等差数列的前n项和课件-高二下学期数学北师大版选择性

1.2.2

等差数列的前n项和

高斯(1777—1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1+2+3+4+5+…+100=？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5050！”老师和其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？问题：1.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？2.对于一般的等差数列，如何求它的前n项和？知识点1：等差数列的前n项和=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）1+2+3+4+5+…+100=101×50=5050.对首项为a1，公差为d的等差数列{an},设Sn是{an}的前n项和，即根据等差数列{an}的通项公式,上式可以写成Sn=

a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-l)d],Sn=a1+a2+a3+…+an.再把项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=

an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-l)d],①+②,得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an).因此，等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数公式特别地，当a1=1，d=1时，n个连续正整数的和知识点2：等差数列的前n项和公式的简单应用问题：已知数列{an}是等差数列，结合前n

项和公式完成下列问题：（1）若a1=2，a2

=4，求S10；（2）若a1=1，d

=2，Sn

=25，求n.解：（1）∵a1=2，a2

=4，∴d

=2，由等差数列的前n项和公式可得，（2）把a1=1，d

=2，Sn

=25代入得：25=n+n（n-1），整理，得n2=25，解得n=5或-5（舍去），所以n=5.思考：等差数列的前n项和公式中共涉及哪几个相关量？这几个量分别表示什么？这几个相关量中，已知几个可以求出其他几个？判断的依据是什么？提示：等差数列的前n项和公式，两种形式的公式中都有四个变量，四个变量中可以知三求一，解方程.解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列.例1:求从1开始的连续n个正奇数的和.由等差数列的前n项和公式，得故从1开始的连续n个正奇数的和为n2.提示：图中小正方形的数量刚好是思考:你能看出右图与本题的关系吗？1+3+5+7+9+11+（2×7-1）=72.故从1开始的连续7个正奇数的和为72.若

a1=5，a10

=95，n=10，求等差数列{an}的前n项和.解：由等差数列{an}的前n项和可得解：（1）设从第1圈到第9圈的石板数所成数列{an},由题意知，数列{an}是等差数列，其中首项a1=9，公差d=9，项数n=9.例2:如图，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：（1）第9圈共有多少块石板？（2）前9圈一共有多少块石板？由等差数列的通项公式，得a9=a1+(n-1)d=9+(9-1)×9=81（块）.（2）由等差数列的前n项和公式，得因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.（块）.复习导入等差数列的前n项和公式或注意：两个公式都表明要求Sn必须已知n，a1，d，an中的三个.思考：等差数列{an}中，观察其前

n项和

Sn、前2n项和

S2n与前3n项和S3n，说说它们有何关系？知识点1：等差数列的前n项和公式同样我们发现

S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列

Sn，S2n-Sn=

Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为

n2d的等差数列.分析：S2n=

a1+a2+…+an+an+1+…+a2n

=

Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)

=2Sn+n2d.解：因为an+1-an=[2（n+1）+3]-（2n+3）=2，所以数列{an}是公差为2的等差数列.例1:在数列{an}中，an=2n+3，求这个数列从第100项到第200项的和S的值.此数列从第100项到第200项仍是等差数列，共有101项.所求和为因此，这个数列从第100项到第200项的和S的值为30603.解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m）组成了一个数列0,20,40,60，…，380，例2:在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处,植树工人共走了多少路程？这是首项a1=0，公差d=20，项数n=20的等差数列，其和因此，植树工人共走了3800m的路程.例3:某抗洪指挥部接到预报,24h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？需要完成的工作量为24×20=480.因此，在24h内能构成第二道防线.解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h）依次设为a1，a2，a3，…，a25.这是一个等差数列，其中首项a1=24，公差d=

，25辆车可以完成的工作量为知识点2：等差数列的前n项和与二次函数的关系①d=0：Sn

=a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点；②d<0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点；③d>0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点.等差数列{an}的前n项和公式Sn=OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系归纳总结dd=0d<0d>0数列图象Sn

最值联系OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)无最大值最小值当d≠0时，Sn可以看成二次函数（x∈N+）当x=n时的函数值.解法一：a1＞0，d=＜0，∴{an}是递减数列，∵当n<8时，an>0，当n=8时，an=0，当n>8时，an<0，∴当n=7或8时，Sn

最大.例4:已知等差数列

的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.∴an=a1+（n-1）d=.所以Sn例4:已知等差数列

的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.解法二：由题可得，等差数列的公差为所以，当n取与最接近的整数，即7或8时，Sn取得最大值.

解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法：归纳总结(1)当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.

可由an≥0，且an+1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.

可由a