湖南长郡中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（含解析）

2026年春季高一寒假检测数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知集合A={2,A.A⊆BC.A∩B2.“α为第一象限角”是“tanα>0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如果a<b<A.a2<b2B.−4.函数fx=logA.0,+∞B.−∞,0C.25.已知fx是奇函数,当x≥0时,fx=e2x−1A.3B.-3C.8D.-86.当x∈−1,1时，不等式2kx2A.−3,C.−3,7.已知函数fx=AA.fx在区间−πB.点−5π6,0是C.若x∈−π2,0,则D.fx的图象可以由y=cos2x的图象向右平移8.定义:对于fx定义域内的任意一个自变量的值x1,都存在唯一一个x2使得fx1fx2=A.fx=lnC.fx=二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题意的.全部选对得6分,部分选对得部分分,选错或不选得0分.9.下列选项中,结果为正数的有()A.sin1B.cos2C.sin3D.cos410.下列函数中是奇函数的有()A.fx=C.fx=11.已知fx是定义在R上的偶函数,且fx−1是奇函数,当−1<xA.fx的值域为−1,1B.C.fx在−1,1上有三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数fx+1的定义域为[−2,213.已知函数y1=ax+2a≠0,y2=2x−1,若14.已知函数fx=sinωx−π3ω>0在−π12,四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.15.已知函数fx(1)在平面直角坐标系中，画出函数fx的简图，并写出fx(2)若ft≤6,求实数16.求下列关于x的一元二次不等式的解集:(1)−2(2)x217.已知函数fx(1)求fx(2)若任意x∈0,π6，fx18.如图所示,一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A,B(忽略社区的大小),A社区距离l上最近的点A0的距离是2 km,B社区距离l上最近的点B0的距离是1 km,且A0B0=4 km现规划了如下三项工程:工程1:在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥;工程2:将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1 km2工程3:将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25 km记这三项工程的总造价为W亿元.(1)求实数a的取值范围；(2)问点P在何处时,W最小,并求出该最小值.19.若存在实数对a,b,使等式fx⋅f2a−x=b对定义域中每一个实数x(1)若函数fx=2x是a,1(2)若函数gx=e1x是a,b型函数，求(3)已知函数hx定义在−2,4上，hx恒大于0，且为(1,4)型函数，当x∈1,4时，hx=−log2x1.D由于2∈A,但2∉B,故A不是B的子集,A错误;A∪B={1,22.A若α为第一象限角则必有tanα反之,若tanα>0,则故选:A.3.C对于A:因为a<b<0,所以a>b,则对于B:因为a<b<0,所以−a>−b>对于C:因为a<b<0,所以a对于D:因为a<b<0,所以1a>故选:C4.D对于函数fx=log12x2−4,有x故函数fx的定义域为−∞,−内层函数u=x2−4在−∞,−2外层函数y=log由复合函数的单调性可知,函数fx=log12故选:D.5.D由fx是奇函数得f−x=−fx,又所以fln故选:D6.D当x∈−1,1当k=0当k≠0时,令fx=2kx2−kx−函数fx的图像抛物线对称轴为xk>0时,fx在−1,1则有f−1=2k+k<0时,fx在−1,1则有f14=2k16综上可知,k的取值范围是−3故选:D.7.D设函数fx的最小正周期为T由题图及五点作图法得A=1,7π12−π3=所以ω=2πT=2π又f7π12=−1,即sin2×7π12+φ=−1对于C,当−π2≤x≤0时,−2π3≤2x对于A,由−2π3,π3⊄−π2,π2知对于B,由f−5π6=sin−5π对于D,y=cos2x=sin2x+π2,将函数y=cos2x的图象向右平移π8.B对于A选项，fx=lnx，由fx1fx2=lnx1lnx2=对于B选项，fx=ex，由则任意一个自变量的值x1,都存在唯一一个x2满足x1+x2对于C选项，fx=由fx得sinx1+sinx2=0,当x1=0故函数fx=对于D选项,fx=cosx,由当cosx1=0时,则不存在x2故选:B.9.AC因为0<1<π2<210.AD对于A项,定义域为R,关于原点对称,因为f−x=−x−x=−xx=−对于B项，定义域为R，关于原点对称，因为f−x=sin2−x=sin2对于C项,定义域为R,关于原点对称,因为f−x=2−x+2x=对于D项，定义域为x x≠f−x=tan−2x=−tan2x=−11.BC对于A,因为fx−所以fx的图象关于−1且f0因为fx为偶函数,图象关于y且当−1<x<1作出fx由图可知,fx的值域为−1,1对于B,因为fx−所以f−x−1=−因为fx所以f−x−2=所以fx+4=−f所以函数fx的最小正周期为4,故B对于C,由图象可得在−1,1上,fx的图象与x所以函数fx在−1,1上有3个零点,故对于D,由题意得f5所以f5=f4,故故选:BC.12.[−对于fx+1,令t=x所以ft,即fx的定义域为故答案为:[−13.−∞,−当a>0时,函数y1=ax+2在−1,2上单调递增,可得−a+2由∀x2∈{x∣2≤x≤3},总∃x1∈{x∣−1≤x≤2},使y1=y同理可知a<0−a+综上,a≤−12或所以实数a的取值范围是−∞,−114.2当x∈−π12,由fx在−π12,0解得0<当x∈π2,3π因为0<ω≤2又fx在π2,3π2上有且仅有1个零点,所以−π3<π2ω−π则ω的取值范围为29故答案为:215.(1)函数fx由图可知,函数fx的增区间为[0,+∞),减区间为−∞,0;(2)由f−6=6,f若ft≤6,则实数t的取值范围为16.1−∞,(2)当a<3时，不等式的解集为−∞,a∪3,+∞，当a=3时，不等式的解集为{x(1)原不等式可化为4x方程4x2−2x−所以不等式的解集为−∞,1(2)原不等式可化为x−3①当a<3时，不等式的解集为−∞,②当a=3时，不等式的解集为{③当a>3时，不等式的解集为17.1π(2)1(1)f=1所以函数fx的最小正周期为T(2)由(1)知fx=sin由0≤x≤π6又函数y=sinx在−π2,π2上单调递增,所以−12≤sin2x−π6≤12,即−12≤fx≤1218.1(2)当点P满足A0P=3时，W(1)因为直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少所以S△BB0直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少所以S△AA0P故实数a的取值范围为1,(2)依题意可得:W=当且仅当a2=92a,即所以当点P满足A0P=3时,W19.1a(2)a=(3)32(1)由fx=2x是a,1型函数,得fx⋅f(2)由gx=e1x是a,则1x+12a−x=lnb,因此x2ln于是lnb=02aln所以