山东省临朐县沂山风景区中考数学-圆的切线复习

圆的切线当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。其中的直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。已知⊙O和⊙O上的一点D，如何过点D画⊙O的切线？不妨在直线l上任意取一点P（点D除外），连结OP，则OP＞OD∴点P在⊙O外∴l与⊙O只有一个交点D。∴l与⊙O相切Pl1.经过半径的外端2.与半径垂直切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言OD是⊙O的半径OD⊥l于D根据作图直线l是切线满足两个条件lODl是⊙O的切线定理说明:说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，

下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：

例1：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°。求证：直线AB是⊙O的切线证明：连结OB∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)=180°－(60°+30°)=90°∴AB是⊙O的切线关于切线的判定问题，常见类型有：

例题讲解:题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相切。例2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°，求证：DC是⊙O的切线。

CABDO证明：连OC、BC，∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°

∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形

∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°

∴∠DCO＝90°

∴DC⊥OC

∴DC是⊙O的切线。

例3．已知：如图,⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，

OC⊥AB于C，OB＝4cm，OA＝2cm，求证：AB与⊙O相切。

证明：∵OA⊥OB，OC⊥AB∴△AOB是直角三角形

又∵OA＝2cm，OB＝4cm∴AB＝10

根据三角形面积公式有：AB·OC＝OA·OB

∴OC＝4(cm)，OC是⊙O的半径。

直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于半径OC所以AB与⊙O相切。

题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半径”，即可得直线与圆相切。例4:当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直线是这个圆的切线已知：⊙O的圆心O到直线l的距

离等于⊙O的半径r。求证：直线l是⊙O的切线证明：过点O作OA⊥l

，A为垂足。A∵OA＝d=r

∴点A在⊙O上∴OA是⊙O的半径∴

l是⊙O的切线题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距离等于半径”课堂练习:练习1判断：

(1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切

(2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切线

(3)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。

(4)以等腰直角三角形斜边的中点为圆心，直角边的一半为半径的圆，与两条直角边相切。

练习2已知点B在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？（1）OB=7，AO=12，AB=5；（2）∠O=68.5°，∠A=21.5°;（3）tanA=BOA返回返回练习3Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°。延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径，求证：DC是⊙O的切线。DCAB.O小结一判定一条直线是圆的切线有三种方法

二添辅助线的方法连接圆心与交点过圆心作直线的垂线段1，已知直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，1、当直线和圆公共点确定时：连半径，证垂直2、当直线和圆公共点不确定时：作垂直，证半径课后作业:1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，

如图，求证：DE是⊙O的切线。

分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，

再证明DE⊥OD。

2．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝

BC，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切。分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证

明OH等于直径EF的一半。

3．如图，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC，求证：PA是⊙O的切线。

分析：