安徽马鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试九年级数学试题卷

安徽马鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试九年级数学试题卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在北京隆重举行．九三阅兵的核心意义在于铭记历史、缅怀先烈、展示国防实力、弘扬抗战精神，并传递中国维护世界和平的坚定决心．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.若（），则下列等式成立的是（）A. B. C. D.3.已知的半径为10，若，则点P与的位置关系是（）A.点P在内 B.点P在上 C.点P在外 D.无法判断4.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A. B.C. D.5.如果点A（－2，y1），B（－1，y2），C（2，y3）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y3＜y2 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y2＜y16.如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.7.如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（）A. B. C. D.8.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（）A. B. C. D.9.如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）A. B. C. D.10.如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B.C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）11.如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____．12.研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走_____米（结果保留根号）．13.如图，三个顶点A，B，C在上，，分别交于点F，E．若，的半径为3，则的长为________．14.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E．（1）当时，______；（2）的最大值为_______．三、解答题（本大题共9个小题，第15-18小题每题8分，第19、20小题每题10分，第21、22小题每题12分，第23小题14分，共90分）15计算：．16.如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形．（1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标．（2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为．17.已知线段，，满足，且．（1）求线段，，的长．（2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长．18.新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）“图象数”，如：的“图象数”为．（1）图像数为的二次函数表达式为__________．（2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．19.某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角，测得该塔楼顶端处点A的仰角．点A、B、C、D、E都在同一平面内，求塔楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，）20.如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）请直接写出自变量的取值范围．21.如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为．（1）求证：点是弧的中点；（2）若，，求的长．22.如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接．（1）求证：．（2）若，求证：．（3）在（2）的条件下，求的值．23.已知抛物线经过点．（1）求该抛物线的对称轴；（2）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）①若，且，比较与的大小；②当时，若是一个与无关定值，求与的值．安徽马鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试九年级数学试题卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）1.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在北京隆重举行．九三阅兵的核心意义在于铭记历史、缅怀先烈、展示国防实力、弘扬抗战精神，并传递中国维护世界和平的坚定决心．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题关键．根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转后与原图重合，作答即可．【详解】解：选项的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C．2.若（），则下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案．【详解】解：对于选项A、B和D，，且，两边同时除以12，得，即，故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意；对于选项C，将两边同时除以，得，即，故选项C错误，不符合题意；故选：A．3.已知的半径为10，若，则点P与的位置关系是（）A.点P在内 B.点P在上 C.点P在外 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可．【详解】解：∵半径为10，，∴，∴点P在内．故选：A．4.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．5.如果点A（－2，y1），B（－1，y2），C（2，y3）都在反比例函数（k＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y3＜y2 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y2＜y1【答案】B【解析】【分析】利用图象法，把点A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）在反比例函数图象上的位置表示出来，进而得出答案．【详解】解：点A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）在反比例函数（k＞0）的图象上的位置如图所示，因此有y2＜y1＜y3，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，用图象表示点在图象上的位置，可以直观得出y2＜y1＜y3．6.如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理可求出的值．【详解】解：∵，∴∵，∴，又，设，∴，∴，解得，，所以，的值为，故选：D．7.如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，掌握圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角的性质可得，根据同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，可得，由即可求解．【详解】解：∵，∴，∵所对应的圆心角是，所对的圆周角是，∴，∴，故选：C

．8.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．连接，先证明为直角三角形，即可求解．【详解】解：连接，∵，，，∴，∴，即为直角三角形，∴，故选：D．9.如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延长交于点，作于，于，则四边形是矩形，由角平分线的性质定理得出，，从而得出四边形是正方形，证明，得出，同理可得：，推出，设，则，，求出，得到，，再由相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：如图，延长交于点，作于，于，∵，，∴，∵，∴四边形矩形，∵平分，平分，∴，，∴四边形是正方形，在和中，，∴，∴，同理可得：，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．10.如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等边三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B选项不正确；当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）11.如果关于x的函数是二次函数，则m＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的定义，可得且，即可求解．【详解】解：由题意得：且，∴且，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式为是解题的关键．12.研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走_____米（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可．【详解】解：设至少向前走米，依题意得，，解得，．即主持人站在最佳位置处时至少要走米，故答案为：．13.如图，的三个顶点A，B，C在上，，分别交于点F，E．若，的半径为3，则的长为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理以及弧长公式的应用，通过这些知识点的综合运用来求解弧长．连接，由四边形是的内接四边形，得到，再由四边形是平行四边形性质，求出,再根据外角的性质，得到再根据圆周角定理即可求解.【详解】连接，如下图所示，四边形是的内接四边形，，，四边形是平行四边形，，∵，，，根据弧长公式（其中弧长，为圆心角度数，为半径），的长为：．故答案为：．14.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E．（1）当时，______；（2）的最大值为_______．【答案】（1）##0.5（2）##0.5625【解析】【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答；（2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答．【小问1详解】解：对于，令，则，即，令，则，即，又，设抛物线解析式为，代入，则，解得：，设抛物线解析式为，，的纵坐标与的纵坐标相同，均为3，对于，令，则，解得：，，，又，．故答案为：．【小问2详解】如图，作轴交于F，轴交于G，，，，，当时，，，设，则，，，当时，有最大值，的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，第15-18小题每题8分，第19、20小题每题10分，第21、22小题每题12分，第23小题14分，共90分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值．首先根据特殊角的三角函数值把算式转化为实数，然后再根据运算法则计算即可．【详解】解：．16.如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形．（1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标．（2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为．【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）．（1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标；（2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形．【小问1详解】解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P，点P的坐标为；【小问2详解】如图所示，即为所求．17.已知线段，，满足，且．（1）求线段，，的长．（2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长．【答案】（1），，（2）线段【解析】【分析】（1）设，然后用表示出a、b、c，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的是义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段的长．【小问1详解】设，则，，，，解得，，，；【小问2详解】线段是线段、的比例中项，，或舍去，线段．【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．18.新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为．（1）图像数为的二次函数表达式为__________．（2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．【答案】（1）（2）见详解【解析】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：（1）根据新定义得到二次函数的解析式即可；（2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证.【小问1详解】解：图像数为的二次函数表达式为：.【小问2详解】解：“图象数”为的二次函数表达式为：.当时，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．19.某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角，测得该塔楼顶端处点A的仰角．点A、B、C、D、E都在同一平面内，求塔楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】塔楼的高度约为【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．延长，交于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得．【详解】解：如图，延长，交于点，由题意得：，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴，答：塔楼的高度约为．20.如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）请直接写出自变量的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或．【解析】【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（）联立函数解析式，求出点坐标，再由一次函数解析式得出点坐标，根据计算即可求解；（）根据函数图象即可求解；本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．【小问1详解】解：∵一次函数经过点，∴，∴，∴，∵反比例函数过点，∴，∴反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：联立函数解析式得，，解得或，∴，∵，∴；【小问3详解】解：由图象可得，当或时，．21.如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为．（1）求证：点是弧的中点；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理．（1）连接，证明，即可证明点是弧的中点；（2）连接，证明，列出比例式，计算即可．【小问1详解】证明：连接，∵，∴；∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点C是弧的中点；【小问2详解】解：连接，∵为的直径，∴；∵∴，∴，∵；∴，∴，∵，，∴，∴（舍去），故．22.如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接．（1）求证：．（2）若，求证：．（