2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 4.3 等腰三角形与直角三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页4.3等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形的相关计算1．（2025安徽中考第6题）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（

A．43 B．6 C．23 D．32．（2022安徽中考第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1A．332 B．532 C．3．（2023安徽中考第10题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（

）

A．PA+PB的最小值为33 B．PE+PF的最小值为C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为34．（2016安徽中考第23题））如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．二、直角三角形的相关计算5．（2024安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（

A．10−2 B．6−2 C．6.（2021安徽中考第5题）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（

）A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°7．（2019安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（

）A．3.6 B．4 C．4.8 D．58．（2018安徽中考第23题）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM

参考答案与解析一、等腰三角形判定及计算1．（2025安徽中考第6题）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（

A．43 B．6 C．23【答案】B【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°∴∠∵D是AC中点，∴设AC=2x，则CD=x．∵ED⊥AC，∴△EDC是直角三角形，且∠C=30°∴EC=2DE，∵DE=3，则EC=23．在Rt△EDC∴(2312=3+xx2解得x=3（x>0）．∵AC=2x，∴AC=6．故选：B．2．（2022安徽中考第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1A．332 B．532 C．【答案】B【详解】解：如图，S2=S∴S1+S=S1+S△PAB+S△ABC=S设△ABC中AB边上的高为h1，△PAB中AB边上的高为h2，则S1=12AB·h2∴h1=6∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于32∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，∴CP=h∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC,∴∠OCE=30°，CE=12BC=3,∴OC∵OE2+CE2=OC2，∴OE∴OP=CP-OC=923．（2023安徽中考第10题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（

）

A．PA+PB的最小值为33 B．PE+PF的最小值为C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3【答案】A【详解】解：如图所示，

延长AD,BC，依题意∠QAD=∠QBA=60°,∴△ABQ是等边三角形，∵P是CD的中点，∴PD=PC，∵∠DEA=∠CBA，∴ED∥CQ,∴∠PQC=∠PED,∠PCQ=∠PDE，∴△PDE≌△PCQ,∴PQ=PE，∴四边形DECQ是平行四边形，则P为EQ的中点

设AQ,BQ的中点分别为G,H，则GP=12AE,PH=12EB,∴当E点在当E点与F重合时，即AE=EB，则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AE=EB=1则△ADE≌△ECB，∴C,D到AB的距离相等，则CD∥AB此时△ADE和△BCE的边长都为2，则AP,PB最小，∴PF=32×2=3，∴PA=PB=22或者如图所示，作点B关于GH对称点B'，则PB=PB'，则当

此时AB'根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PE=PF=3，则PE+PF=2△CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4，即当CD最小时，△CDE周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，

∵∠GHQ=60°,∠GHM=∠GDM=60°，则∠CHM=120°如图，延长DE,HG，交于点N，则∠NGD=∠QGH=60°，∠NDG=∠ADE=60°∴△NGD是等边三角形，∴ND=GD=HM，在△NPD与△HPC中，∠NPD=∠HPC∴△NPD≌△HPC,∴ND=CH,∴CH=MH∴∠HCM=∠HMC=30°,∴CM∥QF，则CM⊥DM，∴

在△DCM中，DC>DM,∴当DC=DM时，DC最短，DC=GH=∵CD=PC+2PC,∴△CDE周长的最小值为2+2+2=6，故C选项正确；∵△NPD≌△HPC,∴四边形ABCD面积等于S

∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，∴四边形ABCD面积的最小值为3×34×4．（2016安徽中考第23题））如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．【详解】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE，∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°，∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，∵PC＝12AO＝OC＝ED，CE＝OD＝12OB＝在△PCE与△EDQ中，PC=DE∠PCE=∠EDQCE=DQ，∴△PCE≌△（2）①如图2，连接RO，∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AR＝OR＝RB，∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ，∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，∴∠CRD＝30°，∴∠ARB＝60°，∴△ARB是等边三角形；②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝12∠ARB＝45°，∴∠MON此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，∴AB＝2PE＝2×22PQ＝2PQ，∴ABPQ＝二、直角三角形的相关计算5．（2024安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（

A．10−2 B．6−2 C．【答案】B【详解】解：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22+∴CD=22，∠DBE=45°∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE，设DE=BE=x，则CE=2+x，在Rt△CDE中，C∴2+x2解得x1=3∴DE=BE=3∴BD=3故选：B．

6.（2021安徽中考第5题）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（

）A．60° B．67.5° C．75° D．82.5°【答案】C【详解】由图可得∠B=60°，∠F=45°，∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．7．（2019安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（

）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ACD，∴EFDC∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，∴△AEG∽△ADH，∴EGDH=∵EF=EG，∴DC=DH，设DH=DC=x，则BD=12-x，又∵△BDH∽△BCA，∴DHCA=BDBC，即故选B.8．（2018安徽中考第23题）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.【详解】（1）∵M为BD中点，Rt△DCB中，MC=12BD，Rt△DEB中，EM=1∴MC=ME；（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°；（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴∠ABC=45°，∠