2026年山东专升本高数二真题及答案

2026年山东专升本高数二真题及答案一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(x)A.0B.C.1D.∞2.设函数y=cosxA.−B.(C.−D.(3.若广义积分dx=1A.B.C.D.π4.设矩阵A=(1234)，则A的伴随矩阵（）4.设矩阵A.(B.(C.(D.(5.下列级数中收敛的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6.设f(x)={7.曲线y=8.定积分(+9.微分方程+410.设向量α=(1,2三、计算题（本大题共8小题，共60分。解答应写出推理、演算步骤）11.(6分)求极限。12.(7分)设函数y=y(x)由方程x13.(7分)计算不定积分∫x14.(7分)计算定积分xsin15.(7分)求微分方程+y16.(8分)设z=arctan，求，及全微分dz17.(8分)计算二重积分(+)dσ，其中D是由圆18.(10分)已知线性方程组{(1)求k为何值时方程组有解；(2)在有解时，求方程组的全部解。参考答案及详细解析一、选择题1.答案：B解析：考察极限的计算。当x→1时，分子原式==故选B。2.答案：A解析：考察微分的计算。先求导数：=(所以dy故选A。3.答案：A解析：考察广义积分的计算。dx由题意=1，解得k故选A。4.答案：B解析：考察伴随矩阵的求法。对于2×2矩阵A=(abcd)此处a=1,b=2,故选B。5.答案：C解析：考察级数收敛性的判定。A:∑是调和级数，发散；B:∑=∑，C:∑，p=2>D:=1故选C。二、填空题6.答案：-2解析：函数在x=1处连续，需满足=1(a令a+3=7.答案：(-1,2)解析：=3+6令=0，得x当x<−1时<0，当x>y(所以拐点坐标为(−8.答案：解析：利用定积分的性质及奇偶性。dxdx根据定积分的几何意义，dx表示单位圆上半部分的面积，即。所以原式=09.答案：y解析：特征方程为+4r+解得特征根==通解为y=10.答案：10解析：向量内积[α三、计算题11.解：考察型未定式极限，使用洛必达法则。\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{x^2}&=\lim_{x\to0}\frac{(e^x1x)'}{(x^2)'}\quad\text{（分子分母分别求导）}\\&=\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{2x}\quad\text{（仍为}\frac{0}{0}\text{型，继续洛必达）}\\&=\lim_{x\to0}\frac{(e^x1)'}{(2x)'}\\&=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}\\&=\frac{e^0}{2}=\frac{1}{2}\end{aligned}故极限为。12.解：方程两边对x求导，注意y是x的函数。\begin{aligned}\frac{d}{dx}(xy+e^y)&=\frac{d}{dx}(x)\\(1\cdoty+x\cdoty')+e^y\cdoty'&=1\\y+xy'+e^yy'&=1\end{aligned}解出：(求dy当x=0时，代入原方程0·y+=0，得=修正：通常此类题目常数项调整，假设题目为xy+=e或类似，若严格按题目xy+=x，则x=0无定义。若题目意为求x=0处导数，可能题目抄写有误，或者考察隐函数存在性。但为了计算演示，假设题目为当x=0时，代入导数表达式：=所以dy(注：若严格按原题xy+=x，则x=0时无对应y值，无法求该点导数。此处按常规考试题型，假定常数项使x=0有解进行解答逻辑展示，实际做题需注意题目具体数值)。假设题目为xy+=1，则答案为dx13.解：使用不定积分的分部积分法。设u=lnx则du=d根据公式∫u\begin{aligned}\intx\lnx\,dx&=\frac{1}{2}x^2\lnx\int\frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}dx\\&=\frac{1}{2}x^2\lnx\frac{1}{2}\intxdx\\&=\frac{1}{2}x^2\lnx\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x^2+C\\&=\frac{1}{2}x^2\lnx\frac{1}{4}x^2+C\end{aligned}14.解：使用定积分的分部积分法。设u=x，则du=d\begin{aligned}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sinx\,dx&=\left[-x\cosx\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-\cosx)dx\\&=\left(-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}(-0\cdot\cos0)\right)+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx\\&=(00)+\left[\sinx\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\&=\sin\frac{\pi}{2}\sin0\\&=10=1\end{aligned}15.解：这是一阶线性微分方程+P(x)y通解公式为y=首先计算积分因子：∫=代入公式：\begin{aligned}y&=\frac{1}{x}\left(\int\frac{\sinx}{x}\cdotx\,dx+C\right)\\&=\frac{1}{x}\left(\int\sinx\,dx+C\right)\\&=\frac{1}{x}\left(-\cosx+C\right)\end{aligned}故通解为y=16.解：对z=设u=，则z==全微分dzd17.解：积分区域D为环形区域1≤被积函数为+，且区域为圆环，故采用极坐标计算。令x=rcosθ，区域D在极坐标下表示为：0≤θ≤\begin{aligned}\iint_D(x^2+y^2)d\sigma&=\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2r^2\cdotrdr\\&=\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2r^3dr\\&=\left(\int_0^{2\pi}1d\theta\right)\cdot\left[\frac{1}{4}r^4\right]_1^2\\&=2\pi\cdot\frac{1}{4}(2^41^4)\\&=2\pi\cdot\frac{1}{4}(161)\\&=2\pi\cdot\frac{15}{4}\\&=\frac{15\pi}{2}\end{aligned}18.解：对增广矩阵进行初等行变换。A→→→→(1)要使方程组有解，系数矩阵的秩必须等于增广矩阵的秩。观察最后一行对应的方程：0+显然−6≠0无论k取何值，增广矩阵最后一行非零，故R(因此，对于任意实数k，方程组都有唯一解。(注：若计算过程中出现0=0则为无穷解，0=d≠0则无解。此处算得−6(2)求方程组的解。由阶梯形矩阵回代求解：{由第三个方程得：=−代入第二个方程：=代入第一个方程：\begin{aligned}x_1&=12x_2+x_3\\&=12\left(\frac{-k-1}{3}\right)+\left(-\frac{k+4}{6}\right)\\&=1+