湖南益阳市南县方谷高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

高二数学试卷2026.3一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符号题目要求.1.已知直线l的一个方向向量为AB=1,3，则直线A.30∘B.45∘C.602.已知向量a=1,1,0，b=−1,λ,2，且A.35B.35或75C.0或353.已知双曲线C:x25−y2b2A.3B.2C.4D.314.正四面体ABCD各棱长均为2,E,F,G分别是A.22B.2C.1D.5.点P在椭圆C:x23+y24=1上，F0,1，点A.PF与d无关B.PFC.PF=d6.过三点A1,2,B3,2,C1,−6A.3B.23C.13D.7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下:今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?现有这样一个相关的问题:已知正整数p满足三三数之剩二,将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列,构成数列an,记数列an的前n项和为Sn,则SA.172B.198.已知抛物线C:y2=4x与过焦点F的一条直线相交于A,B两点,过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线lA.准线l的方程是x=−2B.以AB为直径的圆与yC.ABMF的最小值为2D.△ABM二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得得部分分,有选错的得0分.9.下列有关直线与圆的结论正确的是()A.方程kx−y+3kB.过点2,5且在x,yC.圆C1:x−12+yD.若圆x−12+y2=4上恰有3个点到直线10.在等比数列an中，a1=A.anan+1的公比为9B.logC.an的前20项积为320011.已知双曲线C:x2−y2=4，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A.双曲线的离心率为2B.存在点M,使得四边形OAMB为正方形C.四边形OAMB的面积为2D.四边形OAMB的周长最小值为2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知抛物线C的准线与圆M:x−12+13.已知Px0,y0是圆C:14.已知数列an的通项公式an=2n+1，记bm为an在区间m+2,2m+四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点A−2,1,B(1)求E的标准方程；(2)若点Mx1,y1，Nx2,y2在E16.已知点A−1,0,B2,0(1)求动点M的轨迹方程；(2)一条光线从点C2,1射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中17.如图,在四棱锥P−ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,(1)求证:平面EAC⊥平面PBC(2)若二面角P−AC−E的余弦值为63，求直线PA18.在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用,序列中数的个数称为这个0-1序列的长度.如0100011011是一个长度为10的0-1序列.长为n的0-1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为an,长度为1的0-1序列为:0,1,都满足数列an,a1=2;长度为2且满足数列a(1)求a3,(2)求数列an中an+2，an+(3)记Sn是数列an的前n项和,证明:a19.已知双曲线W:2x2−2y2=1与椭圆C:x2a2+y2b2=(1)求C的标准方程；(2)设点Q在C上且在第一象限，Q1,QF2的延长线分别交C于点E1,E2，设r1,r1.C设直线l的倾斜角为θ,由直线l的一个方向向量为AB=1,3则θ=故选:C.2.C7a2a由7a+5b与有7a解得λ=0或故选:C.3.B由题意可得,c=3,焦点为则5+b2=9,解得b则双曲线的渐近线方程为y=±则焦点到渐近线的距离为65故选:B.4.D因为E,F,G分别是AB,AD,DC所以GE=−=−故选:D.5.C设点Pm因为动点P在椭圆x23+y24因为点P到直线y=4的距离为d,所以又F0所以PF==n故选:C.6.D设圆的方程为x2则1∴D∴x令x=0,可得∴y∴MN故选:D.7.B解:被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2,公差为3的等差数列an所以an所以Sn由对勾函数的性质可得:函数fx=32x+72+6x在所以Sn+an+故选:B8.C对于A:由抛物线的方程可知其焦点为1,0,故准线l的方程为:x=−1,故误.对于B:当直线AB的斜率不存在时,即AB直线方程:x=1,易得AB=2p=4,则以AB为直径的圆半径为2,此时不与y对于C:①当直线AB的斜率不存在时,易得AB=②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx由y=kx−1得Δ=16∴AB易知直线FM的方程为y=−1kx−1,由∴MF综上所得,ABMF的最小值为2,故C对于D:当直线AB的斜率不存在时,易得AB=所以S△当直线AB的斜率存在时,S△故当1k2→0时,S△ABE取得最小值,且此时最小值为故选:C.9.ACD对于A,方程kx−y+3k+直线过定点−3,1对于B,当截距为0时,直线方程为y=52x,故对于C,圆C2的一般方程化为标准方程得x−22+半径为2,圆C1的圆心为C11因为2−1<C1C2=5<圆C1的标准方程化为一般方程得x与圆C2的一般方程作差,可得2x+4y−4所以圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为x+2y−2对于D,若圆x−12+y2=4则圆心1,0到直线y=即1+b2=1,解得b=−故选:ACD10.AB对A,设等比数列an的公比为q,则a4a1=所以an=3n−所以an所以数列anan+1对B,因为log3an+1=n1+2+⋯+20对C,an的前20项积为30×31对D,因为an所以an+an+1的前n项和为故选:AB11.BCA选项,由题意得a2=b2=4,故c2=a2+b2=8,故e=ca=222=2所以当M为双曲线右顶点时,四边形OAMB为正方形,故B正确;C选项,设Mx0,y0因为渐近线方程为y=±所以MA=所以MA⋅则四边形OAMB的面积为MA⋅MB=2,故D选项，由C选项及基本不等式得MA+MB当且仅当MA=MB所以MA+MB的最小值为四边形OAMB的周长为2MA+MB≥故选:BC12.x2=−与圆M:xy对应的抛物线方程有:x故答案为:x2=−13.0设k=y0+1则y0+1x0+Px0,y0是圆C:x则2k−1k2+即y0+1x0故答案为:0,14.612依题意,令m+2≤2n+当m为奇数时,m+1可以被2整除,于是当m为偶数时,m+1不能被2整除,则所以b4当m为奇数时,m+1为偶数,即2m−1>1049,而210<1049<211,则m−1≥11当m为偶数时,m+1为奇数,而210<1048<211,则m−1≥11所以m的最小值为12.故答案为:615.(1)因为点A−2,1,C2,1关于y所以点A−2,1,C将点A−2,1代入抛物线E:x2=2py所以抛物线E的方程为:x2(2)由题意可知，直线MN的斜率一定存在，则设直线MN的方程为y=kx+m，由y=kx+mx由韦达定理得x1所以直线MN:y=kx+16.1(2)8x+(1)设Mx,y,由2MA=MB得2x+1(2)光线从点C2,1射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，故入射光线的斜率不为当入射光线的斜率不存在时,此时反射光线方程为x=此时直线与x+2当入射光线的斜率存在时,点C2,1关于x由题意知反射光线所在的直线经过点C′2设其方程为y+1=kx设圆心到反射直线的距离设为d,则d2所以d=−2k−2k−1k2+1所以反射光线所在直线的方程为8x+17.(1)∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∵AB∴又BC∩PC=C,BC,PC⊂∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥(2)如图，以C为原点，取AB中点F，CF、CD、CP分别为x轴、y轴、坐标系,则C0,0,0则E1取m=1,−1,0,则m设n=x,y,z为平面即x+y=0x−y+az依题意,cos⟨m,n⟩=于是n=设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为2318.(1)由题意知,长为3的0-1序列中任何两个1不相邻的序列为:000,001,010,100,101,所以a3设长为4的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有a4若最后一位是0,则只要前3位任何两个1不相邻,则满足要求的序列有a3若最后一位是1,则倒数第二位是0,只要前2位任何两个1不相邻即可,满足要求的序列有a2个,所以a(2)考虑长度为n+2的若最后一位是0,则只要前n+1位任何两个1不相邻,则满足要求的序列有a若最后一位是1,则倒数第二位是0,只要前n位任何两个1不相邻即可,则满足要求的序列有an