人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 2.1 一次方程（组）及其应用

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2.1一次方程（组）及其应用一、选择题1．（2025·贵州）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2025·江苏连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（

）A．17x+19x=1 B．173．（2025·天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（

）A．240x=150(x+12) B．240x=150(x−12)C．150x=240(x+12) D．150x=240(x−12)4．（2025·四川德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（

）A．5 B．7 C．8 D．95．（2025·四川内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A．72100−x=60100+3−xC．60100+x=72100−3+x6．（2025·山东烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（

）A．350元 B．320元 C．270元 D．220元7．（2024·江苏宿迁）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（

）A．13x−4=1C．13x−4=18．（2024·江苏无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（

）A．17x+19x=1 B．179．（2024·广东广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（

）A．1.2x+1100=35060 B．1.2x−1100=35060C．1.2(x+1100)=35060 D．x−1100=35060×1.210．（2024·广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（

）A．x3+xC．3x+4x+5x=1 D．3x+4x+5x=10011．（2024·贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（

）A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y12．（2024·福建）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（

A．1+4.7%x=120327 C．x1+4.7%=12032713．（2024·四川宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（

）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天14．（2025·四川巴中）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出12钱，会多出4钱，每人出13钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（A．y=12x−4y=13x+3 B．15．（2025·宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（

）A．5x−45=y7x−3=y B．C．5x+45=y7x+3=y D．16．（2025·江苏宿迁）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（

）A．5x+2y=102x+2y=8 B．5x+5y=102x+5y=8 C．2x+5y=105x+2y=817．（2025·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（

）A．2x+y−10000=12xC．x+2y−10000=12x18．（2025·青海）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为x人，银两为y两．根据题意可列方程组为（

）A．y=7x−4y=9x+8 B．C．y=7x+4y=9x+8 D．19．（2025·四川南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（

）A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3C．3x−2=5y−3 D．5x−2=3y−320．（2025·四川成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（

）A．x+y=100300x+5007C．x+y=100300x+500y=10000 D．21．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．

材料类别彩色纸（张）细木条（捆）手工艺品A53手工艺品B21如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（

）A．5x+3y=172x+y=10 B．C．5x+2y=173x+y=10 D．22．（2025·四川达州）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（

）A．5x+2y=102x+2y=8 B．2x+5y=10C．5x+5y=102x+5y=8 D．23．（2025·四川宜宾）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（）A．5x+2y=102x+5y=8 B．C．5x−2y=102x+5y=8 D．24．（2025·四川眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（

）A．x+y=10009x+7y=999 B．C．x+y=1000119x+25．（2025·山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（

）A．x+3y=368x+6y=108 B．C．3x+y=368x+6y=108 D．26．（2025·四川广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（

）A．y=8x+3y=7x+4 B．y=8x−3y=7x+4 C．y=8x−3y=7x−427．（2025·四川自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长40cm．则小地砖短边长（

A．7cm B．8cm C．9cm D．1028．（2024·山东日照）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（

）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）A．x−y=5y−12x=5 B．y−x=51229．（2024·湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（

）A．5x+2y=102x+5y=8 B．C．5x+5y=102x+5y=8 D．30．（2024·甘肃兰州）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（

）A．x+y=1000119x+4C．x−y=100047x+31．（2024·辽宁）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（

）A．x+y=944x+2y=35 B．x+y=94C．x+y=354x+2y=94 D．32．（2024·四川）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（

）A．8x=y+37x=y−4 B．C．8x=y−37x=y−4 D．33．（2024·内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（）A．3x+2y=404x+5y=58 B．3x+5y=40C．3x+5y=584x+2y=40 D．34．（2024·四川南充）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（

）A．7x+7=y9x−1=yC．7x−7=y9x−1=y35．（2024·天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（

）A．y−x=4.5x−0.5y=1 B．C．x+y=4.5x−y=1 D．36．（2024·湖北）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（

）A．5x+2y=102x+5y=8 B．C．5x+5y=102x+5y=8 D．37．（2024·山东威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（

）A．3x−y=44x−y=1 B．C．x3−y=4x38．（2024·四川成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（A．y=12x+4y=13x+3 B．39．（2025·黑龙江齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种40．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（

）A．6 B．7 C．4 D．541．（2025·四川泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1, y=1．类似地，方程2x+3y=21的正整数解的个数是（A．1 B．2 C．3 D．442．（2024·黑龙江大兴安岭地）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（

）A．5 B．4 C．3 D．243．（2024·黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（

）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种44．（2024·四川宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（

）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱二、填空题45．（2025·湖南长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b=−c．那么2=1．推理过程如下：第一步：根据上述命题条件有a+b=−c；

①第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a−a,b=2b−b,c=2c−c；

②第三步：把②代入①，可得2a−a+2b−b=−第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2a+b+c=a+b+c第五步：把④两边同时除以a+b+c，得2=1．⑤请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则．46．（2025·吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为．47．（2025·广东深圳）若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a=．48．（2025·陕西）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4kg．已知小康平均每小时采摘6kg，小悦平均每小时采摘4kg49．（2025·四川德阳）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是50．（2025·四川遂宁）已知x=2是方程3a−2x=2的解，则a=．51．（2025·四川成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为．52．（2024·四川攀枝花）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为．295a53．（2024·广东广州）定义新运算：a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=154．（2024·贵州）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是．55．（2024·江苏扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要分钟．56．（2025·江苏徐州）若二元一次方程组3x+y=32x−y=2的解为x=ay=b则a+b的值为57．（2025·四川广元）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy=58．（2024·江苏盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为尺．59．（2024·广东深圳）一元二次方程x2−3x+a=0的一个解为x=1，则a=60．（2025·江苏南通）把一根长10m的钢管截成3m长和1m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为（写出一种情况即可）．61．（2024·江苏宿迁）若关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx−y=d的解是x=3y=−2，则关于x、y的方程组ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d62．（2024·湖南长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是．三、解答题63．（2025·江西）某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为1464．（2025·四川眉山）（1）计算：4−（2）解方程：265．（2024·江苏淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．66．（2024·陕西）塞罕坝机械林场经过三代务林人的接续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了1007万m3，已成为目前世界上最大的人工林场；又知现在该林场的林木总蓄积比原来的31倍还多17万m3，请问该林场原来的林木总蓄积是多少万67．（2024·海南）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．68．（2024·吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．69．（2024·北京）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了70．（2024·陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了71．（2024·江苏连云港）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：邮购数量1~99100以上（含100）邮寄费用总价的10%免费邮寄折扇价格不优惠打九折若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？72．（2025·山东潍坊）（1）先化简，再求值：x5x−8y−4x−y2，其中x，（2）解方程组：x−y=22x+3y=−173．（2025·吉林）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．74．（2025·山西）（1）计算：−1（2）解方程组：3x−2y=1175．（2024·山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．76．（2024·山东德州）（1）化简：1−（2）解方程组：x−77．（2024·江苏徐州）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．78．（2024·浙江）解方程组：2x−y=579．（2024·广西）解方程组：x+2y=380．（2024·江苏苏州）解方程组：2x+y=72x−3y=381．（2024·安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A，农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，82．（2025·湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______；（注：用含n的代数式表示c和d．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；（4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的代数式表示g）．83．（2024·四川攀枝花）秋冬季节是流行性感冒的多发季节．针对这一情况，各中小学和幼儿园都制定了严格的消毒工作机制．据了解，消毒主要使用二氧化氯喷雾消毒溶液．市场上销售的某品牌的二氧化氯（溶质）消毒片，可直接溶于水（溶剂），制得二氧化氯消毒溶液．如表是二氧化氯消毒片的相关信息：产品名称产品规格有效成份用途二氧化氯消毒片每片质量1克二氧化氯含量a消毒杀菌已知：溶液浓度=溶质质量(1)消毒人员欲配制3千克浓度为0.01%的二氧化氯溶液用于物品的消毒，刚好需要用该消毒片3片，求a(2)教室使用的消毒液浓度要比物品使用的消毒液浓度低，消毒人员用6千克浓度为0.01%的二氧化氯溶液，可稀释成多少千克浓度为0.00584．（2025·海南）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为11∼13万元．(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．85．（2025·广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？(2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．

参考答案与解析一、选择题1．（2025·贵州）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则m的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可．【详解】解：∵x=2是关于x的方程x+m=7的解，∴2+m=7∴m=7−2=5故选C．2．（2025·江苏连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（

）A．17x+19x=1 B．17【答案】A【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可.【详解】解：设相遇时间为x天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为17大雁从北海到南海需9天，故其速度为19∴方程为17故选：A3．（2025·天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（

）A．240x=150(x+12) B．240x=150(x−12)C．150x=240(x+12) D．150x=240(x−12)【答案】A【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系．设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150x+12【详解】解：设快马用x天追上慢马，快马的总路程为240x里，慢马的总路程为150x+12240x=150x+12故选：A4．（2025·四川德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（

）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】设买鸡的人数为x，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变）建立方程求解是解题的关键．【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为9x文，多出11文，故鸡的价钱为9x−11文；每人出6文钱时，总钱数为6x文，不足16文，故鸡的价钱为6x+16文．列方程：9x−11=6x+16解得：x=9故买鸡的人数为9人，故选：D．5．（2025·四川内江）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A．72100−x=60100+3−xC．60100+x=72100−3+x【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为60100−x，实际利润为72【详解】解：设每套成本为x元．原计划利润为60100−x元；实际购买时利润为72根据题意得：60100−x故选B．6．（2025·山东烟台）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（

）A．350元 B．320元 C．270元 D．220元【答案】A【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为x元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为0.6x+10元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为0.9x−95元，据此建立方程求解即可．【详解】解：设这款风扇每台的标价为x元，由题意得，0.6x+10=0.9x−95，解得x=350，∴这款风扇每台的标价为350元，故选：A．7．（2024·江苏宿迁）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（

）A．13x−4=1C．13x−4=1【答案】A【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．【详解】解：设绳长为x尺，列方程为13故选A．8．（2024·江苏无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（

）A．17x+19x=1 B．17【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为17，大雁的速度为19，设经过【详解】解：设经过x天相遇，可列方程为：17故选：A．9．（2024·广东广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（

）A．1.2x+1100=35060 B．1.2x−1100=35060C．1.2(x+1100)=35060 D．x−1100=35060×1.2【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车x辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．【详解】解：设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意得：1.2x+1100=35060，故选：A．10．（2024·广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（

）A．x3+xC．3x+4x+5x=1 D．3x+4x+5x=100【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可．【详解】解：根据题意，得x3故选：B．11．（2024·贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（

）A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y【答案】C【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式x+y=y+2a，x+a=x+2y，然后化简代入即可解题．【详解】解：设“▲”的质量为a，由甲图可得x+y=y+2a，即x=2a，由乙图可得x+a=x+2y，即a=2y，∴x=4y，故选C．12．（2024·福建）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（

A．1+4.7%x=120327 C．x1+4.7%=120327【答案】A【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，根据题意得：1+4.7%故选：A．13．（2024·四川宜宾）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（

）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可．【详解】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：240x=150x+12×150，解得：x=20．答：快马20天可以追上慢马．故选：D．14．（2025·四川巴中）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出12钱，会多出4钱，每人出13钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（A．y=12x−4y=13x+3 B．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程即可解答，正确找到等量关系是解题的关键．【详解】解：根据题意可得方程组，y=1故选：A．15．（2025·宁夏）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，则可列方程组为（

）A．5x−45=y7x−3=y B．C．5x+45=y7x+3=y D．【答案】C【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子．明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的45钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组．【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，若每人出5钱，还差45钱，则总钱数5x加上还差的45钱等于羊价y,即5x+45=y，若每人出7钱，还差3钱，则总钱数7x加上还差的3钱等于羊价y,即7x+3=y，因此，可列方程组为5x+45=y7x+3=y故选：C．16．（2025·江苏宿迁）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（

）A．5x+2y=102x+2y=8 B．5x+5y=102x+5y=8 C．2x+5y=105x+2y=8【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得5x+2y=10，由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得2x+5y=8，因此可列方程组5x+2y=102x+5y=8故选D．17．（2025·甘肃兰州）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（

）A．2x+y−10000=12xC．x+2y−10000=12x【答案】A【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可．【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得，2x+y−10000=1故选A．18．（2025·青海）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则还差8两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为x人，银两为y两．根据题意可列方程组为（

）A．y=7x−4y=9x+8 B．C．y=7x+4y=9x+8 D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为x人，银两为y两，根据题意列出方程y=7x+4y=9x−8【详解】解：设客人为x人，银两为y两，根据题意得y=7x+4y=9x−8故选：D．19．（2025·四川南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（

）A．3x+2=5y+3 B．5x+2=3y+3C．3x−2=5y−3 D．5x−2=3y−3【答案】A【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个”这两个条件，分别找出物体总数与x、y的等式关系，进而列出方程．【详解】解：∵每3个一数，数了x次，剩余2个，∴物体总数可表示为3x+2．又∵每5个一数，数了y次，剩余3个，∴物体总数也可表示为5y+3．由于物体总数是固定的，∴3x+2=5y+3故选：A．20．（2025·四川成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（

）A．x+y=100300x+5007C．x+y=100300x+500y=10000 D．【答案】A【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可．【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得：x+y=100300x+故选A．21．（2025·浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．

材料类别彩色纸（张）细木条（捆）手工艺品A53手工艺品B21如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（

）A．5x+3y=172x+y=10 B．C．5x+2y=173x+y=10 D．【答案】C【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组．【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：5x+2y=17；每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：3x+y=10；故方程组为：5x+2y=173x+y=10故选C．22．（2025·四川达州）《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（

）A．5x+2y=102x+2y=8 B．2x+5y=10C．5x+5y=102x+5y=8 D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出相等关系是关键；设每头牛值x金，每只羊值y金，根据：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，即可列出方程组.【详解】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为：5x+2y=102x+5y=8故选：D.23．（2025·四川宜宾）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（）A．5x+2y=102x+5y=8 B．C．5x−2y=102x+5y=8 D．【答案】A【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，∴5x+2y=10；∵2头牛、5只羊，共值金8两，∴2x+5y=8．∴根据题意可列出方程组5x+2y=102x+5y=8故选：A．24．（2025·四川眉山）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（

）A．x+y=10009x+7y=999 B．C．x+y=1000119x+【答案】C【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可．【详解】解：设甜果x个，苦果y个，∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：x+y=1000∵甜果9个11文，苦果7个4文，∴甜果每个单价为119文，苦果每个单价为4∵总费用为999文，故可列方程为：119故可列方程组：x+y=100011故选C．25．（2025·山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（

）A．x+3y=368x+6y=108 B．C．3x+y=368x+6y=108 D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．【详解】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据题意可得：3x+y=366x+8y=108故选D．26．（2025·四川广安）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（

）A．y=8x+3y=7x+4 B．y=8x−3y=7x+4 C．y=8x−3y=7x−4【答案】B【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键．根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可．【详解】解：设人数为x，物价为y，由每人出八钱，会多三钱；总钱数y=8x−3,每人出七钱，又差四钱；总钱数y=7x+4，∴联立方程组为y=8x−3y=7x+4故选：B．27．（2025·四川自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长40cm．则小地砖短边长（

A．7cm B．8cm C．9cm D．10【答案】B【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长=1个长+4个宽，②一个长+一个宽【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为xcm，宽为y由题意得：x+y=402x=x+4y解得：x=32y=8则每块小平行四边形地砖的短边长为8cm故选：B．28．（2024·山东日照）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（

）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）A．x−y=5y−12x=5 B．y−x=512【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可．【详解】解：由题意得x−y=5,故选A．29．（2024·湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（

）A．5x+2y=102x+5y=8 B．C．5x+5y=102x+5y=8 D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：根据题意得：5x+2y=102x+5y=8故选：A．30．（2024·甘肃兰州）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（

）A．x+y=1000119x+4C．x−y=100047x+【答案】A【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可．【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：x+y=100011故选A．31．（2024·辽宁）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（

）A．x+y=944x+2y=35 B．x+y=94C．x+y=354x+2y=94 D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：x+y=352x+4y=94故选：D．32．（2024·四川）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（

）A．8x=y+37x=y−4 B．C．8x=y−37x=y−4 D．【答案】A【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”，即可求解．【详解】解：∵每人出8元，剩余3元，∴8x=y+3，∵每人出7元，还差4元，∴7x=y−4，故所列方程组为：8x=y+37x=y−4故选：A．33．（2024·内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（）A．3x+2y=404x+5y=58 B．3x+5y=40C．3x+5y=584x+2y=40 D．【答案】C【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．【详解】解：设用A型钢板x块，用B型钢板y块，由题意得：3x+5y=584x+2y=40故选：C．34．（2024·四川南充）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（

）A．7x+7=y9x−1=yC．7x−7=y9x−1=y【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：7x+7=y9故选：A．35．（2024·天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（

）A．y−x=4.5x−0.5y=1 B．C．x+y=4.5x−y=1 D．【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：y−x=4.5；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：x−0.5y=1；从而可得答案.【详解】解：由题意可得方程组为：y−x=4.5x−0.5y=1故选：A.36．（2024·湖北）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（

）A．5x+2y=102x+5y=8 B．C．5x+5y=102x+5y=8 D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可．【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，∴5x+2y=102x+5y=8故选：A．37．（2024·山东威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（

）A．3x−y=44x−y=1 B．C．x3−y=4x【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键．【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，依题意，得：x3故选：C．38．（2024·四川成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（A．y=12x+4y=13x+3 B．【答案】B【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设人数为x，琎价为y，根据每人出12钱，会多出4钱可得出y=每人出13钱，又差了3钱．可得出y=则方程组为：y=1故选：B．39．（2025·黑龙江齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】B【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可．【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由题意得：45x+60y=900，∴x=60−4y∵x、y均为正整数，∴当y=3时，x=16；当y=6时，x=12；当y=9时，x=8；当y=12时，x=4．∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案．故选B．40．（2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（

）A．6 B．7 C．4 D．5【答案】C【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是非负整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程80x+120y=1200，找出满足x、y为非负整数的解的组数．【详解】解：设购买足球x个，篮球y个，根据题意得：80x+120y=1200，即2x+3y=30，则x=30−3y∵x,y都是非负整数，解得：x=15y=0（不符合题意，舍去）或x=12y=2或x=9y=4或x=6y=6或∴共有4种购买方案，故选：C．41．（2025·四川泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1, y=1．类似地，方程2x+3y=21的正整数解的个数是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出2x+3y=21的正整数解，即可求解．【详解】解：∵2x+3y=21∴y=7−正整数解为：x=3，y=5；x=6，y=3；x=9，y=1共3个，故选：C．42．（2024·黑龙江大兴安岭地）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x支笔记本，y个碳素笔，依题意得：3x+2y=28，∴y=14−3又∵x，y均为正整数，∴x=2y=11或x=4y=8或x=6y=5∴共有4种不同的购买方案．故选：B．43．（2024·黑龙江齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（

）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为x,y个，根据题意列出方程，根据整数解的个数，即可求解．【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为x,y个，依题意，8x+10y=200∴x=−∵x，y为正整数，∴当y=4时，x=20，当y=8时，x=15当y=12时，x=10当y=16时，x=5∴购买方案有4种，故选：B．44．（2024·四川宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（

）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【答案】C【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用x个大箱，y个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．【详解】解：设用x个大箱，y个小箱，∴4x+3y=32，∴x=32−3y∴方程的正整数解为：x=5y=4或x=2∴所装的箱数最多为2+8=10箱；故选C．二、填空题45．（2025·湖南长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b=−c．那么2=1．推理过程如下：第一步：根据上述命题条件有a+b=−c；

①第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a−a,b=2b−b,c=2c−c；

②第三步：把②代入①，可得2a−a+2b−b=−第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2a+b+c=a+b+c第五步：把④两边同时除以a+b+c，得2=1．⑤请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则．【答案】五【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可．【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．∴对于等式2a+b+c当a+b+c=0时，该等式恒成立；当a+b+c≠0，两边同时除以a+b+c，得2=1；∵a+b=−c，∴a+b+c=0∴上述推理过程中，第五步是错误的；故答案为：五．46．（2025·吉林）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干