福建省泉州市永春县侨中中学片区联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年福建省泉州市永春县侨中中学片区联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二次根式x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A.x≥−2 B.x≠0 C.x≠−2 D.x>02.下列等式成立的是(

)A.2+3=5 B.3.下列二次根式是最简二次根式的是(

)A.12 B.127 C.4.已知a+b=2−1，ab=−1，则a2A.2−2 B.3−2 C.5.用配方法解方程x2−4x−3=0，下列配方正确的是(

)A.(x−2)2=7 B.(x+2)2=76.已知ab=25，则a+bA.25 B.35 C.23 7.某厂家2024年1∼5月份销售的电车数量如图所示.设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程(

)A.140(1−x)2=461 B.180(1+x)2=4618.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示.若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺与它在墙上的影子的周长比是(

)A.4：25B.25：4

C.5：2D.2：59.如图，已知点A(0,3)，B(4,0)，A与A′关于x轴对称，连结A′B，现将线段A′B以B点为中心逆时针旋转90∘得A′′B，点A′的对应点A′′的坐标为(

)A.(7,−4) B.(7,−3) C.(4,−7) D.(3,−4)10.在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是：如图，以a2和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD=a2，则AD的长为所求方程的正根.若关于x的一元二次方程x2+mx=225，CD：A.10 B.16 C.18 D.20二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若关于x的一元二次方程(a+2)x2−2x+a2−4=0有一个根是012.方程x2=2x的解是

.13.若a−2+(b+5)2=0，那么a+b14.如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=10，那么CE等于

.

第14题图第15题图第16题图15.如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB=8，MN=2，则AC的长为______.16.土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第一时刻的影长为1.5尺，则第二时刻的影长为

尺.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解方程：2x18.(本小题8分)

计算：|2−19.(本小题8分)

如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25.

(1)大正方形的边长是______，小正方形的边长是______.

(2)求图中阴影部分的周长.20.(本小题8分)

如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T(1,1)、A(2,3)、B(4,2)

(1)以点T(1,1)为位似中心，按比例尺(TA′：TA)=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′.画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；

(2)在(1)中，若C(a,b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．21.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=90∘，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D.

(1)在斜边BC上求作点E，使△BDE∽△BAD；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若AB=6，BE=8，求DE的长.22.(本小题10分)

我国新能源汽车产业凭借技术创新和产品力的双重驱动，得到飞跃发展，已经成为全球新能源汽车领域的重要力量.请根据以下素材，解决问题.素材1小明代理一新款能源汽车销售，据了解1辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计38万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计53万元.素材2在政府加大力度倡导和新能源消费补贴政策的引导下，新能源汽车成为热销产品.小明选择在销售A型新能源汽车的某4S店进行询价调查，调查发现：当A型新能源汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.素材34S店每周销售A型新能源汽车，为了能实现利润为96万元的营业额，决定下调售价，让利客户.问题解决任务1试求出A型新能源汽车、B型新能源汽车每辆的进价.任务2请根据以上素材，给4S店建议A型新能源汽车每辆的售价.23.(本小题10分)

有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.

请你完成下面两个问题：

(1)已知实数m、n满足3m2−m−2=0、3n2−n−2=0，求nm+mn的值.

(2)已知实数a、b、24.(本小题12分)

综合与实践

黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是36∘的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比5−12，底角平分线与腰的交点为黄金分割点.

(1)如图1，在△ABC中，∠A=36∘，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，我们可以利用相似证明BCAB=5−12，所以点D是腰AB的黄金分割点；这个图中，有三条相等的线段是：BC=______=______(请写另外两条线段)；

(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，若ABBC=5−12，则请你求出∠A的度数；

(3)如图3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD为AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a25.(本小题14分)

已知，矩形ABCD中，E为边AB上一点．F为CE上一点，AB=3.

(1)如图1，E为AB中点，∠BFC=90∘，求EF⋅EC的值；

(2)如图2，直线AF交BC于G，且AF=FG，求1BE+BG3BC的值；

(3)如图3，若BF=2，DF=5，参考答案一、选择题1.A

2.C

3.D

4.D

5.A

6.D

7.B

8.D

9.A

10.B

二、填空题11.2

12.x1=0，13.−3

14.5215.12

16.24

三、解答题17.解：2x2−3x−5=0，

∴(2x−5)(x+1)=0，

∴2x−5=0，或x+1=0，

∴18.解：原式=2−3+1+2×2×3

=2−3+1+23

=3+3.

19.解：(1)由条件可知大正方形的边长为20.解：(1)如图，A′(4,7)，B′(10,4)；

(2)C′(3a−2,3b−2).

21.解：(1)如图，点E即为所求；

∵DE⊥AD，

∴∠BDE=90∘，

∵∠A=90∘，

∴∠A=∠BDE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBE，

∴△BAD∽△BDE；

(2)由(1)知△BAD∽△BDE，

∴ABDB=BDBE，

∴BD22.解：任务1：设A型新能源汽车每辆的进价是x万元，B型新能源汽车每辆的进价是y万元，

根据题意得：x+y=382x+y=53，

解得：x=15y=23，

答：A型新能源汽车每辆的进价是15万元，B型新能源汽车每辆的进价是23万元；

任务2：设建议A型新能源汽车每辆的售价为m万元，

根据题意得：(m−15)(8+25−m0.5×1)=96，

整理得：m2−44m+483=0，

解得：m1=21，m2=23(不符合题意，舍去)，

答：建议A型新能源汽车每辆的售价为21万元．

23.解：(1)∵实数m、n满足3m2−m−2=0、3n2−n−2=0，

∴m，n是方程3x2−x−2=0的两个不相等的实数根，

∴m+n=13，mn=−23，

∴nm+mn=n2+m2mn=(m+n)2−2mnmn=(13)2−2×(−23)−23=−136；

(2)∵2a+2b=c−7，c<7，

∴a+b=c−72<0，

∵ab=47−c>0，

∴a，b是关于x的方程x2−(c−7)x2+47−c=0的两个根，且a<0，b<0，

∴Δ=(c−7)24−4×1×47−c≥0，

∴(7−c)24≥167−c，

∵7−c>0，

∴(7−c)3≥64，

∴7−c≥4，

∴c≤3，

∴c的最大值是3.

24.解：(1)∵在△ABC中，∠A=36∘，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72∘，

又∵CD是∠ACB的角平分线，

∴∠ACD=∠BCD=36∘，

∴∠A=∠DCA，∠BDC=72∘，

∴AD=CD=BC，

故答案为：AD，CD；

(2)在底边BC上截取BD=AB，连接AD，

∵ABBC=5−12，AB=AC，

∴BDBC=5−12，

∴ACBC=5−12，

∴CDBD=CDAC=5−12，

∴CDAC=ACBC，

又∵∠C=∠C，

∴△ACD∽△BCA，

设∠CAB=∠CDA=x，

∴∠BAD=∠BDA=2x，

∴x+2x+x+x=180∘，

∴x=36∘，

∴∠BAC=108∘；

(3)b2