人教版九年级数学下册：三边成比例判定三角形相似（教案）

人教版九年级数学下册：三边成比例判定三角形相似（教案）

一、课程理念与课标解读

本节课隶属于“图形与几何”领域中的“图形的相似”主题。2022年版《义务教育数学课程标准》明确指出，该主题的学习旨在让学生“理解相似图形的概念和基本性质，掌握三角形相似的判定定理，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题”。核心素养导向下，本节课的学习不仅是掌握一个判定定理，更是发展学生几何直观、推理能力、模型观念和应用意识的关键载体。

核心素养落点分析：

1.几何直观与推理能力：从“两边夹一角”的三角形全等判定（SAS）类比迁移到“三边成比例”的三角形相似判定，是合情推理的典型过程。通过测量、计算、比较、猜想、论证的完整探究链条，学生将经历从实验几何到论证几何的思维升华，体会数学知识之间的内在联系，构建完整的认知结构。

2.模型观念与应用意识：“三边成比例”的判定方法是解决无法直接测量角度或仅知边长的实际几何问题的有力工具。通过学习，学生能将现实问题抽象为相似三角形模型，利用比例关系进行计算和推理，深刻体会数学的工具价值。

3.创新意识与跨学科视野：在定理的发现与应用中，鼓励学生突破固有思维，建立不同知识模块（如比例、全等、坐标）间的联系。通过介绍相似三角形在测量学、工程制图、计算机图形学等领域的应用，展现数学作为基础学科的强大渗透力，培养学生的跨学科思维。

二、教学背景分析

1.教材分析

本节课是人教版九年级下册第二十七章“相似”中第二十七单元“相似三角形”的第二课时。在此之前，学生已经学习了相似多边形的定义、相似比的概念，以及第一课时“平行线分线段成比例”和“相似三角形的预备定理”。本节课的判定定理，与后续即将学习的“两边成比例且夹角相等”的判定定理，共同构成了三角形相似的判定体系，是全等三角形判定体系的自然推广和深化。它承上启下，是学生系统掌握相似理论的核心环节。

2.学情分析

1.认知基础：九年级学生已经具备了较强的逻辑思维能力，掌握了三角形全等的SSS、SAS等判定方法，熟悉比例的基本性质。他们初步具备了类比、猜想、验证的探究能力。

2.可能障碍：学生容易将全等判定中的“边相等”机械地迁移为相似判定中的“边成比例”，但对“比例”的理解可能停留在数值计算层面，对其几何意义（形状不变）的理解不够深刻。此外，定理的证明需要构造辅助线，并综合利用平行线分线段成比例定理、相似多边形定义等知识，思维跨度较大，是本节课的难点。

3.学习心理：学生对几何探究有较高兴趣，但面对较为复杂的论证可能产生畏难情绪。需要通过有梯度的问题设计和直观的动手操作，维持其探究热情。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能

1.理解并掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。

2.能够准确、熟练地运用该定理证明两个三角形相似，并进行相关计算。

3.了解该定理的证明思路和方法，体会转化思想。

2.过程与方法

1.经历从全等判定到相似判定的类比猜想、实验验证、逻辑证明的完整数学探究过程。

2.通过尺规作图、测量计算、几何画板动态演示等多种活动，增强几何直观体验。

3.学会在复杂图形中识别和构造满足条件的相似三角形，发展分析问题和解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，建立学习几何的自信心。

2.体会数学知识之间的普遍联系与辩证统一（从特殊全等到一般相似）。

3.感受几何判定定理的简洁与力量，激发进一步探索几何世界的兴趣。

四、教学重难点

1.教学重点：“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的探究、理解与应用。

2.教学难点：判定定理的证明；在综合性强、图形复杂的题目中灵活运用该定理。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示）、三角板、圆规、学习任务单。

2.学生准备：直尺、圆规、量角器、计算器、课堂练习本。

六、教学过程实施

第一阶段：创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

活动一：复习回顾，建立链接

1.问题链引导：

1.2.“我们如何定义两个三角形相似？”（对应角相等，对应边成比例）

2.3.“根据定义判定相似，需要验证几个角的关系？几条边的关系？”（六个条件，过于繁琐）

3.4.“类比三角形全等的判定，我们能否找到更简洁的判定方法？”（渗透简化思想）

4.5.“上节课我们学习了哪种特殊的相似情形？”（平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似——预备定理）

设计意图：从定义判定的繁琐性引出寻求简洁判定的必要性，类比全等的研究路径，明确本节课的探究方向，自然衔接新旧知识。

活动二：情境引入，激发疑问

呈现情境：“工程师小王需要测量一个大型三角形结构件（△ABC）的尺寸，但由于角度难以直接测量，他只精确测得了三边长：AB=15m，BC=12m，AC=9m。他在图纸上绘制了一个小三角形△A‘B’C‘，其三边分别为A’B‘=5cm，B’C‘=4cm，A’C‘=3cm。他能断定实物与图纸上的三角形形状相同（即相似）吗？为什么？”

引导学生思考：仅凭三组对应边的长度关系，能否确定形状相同？这组边长的数值有何特点？(15:5=12:4=9:3=3:1)

设计意图：创设真实、简洁的问题情境，让学生直面“仅知三边如何判形”的核心问题。具体的数据比（3:1）易于计算和观察，为猜想做好铺垫。

第二阶段：合作探究，建构新知（预计时间：22分钟）

活动三：动手实验，大胆猜想

1.分组实验：

1.2.任务一（画图）：请任意画一个△ABC。再画一个△A‘B’C‘，使得A’B‘:AB=B’C‘:BC=A’C‘:AC=k(k为不等于1的任意正数，如0.5,1.5,2)。要求使用尺规作图或精确测量作图。

2.3.任务二（测量与计算）：用量角器测量两个三角形的三个内角，分别比较∠A与∠A‘，∠B与∠B’，∠C与∠C‘的大小。计算三组对应边的比值是否相等。

3.4.任务三（猜想）：根据小组的实验数据，你能提出什么猜想？

5.交流分享：各小组汇报实验结果。教师利用几何画板进行动态验证：任意改变△ABC的形状和大小，再动态生成一个满足三边对应成比例（k值可滑动调整）的△A‘B’C‘，观察两个三角形的角是否始终自动相等，形状是否始终保持一致。

6.形成猜想：在所有小组实验和动态演示的基础上，师生共同提炼出猜想：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

设计意图：学生亲历“画图-测量-计算-观察-归纳”的完整过程，获得丰富的感性认识。几何画板的动态演示超越了手工测量的误差局限，提供了无限次的可重复验证，使猜想的确立更加坚实可信。这是从实验几何走向论证几何的关键一步。

活动四：逻辑证明，深化理解

这是突破难点的核心环节，采用“教师引导，师生共析”的方式展开。

1.分析命题，明确已知与求证：

1.2.已知：在△ABC和△A‘B’C‘中，AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘。

2.3.求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

4.联想类比，寻找桥梁：回顾相似的定义（角等、边比等）和已学过的判定方法（预备定理）。如何利用“边成比例”的条件，转化为“角相等”或“平行线”？

5.启发构造，转化问题：

1.6.“我们能否构造一个与△A‘B’C‘全等，同时又与△ABC有特殊位置关系（如包含关系或平行关系）的三角形？”

2.7.思路揭示：在△ABC的边AB上截取AD=A‘B’，过点D作DE∥BC，交AC于点E。根据平行线分线段成比例定理，可得△ADE∽△ABC，且AD/AB=AE/AC=DE/BC。

3.8.关键对比：将已知条件AB/A‘B’=AC/A‘C’=BC/B‘C’与上式结合。因为AD=A‘B’，所以有AD/AB=A‘B’/AB。结合已知，可推出AE=A‘C’，DE=B‘C’。

4.9.完成论证：在△ADE和△A‘B’C‘中，AD=A’B‘，AE=A’C‘，DE=B’C‘，根据SSS判定，△ADE≌△A’B‘C’。又∵△ADE∽△ABC，∴△A‘B’C‘∽△ABC。

10.凝练定理，规范表述：

1.11.师生共同用文字语言、图形语言和符号语言完整表述判定定理。

2.12.符号语言：在△ABC和△A‘B’C‘中，若AB/A’B‘=BC/B’C‘=CA/C’A‘，则△ABC∽△A’B‘C’。

3.13.强调：书写时要注意对应顶点写在对应的位置。

设计意图：证明过程是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材。通过分析、联想、构造、转化，学生不仅学会了定理的证明，更深刻体会了将未知（相似）转化为已知（全等+预备定理）的数学思想方法。清晰的板书板演至关重要。

第三阶段：应用迁移，分层巩固（预计时间：12分钟）

活动五：基础应用，掌握格式

例1：根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

(1)AB=4cm,BC=6cm,CA=8cm；DE=12cm,EF=18cm,FD=24cm。

(2)AB=6cm,BC=7cm,CA=8cm；DE=12cm,EF=14cm,FD=16cm。

(3)AB=4cm,BC=4.5cm,CA=6cm；DE=12cm,EF=13.5cm,FD=18cm。

【教学处理】学生口答，重点强调解题步骤：①排序（将三边按大小顺序排列）；②计算比值；③判断（比值是否相等）；④下结论。通过(1)(2)巩固步骤，通过(3)揭示即使比值相等（均为1:3），但若对应关系错误（如AB与EF对应），则不一定相似，强化“对应”意识。

例2：（回归引例）请用严谨的数学语言解决工程师小王的问题。

设计意图：通过直接应用，使学生熟练掌握利用定理进行判断的规范流程和计算技巧，同时辨析易错点，将情境问题数学化解决，首尾呼应。

活动六：综合辨析，深化认知

问题组：

1.“三边对应成比例”与“三角对应相等”在判定相似上是等价的吗？为什么？

2.“三边成比例”的相似判定，与全等判定中的“SSS”有何异同？（联系与区别）

3.已知△ABC的三边长分别为3,4,5，△DEF与△ABC相似，且△DEF的最长边为15，求△DEF的周长。

【教学处理】问题1、2引导学生从定义和逻辑层面进行思辨，深化对定理本质的理解。问题3则需要学生先由最长边确定相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，实现不同知识点间的融会贯通。

第四阶段：拓展延伸，升华素养（预计时间：5分钟）

活动七：文化链接，视野拓展

微专题：《相似三角形在人类文明中的应用》

1.泰勒斯测金字塔：介绍古希腊学者泰勒斯利用相似三角形原理测量金字塔高度的故事，感受数学的古老智慧。

2.工程与艺术：简要说明相似原理在建筑蓝图缩放、电影特技模型制作、地图绘制等领域的基础性作用。

3.现代科技：提及计算机视觉中的图像识别、无人机测绘中的三维重建等技术背后，都有相似三角形理论的支撑。

设计意图：打破课堂边界，将数学知识与科学史、工程技术、现代生活相联系，展现数学的强大生命力和文化价值，激发学生的持久兴趣和探索欲。

第五阶段：总结反思，布置作业（预计时间：3分钟）

活动八：自主梳理，构建体系

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识：我们今天学习了三角形相似的一个新判定方法——三边成比例。

2.方法：我们经历了“现实问题→猜想→实验验证→逻辑证明→应用”的科学研究一般过程；学会了类比、转化、构造等数学思想方法。

3.思想：体会了从特殊（全等）到一般（相似）的数学发展规律。

分层作业设计：

1.【基础巩固】（必做）

1.2.教材课后练习对应题目。

2.3.判断以下各组三角形是否相似：①(2,3,4)与(4,6,8)；②(3,4,5)与(6,8,10)；③(2,2.5,3)与(8,10,12)。

3.4.证明：如果一个三角形的三边长与另一个三角形的三边长成正比，则它们的对应高线之比也等于该比例。

5.【能力提升】（选做）

1.6.已知△ABC∽△DEF，且AB:DE=2:3。若△ABC的最短边为4cm，求△DEF的最短边。若△ABC的周长为18cm，求△DEF的周长。

2.7.在四边形ABCD中，AB=2,BC=3,CD=4,DA=5。问：是否存在一个四边形，其各边与四边形ABCD的各边对应成比例？若存在，请画出示意图；若不存在，请说明理由。（提示：对比三角形与多边形的稳定性）

8.【探究拓展】（研学）

查阅资料，了解并尝试用其他方法（如坐标法、向量法）证明“三边成比例则两三角形相似”这一定理，写一份简要的研究报告。

七、板书设计

（左侧主版区）

课题：27.2.1相似三角形的判定（二）

——三边成比例的两个三角形相似

一、猜想：

三组对应边的比相等⇒两个三角形相似

二、证明：

已知：AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’

求证：△ABC∽△A‘B’C‘

证明：（关键步骤图示与文字简述）

1.在AB上截取AD=A‘B’…

2.作DE∥BC…

3.证△ADE∽△ABC(预备定理)

4.证△ADE≌△A‘B’C’(SSS)

5.∴△ABC∽△A‘B’C’

三、定理：（符号语言）

∵AB/A‘B’=BC/B‘C’=CA/C‘A’

∴△ABC∽△A‘B’C’

（右侧副版区）

应用步骤：

1.排序找对应

2.计算比值

3.判断定论

例1：（简要板书）

例3：（关键步骤）

思想方法：类比、转化、构造

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流的积极性、提出问题的能力。

2.3.任务单分析：通过“实验猜想记录表”评价学生的动手操作、数据收集和分析归纳能力。

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