2.3　函数的奇偶性（1大考点+6大题型）（讲义+精练）（学生版）

2.3函数的奇偶性目录TOC\o"1-2"\h\z\u01课标要求 202落实主干知识 3一、函数的奇偶性 3常用二级结论 303探究核心题型 5题型一：常见函数奇偶性的判断 5题型二：抽象函数奇偶性的判断 5题型三：中值模型 6题型四：利用奇偶性求值(解析式) 7题型五：利用奇偶性解不等式 8题型六：求参数问题 804好题赏析（一题多解） 1005数学思想方法 11①数形结合 11②转化与化归 11③分类讨论 1206课时精练（真题、模拟题） 13基础过关篇 13能力拓展篇 15

1、了解函数奇偶性的概念和几何意义.2、会依据函数的性质进行简单的应用.

一、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．常用二级结论1、常用结论①奇偶函数四则运算与复合偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数②奇函数的定义域若包括0，则必有.③为偶函数④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数.⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数.⑦奇函数：；偶函数：⑧若是偶函数，则奇次项系数为0.若是奇函数，则偶次项系数为0.2、常用奇偶函数模型(1)奇函数模型①函数或函数.②函数．③函数或函数④函数或．注意：关于①式，可以写成函数或函数．(2)偶函数模型①函数；②函数；③函数类型的一切函数．3、中值模型基本模型：，其中为奇函数，为常数（1）（2）

题型一：常见函数奇偶性的判断【例1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（

）A． B． C． D．【解题总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立.【变式1-1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为增函数 D．为减函数【变式1-3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义域为的函数不是奇函数，则（

）A．B．C．D．题型二：抽象函数奇偶性的判断【例2】（多选题）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为奇函数C．为偶函数 D．为偶函数【解题总结】性质法判断【变式2-1】（多选题）设为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【变式2-2】（多选题）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（

）A．为偶函数B．为奇函数C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数【变式2-3】（多选题）已知函数的定义域为R，，则（

）A． B． C．是奇函数 D．是偶函数【变式2-4】（多选题）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（

）A．不是奇函数B．既是奇函数又是偶函数C．是奇函数D．既不是奇函数又不是偶函数题型三：中值模型【例3】（2025·山东济南·三模）已知函数，则．【解题总结】，其中为奇函数，为常数（1）（2）【变式3-1】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为．【变式3-2】若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为【变式3-3】若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为.【变式3-4】已知，为导函数，若，则．题型四：利用奇偶性求值(解析式)【例4】（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（

）A． B． C． D．【解题总结】利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.【变式4-1】已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（

）A． B． C． D．0【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知是定义域为的奇函数．若以点为圆心，半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为（

）A． B．C． D．【变式4-3】已知奇函数在上的解析式为，则（

）A． B． C． D．题型五：利用奇偶性解不等式【例5】已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解题总结】利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.【变式5-1】已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式5-3】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式5-4】已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型六：求参数问题【例6】（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【解题总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.【变式6-1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（

）A． B． C．2 D．【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（

）A．2 B．1 C． D．【变式6-3】（2025·高三·广西·期中）若为奇函数，则实数的值等于（

）A．－1 B． C． D．1【变式6-4】若函数为偶函数，则（

）A． B．1 C． D．2

1．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为（

）A． B． C． D．2．已知定义在R上的函数满足，的图象关于y轴对称．当时，对任意，满足，且，则

A． B． C． D．①数形结合1．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知定义在R上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则a的值不可能是

A． B．2025 C． D．33．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是

A． B．C． D．②转化与化归4．已知为奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为

．5．已知函数，则不等式的解集是

．6．设函数的最大值为M，最小值为m，则

．③分类讨论7．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为

．8．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是

．9．已知函数为偶函数，则

．

基础过关篇1．（2025·安徽·模拟预测）函数．若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．2．（2025·四川·三模）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B． C．4 D．63．（2025·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C． D．25．（2025·江西·模拟预测）函数是（

）A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为6．（2025·江西·模拟预测）已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（

）A． B．C． D．7．（2025·安徽·三模）已知函数，，若下图是函数图象的一部分，则可能等于（

）A． B．C． D．8．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2025·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（

）A． B． C． D．10．（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．11．（多选题）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．12．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A．是偶函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是奇函数13．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B．是奇函数 C．是增函数 D．14．（多选题）（2025·江苏盐城·三模）已知函数是奇函数，且，则（

）A．B．C．在R上单调递增D．若对任意实数，不等式恒成立，则15．（2025·广东茂名·二模）已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是.（写出一个满足条件的函数即可）16．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则.能力拓展篇17．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则.18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是．19．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数是偶函数，且当时，，则不等式的解集为．（用区间表示）20．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，且，则.21．已知是定义在上的奇函数，，若在