《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案上学课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积第八章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式,能用公式解决简单的实际问题.(直观想象、数学抽象)2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系.(数学运算)3.会求组合体的表面积及体积.(直观想象、数学运算)思维脉络课前篇自主预习激趣诱思金刚石是碳的结晶体,是目前自然界中存在的最硬物质,其形状除了规则的正八面体几何外形,还有六面体、十二面体等几何外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色、璀璨夺目的钻石.右图是一颗正八面体的钻石,如果已知正八面体的棱长,你有哪些思路能得出该几何体的表面积?这种几何体如何通过正方体切割出来?知识点拨知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.常常表示为侧面积+底面积

微练习正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为

,表面积为

.

知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积1.一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=Sh.2.一般地,如果棱锥的底面面积是S,高为h,那么该棱锥的体积棱台两底面之间的距离

微练习如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为(

)A.1

B.2C.4 D.8答案B解析正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.课堂篇探究学习探究一棱柱、棱锥、棱台的表面积例1如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当PO1=2m,PA1=4m时,求帐篷的表面积.分析帐篷的表面积即上部棱锥侧面积与下部棱柱侧面积之和.解连接O1A1,因为PO1=2m,PA1=4m,要点笔记空间几何体表面积的求法技巧求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面积,其次观察几何体形状,是已知的棱柱、棱锥、棱台,还是由这些几何体组成的组合体,再利用公式准确计算相关的面积,从而求解.延伸探究若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”,表面积为多少?探究二棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.(1)求V1,V2以及V1∶V2;(2)求点A到平面A1BD的距离d.分析(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解.反思感悟求几何体体积的常用方法

延伸探究若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.解比值没发生变化,证明如下,不妨设在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体分为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积探究三与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题例3一个正四棱锥的底面边长为3cm,侧棱长为5cm,则它的体积为

cm3,表面积为

cm2.

分析由已知求得正四棱锥的底面积与高,代入棱锥体积公式可得体积;求出侧面上的高,结合条件可求表面积.反思感悟正棱锥的性质如下:(1)正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高;(2)从顶点向底面作垂线,垂足为底面(正多边形)的中心;(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形.变式训练正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2cm和6cm,两底面之间的距离为2cm,则该四棱台的侧面积为

.

解析如图,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1为侧面等腰梯形的高,过E1作E1H垂直于OE,垂足为H,OO1=2cm,O1E1=1cm,OE=3cm,∴HE=2cm.素养形成多面体的表面积计算典例如图,正六棱台的上、下底面均为正六边形,六个侧面是全等的等腰梯形.如果上、下底面的边长分别为2cm和4cm,侧棱长为4cm,求它的表面积.解作棱台的一个侧面,如图.连接A1B1,AB的中点M1,M,并过A1作A1N⊥AB于点N,则M1M=A1N,在Rt△A1AN中,方法点睛棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开成一个平面图形,因而平面展开图的面积就是它的表面积.可见,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和.当堂检测1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为(

)A.48 B.64 C.16 D.96答案B解析设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.2.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为(

)答案D3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(

)答案C4.“斗”不仅是我国古代容量单位,还是量粮食的器具,如图所示,其可近似看作正四棱台,下底面是边长为6的正方形,上底面是边长为2的正方形,高为4.“斗”的面的厚度忽略不计,则该“斗”的所有侧面的面积之和与上底面的面积之比为(