3.1 导数的概念及其意义、导数的运算（2大考点+8大题型）（讲义+精练）（学生版）

3.1导数的概念及其意义、导数的运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u01课标要求 202落实主干知识 3一、导数定义与几何意义 3二、导数的计算 3常用二级结论 403探究核心题型 6题型一：导数的运算 6题型二：求切线方程 7题型三：以值代参解决切线问题 8题型四：利用切线方法解决距离最值问题 9题型五：切线条数 10题型六：切线问题之弦长问题 11题型七：公切线问题 12题型八：切线新定义问题 1304好题赏析（一题多解） 1605数学思想方法 17①数形结合 17②转化与化归 17③分类讨论 1706课时精练（真题、模拟题） 19基础过关篇 19能力拓展篇 21

1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2、通过函数图象，理解导数的几何意义.3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

一、导数定义与几何意义1、①函数从到的平均变化率为：.变式：.②函数在处附近的平均变化率为：.③平均变化率的几何意义：割线的斜率；平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.2、函数在处的瞬时变化率（导数）：.几何意义：切线的斜率；物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.变式：①，②，③3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率即，因此切线方程是：.二、导数的计算1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数)②若，则，简记为③若，则，简记为④若，则，简记为⑤若，则，简记为⑥若，则，简记为⑦若，则，简记为⑧若，则，简记为2、和差积商法则：①；②；③；④．3、复合函数的求导法则：复合函数的导数与函数，的导数间的关系是常用二级结论1、切线问题(1)在某点的切线方程思路：函数在点处的切线方程为：，关键(2)过某点的切线方程思路：设切点为，则斜率过切点的切线方程为，又因为切线方程过点所以然后解出的值带入切线方程即可．（有几个值，就有几条切线）过点与在点处的区别在点处的切线指的是为切点的切线．过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条．(3)公切线问题若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求公切线思路：设直线与和的切点分别为和，写切线，，化斜截：，斜率相等，截距相等：两个方程解两个未知数，解出，带入所写切线即可．(4)切线求参①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标．②若在点处的切线过点，则．③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．

题型一：导数的运算【典例1-1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（

）A．0 B．2 C．－2 D．－4【典例1-2】已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题总结】(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【变式1-1】（2025·高三·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（

）A． B．C． D．【变式1-2】求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【变式1-3】求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4).【变式1-4】已知函数满足,求的解析式题型二：求切线方程【典例2-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【解题总结】处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.【变式2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．【变式2-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B．1 C． D．题型三：以值代参解决切线问题9．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（

）A．1 B． C．e D．【典例3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【解题总结】已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．【典例3-2】（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为．【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（

）A．0 B．1 C．-1 D．【变式3-2】若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或【变式3-3】（2025·陕西咸阳·三模）若曲线与曲线相切，则的值是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式3-4】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【变式3-5】（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（

）A．1 B． C． D．题型四：利用切线方法解决距离最值问题【典例4-1】（2025·安徽·三模）已知且，若定义，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【典例4-2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解题总结】利用导数的几何意义求最值问题【变式4-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为．【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.【变式4-3】（2025·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为.【变式4-4】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为．【变式4-5】（2025·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为．题型五：切线条数【典例5-1】已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【典例5-2】（2025·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（

）A． B． C． D．【解题总结】设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．【变式5-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（

）.A． B． C． D．【变式5-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线（

）A．有条 B．有条 C．有条 D．有条【变式5-3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条题型六：切线问题之弦长问题【典例6-1】（2025·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．【典例6-2】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．【解题总结】利用导数的几何意义进行转化【变式6-1】若直线与函数和的图象分别相切于点，则（

）A．2 B． C． D．【变式6-2】（2025·高三·湖北·期末）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则，的取值范围是．【变式6-3】（2025·高三·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为.【变式6-4】设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则；的取值范围是.【变式6-5】已知曲线在点处的切线与轴相交于点，曲线在点处的切线与轴相交于点，，则，当时，的取值范围是.题型七：公切线问题【典例7-1】（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是.【典例7-2】若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则.【解题总结】公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.【变式7-1】已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是【变式7-2】（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是．【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.【变式7-4】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为．【变式7-5】（2025·安徽黄山·二模）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.题型八：切线新定义问题【典例8-1】若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为.【典例8-2】（多选题）（2025·吉林·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（

）A．切线的方程为 B．C． D．若，则【解题总结】数形结合处理【变式8-1】已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为．【变式8-2】（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中.(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位）(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.（i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；（ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，）【变式8-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（IsaacNewton，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，并称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，称为r的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与x轴交于点，并称为r的次近似值．(1)若函数，取作为r的初始近似值，求r的2次近似值；(2)若函数，取作为r的初始近似值，点，数列是由，，，…，构成的，记：，．回答以下问题：①请将的长度用n表示；②求证：．

1．（2025年高考全国一卷数学真题）若直线是曲线的切线，则.2．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．

①数形结合1．已知曲线：与曲线在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线倾斜角分别为，则

A． B． C． D．2．过点有n条直线与函数的图像相切，当n取最大值时，m的取值范为

A． B． C． D．3．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数m的取值范围是

A． B．C． D．②转化与化归4．若直线与曲线相切，则的最小值为

A． B．1 C． D．25．若过点可以作曲线的两条切线，则

A． B． C． D．6．若是的切线，则的取值范围为

A． B． C． D．③分类讨论7．已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的取值范围为

A． B． C． D．8．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．9．直线是曲线和的公切线，则

A． B．0 C．0或 D．

基础过关篇1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（

）A． B． C． D．2．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（

）A． B． C． D．3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．14．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（

）A．1 B． C． D．25．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．e6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．9．（多选题）（2025·山东·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（

）A．当时，B．函数有2个零点C．函数在点处的切线方程为D．，都有10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则（

）A．函数仅有一个零点B．若函数在点处与x轴相切，则C．D．若为增函数，则11．（2025·福建福州·模拟预测）已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范