专题13 相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型解读与提分精练（解析版）

专题13相似三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型目录TOC\o"1-3"\h\u 1模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1模型2.相似三角形模型之手拉手模型 10模型3.相似三角形模型之十字架模型 18 27模型1.相似三角形模型之一线三等角模型1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED。证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可证：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，．问题探究：（1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值；（2）如图2，当为矩形时，若求的值；应用拓展：（3）如图3，当为菱形时，交于点G，且求的长．【答案】（1）；（2）；（3）【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、全等三角形综合问题【分析】（1）在上截取，连接，利用正方形性质证明，再利用解三角形求出，继而得到答案；（2）在上截取，连接，利用矩形性质得，再证明，再利用勾股定理得即可求出；（3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，证明，再利用菱形性质及解三角形列式即可得到答案．【详解】解：（1）当为正方形时，若，则的值为，理由如下：在上截取，连接，如图：，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）在上截取，连接，如图：，∵为矩形，∴，∴，∴，∵∴，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴；（3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，，∵，，∴，同理，∴，，∵为菱形，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，正方形性质，菱形性质，平行四边形性质，解三角形相关计算，等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等．例2．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型．应用：(1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、公式法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）证明，则，，即可得到结论；（2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可；（3）延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案．【详解】（1）解：．证明：四边形为矩形，．，，又，∵，∴，，，，．故答案为：；（2）如图1，延长至点N，使，．为等边三角形，，∵，，∴，∴，∴，．设，则，，，解得（负值已舍去）．∴，过点M作于点D，在中，，，，，在中，，（3）如图3，延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，，∴，为等腰直角三角形，．设，则，，，∵，∴，∵，∴，∴，，即，解得，（舍去），．，，，∴．模型2.相似三角形模型之手拉手模型“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=，；结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，，；结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.例1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________；(2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由；(3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数．【答案】(1)(2)不改变，理由见解析(3)（或），【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可．（2），M为中点，，，，证明，即可求解．（3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解．【详解】（1）解：连接，过点D作于点F，∵与都为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵N为中点，∴，∵M为中点，∴∵∴∵∴C，M，N三点共线．∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形，∴，在中，∴，∴；连接，∵，M为中点，∴CM⊥AB，，，∴，∴，∵，N为中点，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的值不会发生改变．（2）延长交于点H，连接，∵四边形和四边形为正方形，∴，，，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用．例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，．深入探究：（1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，．解决问题：（2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______．拓展应用：（3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点）【答案】（1）证明见解析；（2），；（3），【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合【分析】（1）只需要利用SAS证明即可得到，，再证，即可推出即可证明，．（2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出，证明△AEC∽△FEB，求出，则；（3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出，则，利用勾股定理即可求出；求出，证明∠CBE=90°，则，同理可证△ACE≌△ABD，则．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，，且，∴，∵，∴，∴，即，．（2）同理可证△ABD≌△ACE，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，∴BE=6∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6，∴，又∵∠AEC=∠BEF，∴△AEC∽△FEB，∴∴，∴，∴；（3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，∵∠ABE=45°，∴∠HEB=45°=∠HBE，∴BH=EH，∵，∴，∴，∴，∴，∴；∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，，∴∠CBE=90°，∴，同理可证△ACE≌△ABD，∴．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．模型3.相似三角形模型之十字架模型1）条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：.证明：四边形为矩形，，；DE⊥AC，，，，，.2）条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：.证明：如图，过点F作于点G，则；四边形为矩形，，四边形为矩形，；；EF⊥AC，，；，，，易证：DC=AB，FG=BC，.3）条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，EF⊥MN，结论：.证明：如图：过点N、F作、垂直，；四边形为矩形，，四边形为矩形，；∵EF⊥MN，，∴；又∵（对顶角相等），∴；∴，，易证：NH=AB，FG=BC，.例1．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能得到是解决此题的关键．(1)根据矩形的性质证明，然后即可证明；(2)根据勾股定理求出的长，再求出三角形的面积，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得三角形的面积，进而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：四边形为矩形，，，，，，，，；（2）四边形为矩形，，在中，，，，，，，，四边形的面积．例2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：(1)如图1，在正方形中，、分别是、上两点，连接、，若，求证：．(2)在（1）的条件下，求证：；(3)如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值；(4)如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，，结合，即可证明；（2）在正方形中，，得到，根据得出，进而得到，即可证明；（3）设与交于点，根据矩形的性质可得：，，由，得到，推出，证明，得到，结合，即可求解；（4）过点作交的延长线于点，先证四边形为矩形，得出，，进而得到，，即可证明，得出，即可得答案．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，在与中，，；（2）证明：在正方形中，，，，，，；（3）解：如图2，设与交于点，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，；（4）解：如图3，过点作交的延长线于点，，，四边形为矩形，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，采用类比的数学思想方法是解题的关键．例3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践已知矩形，点在边上，点在边上，点在边上，，垂足为点．(1)如图1，当时，点与点重合时，则与的数量关系是：_______（填“>”、“=”、“<”号）．(2)如图2，若，求与的数量关系；(3)应用（2）中的结论解决问题：①如图2，若，，，则的最小值为________；②如图3，在中，，，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，请直接写出的长．【答案】(1)(2)(3)①；②【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合【分析】（1）先证明四边形是正方形，然后证明，可得到和的关系；（2）过点作于点，先证明四边形是矩形，再证明，得到，当时，可以得到；（3）①取的中点，取的中点，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，当最小时，最小，由，得到、、三点共线时，最小，接着证明，得到，利用勾股定理和（2）中结论，可以求得和，利用，，不防设，，那么，，代入可求得，最后利用勾股定理分别求得和，最后算得答案．②延长使，连接，，先证明四边形是矩形，利用（2）中结论，时，，从而算得答案．【详解】（1）解：四边形是矩形，又四边形是正方形，，，又故答案为：．（2）解：如图，过点作于点，四边形是矩形，，四边形是矩形又（3）解：①取的中点，取的中点，连接，四边形是矩形，，，当最小时，最小、、三点共线时，最小如下图所示：，，又由（2）可知，时，，，，，，，不防设，那么，，，，②延长使，连接，四边形是平行四边形四边形是矩形由（2）可知，时，，，【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间距离最短，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④【答案】A【知识点】相似三角形的判定综合、同(等)角的余(补)角相等的应用、利用矩形的性质证明【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，推出，由此证明①和③一定相似．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即①和③一定相似，故选：A．2．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是．

【答案】【知识点】相似三角形的判定综合【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，故答案为：．3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4．(1)操作发现操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______．(2)变换探究如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F.（Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由．（Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由．(3)拓展应用在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积．【答案】(1)(2)（Ⅰ）不变，理由见详解；（Ⅱ）不变，理由见详解；(3)的面积为或．【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，中点求出的长，进而求出比值即可；（2）（Ⅰ）根据旋转的性质，证明，得到，（Ⅱ）由相似三角形的性质得出，设与交于点，求得，即可；（3）分，两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∵、分别为边、的中点，∴，∴；（2）解：（Ⅰ）的比值不变；由旋转的性质可的出，，，∴，，∵，∴，∴，∴的比值不变；（Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变；由（Ⅰ）知，∴，设与交于点，∴，∵，∴，∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变；（3）解：①当时，如图，过点作，则，由（2）知，∴，∴，∴，∴；②当时，过点作，设，∵，∴，∴，在中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴．综上：的面积为或．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）［问题情景］（1）如图1，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为______（直接写出结果）［变式探究］（2）如图2．小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长．［拓展应用］（3）如图3，小红把三角形放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）先利用直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论；（2）过点作于，通过证明得到，求出的长，进而得到，即可求出的长；（3）以为顶点作，其中边交与．交延长线与，利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，得到，再结合，，利用比例的性质即可求出的值．【详解】（1）解：矩形，，，，，，，，，，，，．故答案为：．（2）证明：如图，过点作于，，，，，，，，，，，即，，，四边形是矩形，，．（3）解：如图，以为顶点作，其中边交与．交延长线与，在平行四边形中，，，，，又，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，即，．5．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当时，________；②当时，________；(2)拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长．【答案】(1)①2；②2(2)当时，的大小无变化，见解析(3)10或6【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形【分析】（1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得；（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化；（3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解．【详解】（1）解：①当时，，，，即，，即；②当时，如图所示：则三点共线，，，，，即，，即；（2）解：如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，即：，而，，，故：当时，的大小无变化；（3）解：当旋转到如图位置，，三点共线时右侧），由题意得：，由，得：，由勾股定理得：，，当旋转到如图位置，，三点共线时左侧），此时，，是的中位线，，由勾股定理得：，，故线段的长为10或6．【点睛】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键．6．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）问题发现（1）如图1，在四边形中，，，是上一点，若，则_____；拓展探究：（2）如图2，在四边形中，是上一点，当时，求证：；解决问题：（3）如图3，在中，，，点以的速度从点出发，沿边向点运动，点以的速度从点出发，沿边向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接，在的右侧作，交射线于点，连接．设运动时间为秒，当（点与点重合除外）是等腰三角形时，直接写出的值．【答案】（1）18（2）见解析（3）的值为1或2【知识点】等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键：（1）证明，列出比例式进行求解即可；（2）证明，列出比例式进行求解即可；（3）分点在线段上和点在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：，，，，，．，，．故答案为：18；（2）证明：，．，．，，，．（3）如图1，过点作于点．在中，，，．根据题意，得．当点在线段上时．在等腰中，，，当是等腰三角形时，只能是，．由（2）中的结论可知，，解得或（点与点重合，舍去），．如图2，当点在的延长线上时．，，当是等腰三角形时，该三角形是等边三角形，，．由（2）中的结论可知，，解得或（舍去），．综上所述，的值为1或2．7．（2024·江西景德镇·二模）【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与．【观察发现】（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________；【探索猜想】（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由；【拓展延伸】（3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由.【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）是定值，其的定值为65【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解【分析】（1）延长交于点H，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答；（2）证明，得出，，设与交于点P，与交于点O，进而得，即可解答；（3）连接，，由（2）得，根据勾股定理得出，即可解答．【详解】解：（1）如图1所示，延长交于点H．∵点E，G恰好为边的中点，∴，，∵四边形和是矩形，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴．故答案为：；；（2）当时，（1）中发现的结论仍然成立．理由：如图2所示，∵四边形和是矩形，∴，∴，即，∵，，∴，∴，，设与交于点P，与交于点O，则，∴，∴；∴当时，与的数量关系是；位置关系是；（3）是定值，其的定值为65．连接，，由（2）得，∴、、、均为直角三角形，根据勾股定理得：，，，，∴，∵，，∴，即：的定值为65．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键．8．（24-25九年级上·四川眉山·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；

【尝试应用】（2）如图2，