n=−3此时Δ=4故直线l恒过定点−32(ii)由(i)得y1+所以S=====≤当且仅当3l2+4=23,即l2=1219.(1)解:当a=1时，f所以f′x记mx则m′所以f′x在R上单调递增,又f′所以当x∈−∞,0时,f′x<0,fx单调递减,当x所以当x=0时,fx所以fxeis(2)解:f′因为fx在区间0,所以f′x≥0在区间令hx则h′x当a≥−2时,令px则p′所以px在区间0,+∞即px>所以f′x>