永磁同步电动机混沌系统的应用

非线性系统的最优模糊保代价控制及在永

磁同步电动机混沌系统中的应用

摘要：研究了具有不确定参数非线性系统的稳定最优模糊保代

价控制问题。采用T-S模糊模型描述非线性系统，对具有范数有

界，时变参数不确定性的非线性系统，得到了存在稳定最优模糊

保代价控制器的充分条件，并推算出了相应的线性矩阵不等式

(LMI)形式。建立了永磁同步电动机混沌系统的T-S模型，采

用最优模糊保代价控制器进行控制，针对不含参数不确定性和含

有参数不确定性两种情况进行仿真研究，均得到满意的控制效

果。

关键词：永磁同步电动机；混沌；不确定参数；T-S模

型；线性矩阵不等式

1引言

混沌控制是当前混沌运动研究的一个新领域。是实现混

沌应用的关键环节。多年来，人们对混沌运动的性质产生了一些

广为接受的认识，即混沌轨道的长期趋势是不可预言的，并且混

沌运动是难以控制的。1990年E.Ott>C.Grebogi和J.A.Yorke⑴

提出控制混沌的思想（0GY控制）产生广泛影响。以后十年，新

的研究成果不断涌现⑵。以上方案无须改变系统固有参数，即可

实现对混沌系统的有效控制，但是，要求系统参数是定常的。当

混沌系统具有不确定参数时，以上方案将失效。近年来，关于不

确定参数的混沌系统的控制已引起重视⑶。电力系统中存在着许

多混沌现象⑷。其中永磁同步电动机的数学模型是多变量、强耦

合的非线性系统，能呈现出非常丰富的动态行为，如极限环和混

沌⑸久对其如何进行控制也是一个重要的研究课题。

对于不确定线性系统，基于Riccati方程和线性矩阵不

等式（LMI）提出了一系列的鲁棒控制器设计方法对于不确

定非线性系统，现有的研究成果还很少。实践证明，具有线性后

件的T-S模糊模型充分利用局部信息和专家经验，能以任意精度

逼近实际的控制对象B⑷。在考虑模型不确定性的情况下，文献

[15T6]提出了模糊鲁棒控制的概念，并取得了一定的成果。本

文针对一类由T-S模糊模型表示的不确定连续非线性系统，导出

了最优保代价控制器存在的充分条件。闭环系统不但渐近稳定，

而且性能指标小于某一代价值。采用线性矩阵不等式（LMI）技

术，给出了该控制器的设计方法和参数化表示。并将所得的控制

器应用到永磁同步电动机混沌系统中，建立了永磁同步电动机混

沌系统的T-S模型，针对不包含不确定参数和包含不确定参数

两种情况，均得到了满意的控制效果。

2问题的描述

在系统局部信息或专家经验存在的条件下，不确定非线

性连续系统可以采用如下i条规则的T-S模糊模型进行描述：

R'：ifZ|(z)isMuandandZf(0isM,x.then

=+(I)

式中k表示T-S模糊模型的第i条规则，也称为模糊子系统;

Zi(t),…，窃(t)为模糊规则的前件变量；为模糊语言集合；

x(t)eRn,u(t)£IT分别为系统的状态变量和控制变量；Ai,Bi

是适当维数的实常数矩阵，AAKt),DBKt)是不确定矩阵，他们

反映了系统模型中的时变参数不确定性。

本文考虑的不确定性假设是范数有界的且有如下结构：

|A4,ASJ=DF(/)[EHEt2](2)

式中DeR^'.%迷/?6"或£门£催5足已知

的具有适当维数的常数矩阵，它们反映了系统不确定性的结构，

F(t)ER'。是具有Lebesgue可测元的不确定矩阵，且满足

FXt)F(t)WI。

上述不确定性的结构假定并不失一般性。首先，它可以

k(h)=，k(h)eI⑻

与系统(3)相美的代价函数取为

J=r[xr(t)Qx(t)+ur(9)

式中Q>0为〃X"维状态加权阵，R>()为

析xm维控制加权阵，

3最优保代价控制

首先给出保代价控制的定义，然后给出模糊不确定系统

⑶的稳定保代价控制器存在条件。在此基础上利用线性矩阵不

等式给出控制器的设计方法。

定义1(俣代价控制)考虑不确定系统(3),如果存在控

制律u*(t)和正标量J*,使得对所有允许的不确定性F(t)F(t)

〈I,闭环系统是稳定的，且代价函数⑼对此闭环系统满足JW

J*,则称「是一个保代价，而称u*(t)是不确定系统⑶的保代价

控制律◊

下面给出不确定系统⑶状态反馈保代价控制律存在的

一个充分条件。

定理1式⑺的反馈控制律是一个保代价控制律，如果存

在公共正定矩阵P^RnXn和矩阵k(h),使得对任意允许的不确定

性F(t),有如下矩阵不等式

8=Q+k'(h)Rk(h)+P|A(/i)+8〃派(%)十

zM(/i)+P<0(10)

成立.Q,/?定义在式(9)中给出.

证明：将式(7)代入式(3)得闭环系统为

i(O«[A(h)-¥B(h)kih)♦AA(/i)+^(h)k(h)]x(t)

(I!)

设存在对称阵p>0使得矩阵不等式(10)对所有允许的不确定

性成立。定义Lyapunov函数为

V(x,t)=xT(t)Px(t)(12)

KU)沿用环系统(11)的任意运动轨迹的时间号数为

Ux.t)=2xr(r)P|A(/i)+B(h)k(h)+ZU(/i)+

^B(h)k(h)]x(f)=xx(t)[0-Q^kr(h)Rk(h)]x(n

(13)

不等式(13)防含

Uxj)<xrit)[-Q-k1(h)Rk(h)]x(t)<0(14)

因此，由Lyapunov稳定性理论，闭环模糊系统(11)是渐近稳定

的。

对式(14)两端从0到7枳分得

r,

-£x(/)[e+Jt(/I)^(/j)|x(rXi/>

x](T)Px(T)-xr(0)Px(0)(15)

由广用环系统(II)是渐近稳定的，力7T8时，

xT(DFr(T)->0,得到

xl(t)lQ^kx(h)Rk(h)\x{tydi<xT(O)Px(Q)(16)

j・=，(0)&(0)(17)

由定义1知定理1的结论成立。

下面将证明，上述推导的存在控制器使全局模糊系统渐

近稳定的充分条件，可等价于线性矩阵不等式的可解性。

引理1川给定具仃适当维数的矩阵Q,M

E和R,凡中Q和R对称且Q0,则Q+HFE+

£7FT//r<0对所有满足尸-尸gR的尸成立.当口仅

当存在£乂)，使得Q+/H〃T+£"ETKE<O。

定理2对于系统(11),存在对称正定矩阵P使不等式

(10)成立，当且仅当存在一标量e〉0,正定对称矩阵X£R-和

矩阵W(h)£贝"满足如下矩阵不等式

4(/0[&S)X式％)WS)JTXW*(h)

EAh)X^EAh)W(h)-d00c

1.<0(18)

X0-QT0

JW(h)00«

式中A(h)=A(h)X+B(h)W(h)+[A(h)X+

8〃j)WS)/+d)&T,而IL如果式(18)有•可切的£,

W(h),X,井旦XX),那么状态反馈控制律为

u(t)^W(h)X-lx(t)(19)

是保代价控制律,而

J*=xT(0)X-,x(0)(20)

是不确定系统(II)的一个保代价•

证明：定义

Y=。+/(力)/?4〃1)+尸[4力)+83)山/川+

|4(/i)+B(/i)i(A)]TP(21)

那么式(10)可被写成式(22)

YPDF[El(A)+E2(A)A(/i)]+

阳6)+&彻『尸O]P<0(22)

根据引理I.上面的不等式对满足

的所行尸⑺成立的充要条件是存在个正

常数£>0使如卜不等式成立•

Y^e\PD]\PD]1+£九£1(力)+£式»*(4)厂・

巴闻+&(硒财〈0(23)

即。=Q+A「(Q版(川+P[AS)+B(h)k(h)H

[AS)+伙QAS)f>+mDDT/>+£7[£]S)+

l

E2(h)k(h)]lEl(h)^E2(h)k(h)]<0(24)

应用schur祚引理，式(24)等价于

A(h)阳(加+£式力求(加］丁/kT(h)

E[(h)+E?(h)k(h)-d00

<0(25)

/0-Q10

k(h)00

-1?T■

A(h)=P[A(h)+BUi)k(h)\^

[4S)+8〃i欣WpP+EPDD'P(26)

式(25)两边乘diag[p-'//〃并11令*=Pi,

.

wg)=&(A)p」=Z%(za))w,.w,即

iM

定理3给定系统(1),存在保代价控制律(19)的条件是，存

在公共正定矩阵X和矩阵\口及标量e,满足如下线性矩阵不等式

以<。./=1,2,--.r

(27)

%+/<(),/</<

其中

&*+⑹"-doo

X0-Q-1o

W/00-Ri

(28)

4=A*+B,Wf+(4,X+/+椁0T

证明：由不等式（18）和式（4）可知，不等式（18）左边等于

24a（，））％（z（。）孔,+工（八历,（：“））＜也,+/〃）＜o,

M/＜）

则坐式（27）成立时，式（18）成立.

定理4考虑系统⑶和代价求政（9）,如果卜・列

优化同熟

mina（29）

f.a.w.X

条件：（I）式（27）成立：

x(0)-X

有解£,a,W,X,则式（19）的控制律是一个无记忆状态反馈控

制律，它使得不确定系统⑶的代价函数的极小值为式（20）。

证明：根据定理2,由任意可行解£,a,W,X所构造的控

制律（19）是系统⑶的一个保代价控制律。由Schur补引理可知,

式（29）中的条件⑵等价于/（。）**0）＜。

所以，由方程（20）有J*＜a。

于是，极小化。隐含极小化不确定系统⑶的代价函数。

而式（29）中，目标函数和约束条件的凸性，保证了该优化问题的

最优性。

4永磁同步电动机混沌系统的T-S建模与控制

4.1T-S建模

将上述控制器应用到文献［5-6］的永磁同步电动机混沌

系统。

考虑加上一个控制项的永磁同步电动机有如下形式的数学模

型（其原模型见文献［5-6］）

跖/df=一1+嫁

%/d?=-4-就+或（30）

d而/d，-<7（^一近）+“

各符号含义见文献|5・6）,“为所加的控制输

入・取系统参数为。:5.46,/=20.在初始条件

伉.。明丁=［0。10.010.01］TF，系统仃如卜混

沌响应曲线，如图1所示。

图I永磁同步电动机的混沌吸引子

HR.1t'haodcattractorof

pcmiancnt.nuignctsynchronousmotors.COHi

图中凶・“勺『=伉.。列\以下讨论也用

"凡X2・修『=[1・名画’・

则永磁同步电动机的混沌数学模型可写成

F=TC

*2=-.q8-占+如(31)

[xy=a(x2-.t3)+u

仿文献[12-13]的建模过程，对永磁同步电动机建立T-S模型。

将非线性项x3(t)x2(t),x3(t)x,(t)写成线性函数加权和的形式。

/2、

仟x)(/)x2(r)=Z",(x(，))g,(x。))x2(f).

勺⑺七“)=£〃,(『“))得(力。)Lei)

U-l)

其中A?I(X(D)=A/HK2(x(r))=A/2.

并且

M广M।M:-Af।

因为两非线性项都是X3的函数，则可以构造如下精确T-S模

型。

R1：ifX)isA/j.(hen£=AM+8“

R‘：ifis-.(hen£=A4,*+B”

--IMi0

4=-1Y.

0。-。

,-IM、0][o'

A2=-M2-IY.8=0

0a-a|.

」L■

由图1知x3(t)£[-20,20],所以选择M产-20,M2=20o由推

导过程可看出M”M2是一类特殊的模糊集合，即精确的数值。是

一种精确建模，无建模误差。

4.2系统不含不确定参数时的最优保代价控制

此时,DA.(t),DBi(t)都为0,故D,E〃,一也都为0。

简单取e=O.l,R=1,Q二I由式(27),(29)得

0.0548-0.00000.0000'

X=-0.00000.06720-0.0170,

0.0000-0.01700.0300

W；=|-0.1347-0.4227-0.39891.

=[0.1345-0.4223-0.39871.

A[=[-2.4575-11.2997-19.7468),

k2=[2.4550-11.2905-19.7348],

最优代价函数值为：05=0.4156,

取式⑺的控制律，在初始条件为

xo=(O.Ol0.010.01)T,u=0及在t二60s加入控制项的仿真

结果如图2所示，可看出加入控制项后系统趋于稳定°

图2无参数不确定性时系统响应曲线■■

Responcecureofsystemwithoutpanuneteruncertainty

4.3系统包含不确定参数时的最优保代价控制

假设系统参数g,s的不确定性在其标称值30%内。其不

确定性代表参数摄动或建模误差。在参数30%摄动下，系统仍呈

现混沌行为。仿真中每个参数加30%随机扰动，由MATLAB中的

rand()随机函数实现，则有

AA,=DF(t)Ei],A4:=DF(t)E2l»

T

A&!=Afi:=[000)

000'000-

D=00.30-00/■

000.3」0。一。

T

E12=E22=(O0OfF(r)F(r)^/»

简单取40