人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 7.1 尺规作图

试卷第=page11页，共=sectionpages33页7.1尺规作图一、选择题1．（2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线2．（2024·四川自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=（

A．40° B．50° C．60° D．140°3．（2024·湖北）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于12DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，则∠ABP=（A．40° B．25° C．20° D．15°4．（2024·天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC

A．60∘ B．65∘ C．70∘5．（2025·四川眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（A．4 B．5 C．6 D．86．（2025·内蒙古）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（A．100° B．80° C．50° D．40°7．（2025·四川资阳）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE=30°，则A．30° B．45° C．60° D．75°8．（2024·北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C（3）过点D′作射线O′B

上述方法通过判定△C′O′D′≌△CODA．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等9．（2024·吉林长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=10．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B=45°,∠A>∠ACB>∠B．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC 11．（2024·湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°12．（2024·海南）如图，在▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形

A．22 B．21 C．20 D．1813．（2025·辽宁）如图，在△ABC中，AB=16，BC=12，CA=10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D．在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE．则A．12 B．14 C．16 D．1814．（2025·甘肃甘南）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=30°,AC=4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于12DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（A．5 B．6 C．7 D．815．（2025·青海西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN=12A．2个 B．3个 C．4个 D．5个16．（2024·四川成都）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD=3，DE=2，下列结论错误的是（A．∠ABE=∠CBE B．BC=5C．DE=DF D．BE17．（2024·山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．（2024·广东深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①19．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．2420．（2024·山东泰安）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21．（2025·四川遂宁）在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（

A．213 B．215 C．6 22．（2024·山东德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（

）A． B．C． D．23．（2025·天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（

）A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD24．（2024·山东济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（A．2+1 B．52 C．3+525．（2025·山东济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=32，则线段AEA．1123 B．112 C．5二、填空题26．（2024·贵州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB=5，则AD的长为．27．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H2a−1,a+1，则28．（2024·四川）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为29．（2024·辽宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD=a，AB=10．以点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为30．（2025·西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A1,0，交y轴于点B0,2，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点31．（2025·四川广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF交BC于点E．若∠C=2∠B，BC=23，BD=13，则AE的长为32．（2024·山东）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，则F到33．（2024·湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=2，AD=4MD，则AM=34．（2024·江苏宿迁）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF35．（2024·西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF36．（2025·黑龙江大庆）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN．分别以M，N为圆心、以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC37．（2025·海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S三、解答题38．（2024·陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）39．（2024·广西）如图，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)在（1）所作的图中，连接BE，若AB=8，求BE的长．40．（2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若点E是AD的中点，连接OA,CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．41．（2024·广东）如图，在△ABC中，∠C=90°．

(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．42．（2025·湖南长沙）如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点(1)求∠BCD的度数；(2)若BC=2.5，求AD的长．43．（2025·山东青岛）已知：如图，D是∠AOB内部一点．求作：等腰△COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D．44．（2025·江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE．(1)求证：△ABD≌(2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．45．（2024·浙江）尺规作图问题：如图1，点E是▱ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE．用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点．小明：如图2．以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE．小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！(1)证明AF∥CE；(2)指出小丽作法中存在的问题．46．（2025·宁夏）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．(1)过点D作BC的垂线段；(2)过点E作BC的平行线．47．（2024·重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠OCF=∠OAE．∵点O是AC的中点，∴②．∴△CFO≅△AEO（AAS）．∴③．又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．48．（2024·四川达州）如图，线段AC、BD相交于点O．且AB∥CD，AE⊥BD于点(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F、连接AF、CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）(2)若AB=CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）49．（2024·江苏连云港）如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC∥(1)求证：△AEC≌△BED；(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）50．（2024·江苏苏州）如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长．51．（2024·福建）如图，已知直线l1∥l(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与(2)在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A,B,C分别在l,l1,52．（2024·黑龙江绥化）已知：△ABC．(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______53．（2024·内蒙古赤峰）如图，在△ABC中，D是AB中点．(1)求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形54．（2024·广东广州）如图，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．55．（2025·重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造角平分线．小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为第二步：利用三角形全等证明她的猜想．证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP=∠OFP=90°．在Rt△OEP和Rt ①∴Rt∴③．∴OP平分∠AOB．56．（2025·甘肃）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；②在射线DM上截取DC=a；③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；④以点O为圆心，OC的长为半径作ACB．则ACB就是所要作的圆弧．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．57．（2025·新疆）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线．(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，(2)在（1）的条件下，连接BE，DF，求证：四边形58．（2024·新疆）（1）解方程：2x−1（2）如图，已知平行四边形ABCD．①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）②在①的条件下，求证：△ADE是等腰三角形．

59．（2025·四川达州）开启作角平分线的智慧之窗问题：作∠AOB的平分线OP作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得OP为∠AOB的平分线；讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②_______________；对丙同学的作法陷入了沉思．任务：(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；(2)完成对丙同学作法的验证．已知∠AED=∠AOB，EP=EO，求证：OP平分60．（2025·黑龙江绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）[初步尝试]如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．[拓展探究]如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1:4．61．（2025·四川广元）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，2为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，画射线OC交MN于点E，连接(1)求证：∠AOC=∠BOC；(2)若∠AOB=60°，求ME的长．62．（2025·江苏无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．(1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）63．（2024·江苏扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=1264．（2024·河南）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC

(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形65．（2025·陕西）如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上．请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP=25°，且CP∥66．（2025·江苏宿迁）实验活动：仅用一把圆规作图．【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P，使点P在∠AOB的平分线上．小明的作法如下：如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点．理由：如图3，连接EP、FP、OP，由作图可知OE=OF，又因为OP=OP，所以．所以∠EOP=∠FOP，所以OP平分∠AOB，即点P为所求点；【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线AB平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）67．（2025·宁夏）如图，点P在直线l外．①在直线l上任取一点A，连接AP；②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；⑤连接CB,CP．(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．(2)求证：四边形ABCP是菱形．68．（2024·山东威海）感悟如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE．求证：∠BAC=∠EAD．应用（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB（不写作法，保留作图痕迹）．69．（2024·江苏无锡）如图，在△ABC中，AB>AC．(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）

参考答案与解析一、选择题1．（2024·河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BD⊥AC，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：BD⊥AC，∴线段BD一定是△ABC的高线；故选B2．（2024·四川自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=（

A．40° B．50° C．60° D．140°【答案】A【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形AMBN是菱形，即可求解．【详解】解：由作图知AM=AN=BM=BN，∴四边形AMBN是菱形，∵∠A=40°，∴∠MBN=∠A=40°，故选：A．3．（2024·湖北）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB=50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于12DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP，则∠ABP=（A．40° B．25° C．20° D．15°【答案】C【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出∠ABC=40°，根据作图可得【详解】解：∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=50°，∴∠ABC=由作图知，AP是∠ABC的角平分线，∴∠ABP=1故选：C4．（2024·天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC

A．60∘ B．65∘ C．70∘【答案】B【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出∠BAC=50°，由作图得∠BAD=25°，由三角形的外角的性质可得∠ADC=65°，故可得答案【详解】解：∵∠C=90°,∠B=40°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−40°=50°，由作图知，AP平分∠BAC，∴∠BAD=1又∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADC=40°+25°=65°,故选：B5．（2025·四川眉山）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；根据题意可得：AP平分∠BAD，即∠BAG=∠DAG，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得BA=BG=6，进一步即可求解.【详解】解：根据题意可得：AP平分∠BAD，即∠BAG=∠DAG，∵AD∥BC，∴∠DAG=∠BGA，∴∠BAG=∠BGA，∴BA=BG=6，∵BC=10，∴CG=BC−BG=4；故选：A.6．（2025·内蒙古）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（A．100° B．80° C．50° D．40°【答案】D【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知∠AEG=∠FEG，结合∠AEF=80°，求出∠AEG=∠FEG=1【详解】解：由作图可知∠AEG=∠FEG，∵∠AEF=80°，∴∠AEG=∠FEG=1∵AB∥CD，∴∠EGF=∠AEG=40°，故选：D．7．（2025·四川资阳）如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E．若∠BDE=30°，则A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求∠CBD=∠BDE=30°，由角平分线的定义得∠ABC=2∠CBD=60°，然后再根据平行线的性质可得∠AED的度数．【详解】∵DE∥BC，∠BDE=30°，∴∠CBD=∠BDE=30°，由作图可知，BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=60°．∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=60°．故选C．8．（2024·北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C（3）过点D′作射线O′B

上述方法通过判定△C′O′D′≌△CODA．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.【详解】解：根据上述基本作图，可得OC=O故可得判定三角形全等的依据是边边边，故选A.9．（2024·吉林长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=【答案】D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出∠AOM=∠B，根据平行线的判定得出OM∥BC，根据平行线的性质得出∠OMC+∠C=180∘，根据平行线分线段成比例得出【详解】解：A．根据作图可知：∠AOM=∠B一定成立，故A不符合题意；B．∵∠AOM=∠B，∴OM∥∴∠OMC+∠C=180C．∵O是边AB的中点，∴AO=BO，∵OM∥∴AMCM∴AM=CM一定成立，故C不符合题意；D．OM=110．（2025·吉林）如图，在△ABC中，∠B=45°,∠A>∠ACB>∠B．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边A．∠B=∠DCB B．∠BDC=90° C．DB=DC 【答案】D【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得∠B=∠DCB=45°，则由三角形内角和定理和等边对等角得到∠BDC=90°，BD=DC，由大角对大边得到BC>AB，再由AD+DC=AD+BD=AB可得【详解】解：由作图方法可得∠B=∠DCB=45°，故A结论正确，不符合题意；∴∠BDC=180°−∠B−∠DCB=90°，BD=DC，故B、C结论都正确，不符合题意；∵∠A>∠ACB>∠B，∴BC>AB，∵AD+DC=AD+BD=AB，∴AD+DC<BC，故D结论错误，符合题意；故选：D．11．（2024·湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°【答案】C【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：作图可得AB=AD=BC=DC∴四边形ABCD是菱形，∴AD∵∠A=44°，∴∠MBC=∠A=44°，∴∠CBD=1故选：C．12．（2024·海南）如图，在▱ABCD中，AB=8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE=∠DCE，DE=4，则四边形

A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．利用勾股定理求得CE的长，再证明BE=BC，作BG⊥CE于点G，求得CG=EG=25，利用tan∠DCE=tan∠BCE，求得【详解】解：∵▱ABCD，AB=8，∴CD=AB=8，由作图知DE⊥AB，∵▱ABCD，∴AB∥∴DE⊥CD，∵DE=4，∴CE=4∵AB∥∴∠DCE=∠BEC，∵∠BCE=∠DCE，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC，作BG⊥CE于点G，

则CG=EG=1∵∠DCE=∠BCE，∴tan∠DCE=∴DECD=BG∴BG=5∴BE=BC=5∴四边形BCDE的周长是4+8+5+5=22，故选：A．13．（2025·辽宁）如图，在△ABC中，AB=16，BC=12，CA=10，∠ABC的平分线BP与AC相交于点D．在线段AD上取一点K，以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与AB相交于点E，连接DE．则A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知CE⊥BD，证明△BOC≌△BOE，得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，得到BD垂直平分CE，得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．【详解】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE,BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，∵BP平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，又∵OB=OB，∴△BOC≌△BOE，∴OC=OE，BC=BE=12，∴BD垂直平分CE，AE=AB−BE=4，∴DE=CD，∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14；故选B14．（2025·甘肃甘南）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=30°,AC=4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于12DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知AF⊥CD，然后根据含30度直角三角形的性质可得BC=2AC=8,CF=1【详解】解：由作图可知：AF⊥CD，∴∠AFC=90°，∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4，∴BC=2AC=8,∠C=60°，∴∠FAC=90°−∠C=30°，∴CF=1∴BF=BC−CF=6，故选：B．15．（2025·青海西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN=12A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键．由作图可得AM=AN，PM=PN，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得PM=PN=MN，得到∠MPN=60°，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到△AMN是等边三角形，四边形AMPN是菱形，即可判断①④错误．【详解】解：由作图可得AM=AN，PM=PN，∴AP垂直平分MN，故②正确．∵PM=PN，AP⊥MN，∴PA平分∠MPN，故③正确．由作图可得PM=PN=MN，∴∠MPN=60°，∴cos∠MPN=∵AM=AN，但无法判断AM=AN=MN，∴无法得到△AMN是等边三角形，故①错误．∵AM=AN，PM=PN，但无法得到AM=AN=PM=PN，∴无法证明四边形AMPN是菱形，故④错误．综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个．故选：B16．（2024·四川成都）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD=3，DE=2，下列结论错误的是（A．∠ABE=∠CBE B．BC=5C．DE=DF D．BE【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF为∠ABC的角平分，利用平行线证明∠AEB=∠ABE，从而得到AE=AB=CD=3，再利用平行四边形的性质得到BC=AD=AE+ED=3+2=5，再证明△AEB∽△DEF，分别求出BEEF=3【详解】解：由作图可知，BF为∠ABC的角平分，∴∠ABE=∠CBE，故A正确；∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC，∵AD∥BC∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB=CD=3，∴BC=AD=AE+ED=3+2=5，故B正确；∵AB=CD，∴∠ABE=∠F，∵∠AEB=∠DEF，∴△AEB∽△DEF，∴BEEF∴BEEF∴BEEF=3∵DE=2，∴DE=DF，故C正确，故选：D．17．（2024·山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为∠AOB的平分线；第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB，∴AC=BD，∵∠AOD=∠BOC，∴△AOD≌△BOC，∴∠OAD=∠OBC，∵AC=BD，∠BPD=∠APC，∴△BPD≌△APC，∴AP=BP，∵OA=OB,OP=OP，∴△AOP≌△BOP，∴∠AOP=∠BOP，∴OP为∠AOB的平分线；第三个图，由作图可知∠ACP=∠AOB,OC=CP，∴CP∥BO，∠COP=∠CPO，∴∠CPO=∠BOP∴∠COP=∠BOP，∴OP为∠AOB的平分线；第四个图，由作图可知：OP⊥CD，OC=OD，∴OP为∠AOB的平分线；故选D．18．（2024·广东深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图③中，利用作法得AE=AF，AM=AN，

可证明△AFM≌△AEN，有∠AMD=∠AND，可得ME=NF，进一步证明△MDE≌△NDF，得DM=DN，继而可证明△ADM≌△ADN，得∠MAD=∠NAD，得到AD是∠BAC的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图③中，利用作法得AE=AF，

在△AFM和△AEN中，AE=AF∠BAC=∠BAC∴△AFM≌△AENSAS∴∠AMD=∠AND，∵AM−AE=AN−AF∴ME=NF在△MDE和△NDF中∠AMD=∠AND∠MDE=∠NDF∴△MDE≌△NDFAAS∴DM=DN，∵AD=AD,AM=AN，∴△ADM≌△ADNSSS∴∠MAD=∠NAD，∴AD是∠BAC的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线．则①③可得出射线AD平分∠BAC．故选：B．19．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N，再分别以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平分∠BAD，则可求∠CAD=∠DAB=30°，利用含30°的直角三角形的性质得出CD=12AD，利用等角对等边得出AD=BD【详解】解：∵∠C=90°,∠B=30°，∴∠CAB=60°，由作图知：AD平分∠BAD，∴∠CAD=∠DAB=30°，∴CD=12AD∴AD=BD，∴CD=1∴S△ACD又△ACD的面积为8，∴△ABD的面积是2×8=16，故选B．20．（2024·山东泰安）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知MN垂直平分线段AC、AE平分∠BAC，进而证明∠C=∠EAC=∠BAE=30°可判定①；再说明AB=AF可得AP垂直平分线段BF可判定②；根据直角三角形的性质可得AC=2AB，【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，由作图可知AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，故①正确，∴AC=2AB，∵AF=FC，∴AB=AF，∴AP垂直平分线段BF，故②正确，∵AE=2BE，∴EC=2BE，故③正确，∴S△∵AF=FC，∴S△∴S△BEF故选：D．21．（2025·四川遂宁）在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（

A．213 B．215 C．6 【答案】A【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；先根据勾股定理求出AC，设BG,AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM=MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明△ABQ∽△MBC，再根据相似三角形的性质求解即可.【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,BC=5∴AC=13由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG=∠ABG，设BG,AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，则CM=MN，设CM=MN=x，∵S△ABC∴12即5×12=5x+13x，解得：x=103，即则BM=5由作图痕迹可知：AQ⊥BH，∴∠AQB=∠C=90°，∵∠CBG=∠ABG，∴△ABQ∽△MBC，∴AQCM=AB解得：AQ=213故选：A.22．（2024·山东德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．【详解】解：A、由作图知，OC是∠AOB的平分线，且PO=PC，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PC∥B、由作图知，PD是∠APC的平分线，且PO=OC，∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能说明∠2与∠4相等，∴PD与OB不平行，故本选项符合题意；C、由作图知，PO=OD=CD=CP，∴四边形POCD是菱形，∴PC∥D、由作图知，∠1=∠O，∴PC∥故选：B．23．（2025·天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（

）A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD【答案】D【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：∠CBN=∠A，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．【详解】解：由作法得：∠CBN=∠A，根据题意无法得到∠ABN与∠CBN的大小关系，所以无法确定∠ABN与∠A的大小关系，故A选项错误；∵CD是△ABC的角平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵∠BMD=∠BCD+∠CBN,∠BDM=∠A+∠ACD，∴∠BMD=∠BDM，∴BD=BM，故D选项正确；题干中没有说明∠ACB,∠A的大小关系，∴无法判断∠ACB,∠CBN的大小关系，则无法得到∠BNC的度数，故B选项错误；根据题意无法得到AD,CM的大小关系，故C选项错误；故选：D24．（2024·山东济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（A．2+1 B．52 C．3+5【答案】D【分析】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，得到AH=BH=x，∠AHG=90°，由勾股定理得到GH=3x，证明AD∥GH∥BC，推出DG=GK，推出GH=x+1，得到3x=x+1【详解】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，∴AH=BH=12AB=x∴GH=A∵∠BAD=90°，∴AD∥GH，∵AD∥BC，∴AD∥GH∥BC，∴DGGK∴DG=GK，∵BK=2，∴GH=1∴3x=x+1∴x=3∴2x=3故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．25．（2025·山东济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=32，则线段AEA．1123 B．112 C．5【答案】D【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD=∠FCD，CE=DE，从而证明DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得ADAB【详解】解：连接DE，由作法得CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，∴∠ECD=∠FCD，CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠FCD=∠EDC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴ADAB∵AD=4，DB=2，BC=32∴44+2∴DE=22∴CE=DE=22∴AEAE+2∴AE=42故选：D．二、填空题26．（2024·贵州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB=5，则AD的长为．【答案】5【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出AD=AB，即可求解．【详解】解∶由作图可知∶AD=AB，∵AB=5，∴AD=5，故答案为∶5．27．（2024·黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H2a−1,a+1，则【答案】2【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；∴2a−1=a+1，解得：a=2，故答案为：2．28．（2024·四川）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为【答案】35【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据AB=AC，∠A=40°，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺规作图过程可知BG为∠ABC的角平分线，由此可得∠ABG=∠GBC=1【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根据尺规作图过程，可知BG为∠ABC的角平分线，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案为：35°．29．（2024·辽宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD=a，AB=10．以点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为【答案】a−10【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．利用基本作图得到AE=AB=10，EF平分∠AEC，，接着证明∠AEF=∠AFE得到AF=AE=10，然后利用FD=AD−AF求解．【详解】解：由作法得AE=AB=10，EF平分∠AEC，∴∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE=10，∴FD=AD−AF=a−10．故答案为：a−10．30．（2025·西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A1,0，交y轴于点B0,2，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线OE交AB于点F，则点【答案】2【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点F作FG⊥x轴于点G，根据题意可得OF平分∠AOB，易证△OGF是等腰直角三角形，得到OG=FG，再证明OB∥FG，易证△AFG∽△ABO，推出AGAO=FGOB，即AO−OGAO方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定OE所在直线的解析式为y=x，易错点是联立方程求解时计算出错．首先，利用直线上两点A1,0和B0,2，用待定系数法求出直线AB的解析式y=−2x+2．然后，根据作图步骤可知OE是∠AOB的角平分线，因为∠AOB=90°，所以OE所在直线的解析式为y=x．最后，求直线AB与OE的交点，联立它们的解析式y=−2x+2y=x【详解】解法一：解：如图，过点F作FG⊥x轴于点G，根据题意得OF平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOF=∠AOF=45°，∵FG⊥OA，即∠FGO=∠FGA=90°，∴∠OFG=45°，∴△OGF是等腰直角三角形，∴OG=FG，∵∠AOB=∠FGA=90°，∴OB∥FG，∴△AFG∽△ABO，∴AGAO=FG∴AO−OGAO∵A1,0，B∴OA=1,OB=2，∴1−OG1∴OG=2∴FG=OG=2∴点F的坐标为23故答案为：23解法二：解：∵A1,0，B0,2，设直线AB的解析式为：∴k+b=0b=2解得：k=−2b=2直线AB的解析式为：y=−2x+2,∵OE是∠AOB的角平分线，∠AOB=90°，∴OE所在直线的解析式为y=x．联立方程组：y=−2x+2将y=x代入y=−2x+2中，得到：x=−2x+2，解得x=2∵y=x，∴y=2所以，直线y=−2x+2与y=x的交点F的坐标为23故答案为：2331．（2025·四川广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF交BC于点E．若∠C=2∠B，BC=23，BD=13，则AE的长为【答案】12【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；易得CD=10，连接AD，如图，据题意可得：AD=AC，AE垂直平分CD，可得∠C=∠ADC，∠AED=∠AEC=90°,DE=CE=12CD=5【详解】解：∵BC=23，BD=13，∴CD=23−13=10,连接AD，如图，据题意可得：AD=AC，AE垂直平分CD，∴∠C=∠ADC，∠AED=∠AEC=90°,DE=CE=1∵∠C=2∠B，∴∠ADC=2∠B，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠BAD，∴AD=DB=13，则在直角三角形ADE中，根据勾股定理可得AE=A故答案为：12.32．（2024·山东）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB=4，∠PQE=67.5°，则F到【答案】2【分析】如图，过F作FH⊥AC于H，证明∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=12AB=2【详解】解：如图，过F作FH⊥AC于H，由作图可得：∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=1∵∠PQE=67.5°，∴∠AQF=67.5°，∴∠BAP=∠CAP=90°−67.5°=22.5°，∴∠FAH=45°，∴AH=FH=2∴F到AN的距离为2；故答案为：2【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．33．（2024·湖南）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN=2，AD=4MD，则AM=【答案】6【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP平分∠ABC，根据角平分线的性质可知DM=MN=2，结合AD=4MD求出AD，AM．【详解】解：作图可知BP平分∠ABC，∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，MN=2，∴MD=MN=2，∵AD=4MD，∴AD=8，∴AM=AD−MD=6，故答案为：6．34．（2024·江苏宿迁）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF【答案】10°/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF平分∠BAC，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：因为∠B=50°，所以∠BAC=180°−50°−30°=100°，根据题意得：AF平分∠BAC，所以∠BAF=1因为AD为高，所以∠BDA=90°，所以∠BAD=180°−50°−90°=40°,所以∠DAF=∠BAF−∠BAD=50°−40°=10°，故答案为：10°．35．（2024·西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF【答案】3【分析】本题考查了作图−基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断BF平分∠ABC，过F作FG⊥AB于G，再利用角平分线的性质得到GF=CF=3，根据勾股定理求出AG=AF2−FG2=52−32=4，证明Rt△CBF≌Rt【详解】解：过F作FG⊥AB于G，由作图得：BF平分∠ABC，FG⊥AB，∠C=90°，∴GF=CF=3，在Rt△AFG中根据勾股定理得：AG=∵FG=CF，BF=BF，∴Rt∴BG=BC，设BG=BC=x，则AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，在Rt△ABCAC即：82解得：x=6，∴BC=6，在Rt△BCF中根据勾股定理得：BF=故答案为：3536．（2025·黑龙江大庆）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN．分别以M，N为圆心、以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC【答案】233【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，AD平分∠BAC，求得DG=DB，∠BAD=1【详解】解：作DG⊥AC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由作图可知，AD平分∠BAC，∵∠ABC=90°，∴DG=DB，∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°∴∠BAD=1∵AB=2，∴DB=AB⋅tan∴DG=DB=2故答案为：2337．（2025·海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理．作HI⊥AB交AB于I，根据菱形的性质可知HO⊥AC，由作图可知AG平分∠BAC，即HI=OH=2，进而根据三角形面积公式计算即可．【详解】如图，作HI⊥AB交AB于I，∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，即HO⊥AC，由作图可知AG平分∠BAC，∴HI=OH=2，∴S△ABH故答案为：7．三、解答题38．（2024·陕西）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作AB⊥l，垂足为B，再在直线l上截取点C，使BC=AB，连接AC，则△ABC是所求作的等腰直角三角形．【详解】解：等腰直角△ABC如图所示：39．（2024·广西）如图，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)在（1）所作的图中，连接BE，若AB=8，求BE的长．【答案】(1)见详解(2)4【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于12AB为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，作直线DE，则直线（2）连接BE，由线段垂直平分线的性质可得出BE=AE，由等边对等角可得出∠EBA=∠A=45°，由三角形内角和得出∠BEA=90°，则得出△ABE为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出BE的长．【详解】（1）解：如下直线l即为所求．（2）连接BE如下图：∵DE为线段AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EBA=∠A=45°，∴∠BEA=90°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴sinA=∴BE=AB⋅【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．40．（2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若点E是AD的中点，连接OA,CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．【答案】(1)作图见详解(2)证明过程见详解【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键．（1）运用尺规作直径BC的垂直平分线即可；（2）根据平行四边形的性质结合题意得到AE∥OC，AE=12AD,OC=【详解】（1）解：如图所示，∵BC是直径，∴运用尺规作直径BC的垂直平分线角BC于点O，∴点O即为所求点的位置；（2）证明：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，