沪科版八年级下册数学17.4 一元二次方程的根与系数的关系课件

17.4一元二次方程的根与系数的关系第十七章

一元二次方程

沪科版

·新教材

·八年级下册学

习

目

标123了解一元二次方程的根与系数的关系,通过由特殊到一般,培养学生观察、分析、猜测规律的能力.通过一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神.知识回顾一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)与根的判别式的关系△=b2-4ac有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根；∆＝0∆＜0∆＞0∆≥0有两个实数根.探究新知

一元二次方程的根都可由它的各项系数通过运算得到.

再根据系数a、b、c的值求出方程的根，前面我们已经学习用公式法解一元二次方程.利用一元二次方程的求根公式，换句话讲，与该方程的各项系数之间有怎样的关系呢？进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和两根之积(x1+x2)、（x1x2）探究新知填写下表，然后观察根与系数的关系：方程x2+2x-15=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0x1x2x1+x2x1x2两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系ba-ca3-5-2-15-2-1511343134313-21232--132--1

根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2，那么

x1+x2=，x1x2=.ba-ca

你能证明上面的猜想吗？验证结论我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为

∴

我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为

∴

验证结论验证结论

由上面证明过程可知，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系.那么这就是根与系数的关系，如果ax2+bx+c=0(a≠0)

的两个根为

x1，x2

,

x1+x2=，x1x2=ba-ca韦达定理.通常称为知识拓展：①

利用韦达定理的前提条件是一元二次方程要有实数根

∆=b2-4ac即≥0②

利用韦达定理时，要先把一元二次方程化为一般形式.不解方程，求下列方程的两根的和与积.(1)4x2-2x-7=0解：(1)∵

∆=(-2)2-4×4×(-7)=116＞0

∴

x1+x2=

ba-=-24-x1x2=ca=-74=12=74-(2)4x2-7=2x2+8x(2)整理，得2x2-8x-7=0∵

∆=(-8)2-4×2×(-7)=120＞04

∴

x1+x2=

ba-=-82-x1x2=ca=-72==72-巩固练习不解方程，求下列方程的两根的和与积.巩固练习(3)2x2+3x=0解：(4)3x2=1(3)∵

∆=32-4×2×0=9＞0

∴

x1+x2=

ba-=32-x1x2=ca=02=0(4)整理，得3x2-1=0∵

∆=02-4×3×(-1)=12＞0

x1+x2=

ba-=03-0=x1x2=ca-13==13-归纳总结

当一元二次方程的二次项系数为1时，

它的标准形式为

x2+px+q=0.设它的两个根为

x1，x2

,这时韦达定理应是：

x1+x2=ba-=-p，x1x2=ca=q以

x1，x2

为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0巩固练习解法一：∵方程2x2+kx-4=0的一个根是-4∴解得∴

原方程为

解得x1=-4，综上所述：方程的另一个根是,k的值为7.

例1已知关于x的方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值.32-4k-4=0k=72x2+7x-4=0x2=1212巩固练习解法二：设方程的另一个根为x2.根据题意，得-4＋x2

-4x2

解得x2=k=7∴

方程的另一个根是,k的值为7.==-2

例1

已知关于x的方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值.k2-k2-1212巩固练习1、方程2x2-3x+1=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求：(1)x12+x22(2)

求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入求值.知识拓展：解：由韦达定理，得

x1+x2=

x1x2=1232，∴x12+x22=()2

3212=54=（x1+x2）2

-2x1x2-2×巩固练习1、方程2x2-3x+1=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求：(1)x12+x22(2)

解：由韦达定理，得

x1+x2=

x1x2=1232，∴巩固练习(3)x1-x2

解：由韦达定理，得

x1+x2=

x1x2=1232，∴（x1-x2）2

=()2

3212=14=（x1+x2）2

-4x1x2∴x1-x2=±12-4×1、方程2x2-3x+1=0的两个根记作x1，x2，不解方程，求：│x1-x2│？？

巩固练习常用代数式变形方法总汇1、x12+x22

=(x1+x2)2

-2x1x22、（x1-x2）2

=(x1+x2)2

-4x1x2巩固练习2、若α、β是一元二次方程x2+3x-6=0的两个不相等的根，则α2-3β的值是（）A.3B.15C.-3D.-15B

变式：若p、q是方程x2-3x-1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3-4p2-2q+5的值为

．-2巩固练习3、已知关于

x

的一元二次方程

x2-6x+2m-1=0

有两个实数根

x1，x2．（1）若

x1=1，求

x2及m的值；（2）是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)=？若存在，求出实数m