江苏省南京市联合体2024-2025学年上学期八年级数学月考试卷

江苏省南京市联合体2024--2025学年上学期八年级数学月考试卷一、选择题（共16分）1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．图中的两个三角形全等，则∠α=（）A．72° B．60° C．58° D．50°3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一个锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．一条直角边和一个锐角分别相等4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则A．2 B．3 C．4 D．55．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP=2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1A．5 B．6 C．7 D．86．如图，在△AOB中，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点О出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（）A．∠OBD=120° B．OA//BD C．CB+BD=AB D．AB平分∠CAD7．如图，△AOB≌△ADC（∠O和∠D是对应角），∠O=90∘，若∠OAD=α，∠ABO=β．当BC∥OA时，α与A．α=β B．α=2βC．α+β=90∘ 8．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB交于点M，N，则一下结论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共20分）9．等腰三角形的一个外角的度数是80°，则它底角的度数为°．10．如图，点E、F在BC上，BF=CE，∠A=∠D．请添加一个条件，使11．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是12．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE=AD，∠CED=25°，则∠BAE=°．13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB＝9，AD＝6，则△AED的周长为．14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P+∠Q=度．15．在等腰△ABC中，AB=AC=8，点D，E分别是BC，AC边上的中点，那么DE=．16．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=11，AC=5，则BE=．

17．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为．18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则三、解答题（共64分）19．如图，在由长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：（1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A（2）在直线l上找出一点P，使得|PA−PC|的值最大；（保留作图痕迹，并标上字母P）（3）在直线l上找出一点Q，使得QA+QC20．如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．求证：△ABC≌△EAD．21．如图，E在AB上，∠A=∠B，AD=BE，AE=BC，F是CD的中点．（1）求证：EF⊥CD；（2）∠CEA=80°，∠B=60°，求∠ECD的度数．22．已知：如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AF=BE，AC=BD．请问BC和AD有怎样的关系？说明理由23．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，直线l经过点A，且与BC平行，请在直线l上作出所有的点Q，使得∠AQC=1（2）如图2，已知四边形ABCD，请用直尺和圆规在边BC上求作一点P，使∠APB=∠CPD（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）24．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=78°，求∠BCE的度数．25．已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，它的逆命题是个真命题（1）请写出逆命题和已知、求证逆命题：______．已知：______．求证：______．（2）用两种方法证明逆命题是真命题26．已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．（1）如图1，试说明CD=CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】轴对称图形2．【答案】C【知识点】全等三角形中对应角的关系【解析】【解答】解；因为图中的两个三角形全等，且∠α的对边为c，所以∠α=58°．故答案为：C．

【分析】根据全等三角形的对应角相等及对应边所对的角是对应角求解即可.3．【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定-HL【解析】【解答】解：A、符合SAS定理，根据SAS可以推出两直角三角形全等，故本选项错误；B、符合AAS定理，根据AAS可以推出两直角三角形全等，故本选项错误；C、符合HL定理，根据HL可以推出两直角三角形全等，故本选项错误；D、当一边是两角的夹边，另一个三角形是一角的对边时，两直角三角形就不全等，故本选项正确；故选D．【分析】直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据定理逐个判断即可．4．【答案】C【知识点】角平分线的性质5．【答案】A【知识点】三角形三边关系；轴对称的性质6．【答案】D【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质7．【答案】B【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质8．【答案】C【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；多边形内角与外角【解析】【解答】解：∵点P在∠AOB的角平分线上，∴∠AOP=∠BOP，如图所示，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点B，∴∠PEO=∠PFO=90°，PE=PF，OE=OF，∴在四边形PEOF中，∠EOF+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠MPN=180°，∴∠MPN=∠EPF，即∠MPE+∠EON=∠EON+∠NOF，∴∠MPE=∠NPF，∴△MPE≌△NPFSAS∴PM=PN，故①正确；由①正确可得，ME=NF，∴OM+ON=OE+EM+OF−NF=2OE=2OF，故②正确；由△MPE≌△NPF可得S△MPE∴S△MPE∴四边形PMON的面积是定值，故③正确；如图所示，连接EF，由上述结论可得，PM=PN，PE=PF，∠MPN=∠EPF，PM>PE，PN>PF，∴MN≠CD，即MN的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故答案为：C【分析】根据角平分线的性质可得∠AOP=∠BOP，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点B，则∠PEO=∠PFO=90°，PE=PF，OE=OF，再根据四边形内角和定理可得∠MPN=∠EPF，则∠MPE=∠NPF，再根据全等三角形判定定理可得△MPE≌△NPFSAS，则PM=PN，故①正确；再根据边之间的关系可判断②正确，根据全等三角形判定定理可得S△MPE=S△NPF，则S△MPE+S△EPO+S△OPN=S△EPO+S△OPN+S△NPF9．【答案】40【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质10．【答案】∠B=∠DEF（答案不唯一）【知识点】三角形全等的判定11．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【知识点】角平分线的判定【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，

再根据角平分线的判定定理可得，点P在∠BOA的角平分线上，

从而得到：PO为角平行线.

故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上【分析】根据题意可得，直尺宽度一样，从而得到点P到AO与BO的距离相等，再根据角平分线的判定定理可得，点P在∠BOA的角平分线，即可求证.12．【答案】50【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质13．【答案】15【知识点】等腰三角形的判定与性质14．【答案】45【知识点】正方形的性质15．【答案】4【知识点】三角形的中位线定理16．【答案】3【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质17．【答案】12.5【知识点】三角形全等及其性质18．【答案】9.6【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；等腰三角形的性质-三线合一【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∴AD垂直平分BC，∴BP=CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，如图所示．则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，∵S∴BQ=BC×AD故答案为：9.6．

【分析】根据三线合一得到AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，交AD于点P，这时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，利用面积法解答即可．19．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称20．【答案】见解析21．【答案】（1）见解析（2）40°【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS22．【答案】BC=AD，BC//AD，理由见解析【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS23．【答案】（1）见解析；（2）见解析【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线24．【答案】（1）见解析（2）26°【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线25．【答案】（1）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；已知：如图，△ABC中，CD是中线，且CD=12（2）见解析【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；逆命题26．【答案】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BDC是△ADC的一个外角，

∴∠BDC=∠A+∠ACD，

∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，

∴∠BDC=∠ACB，

∴∠ABC=∠BDC．

∴CD=CB；（2）解：①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，

∴∠CBE+∠ACB=90°，

设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，

∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，

∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−90°−α−90°−α=2α，

∴∠BCD=2∠CBE；

②∵∠BFD是△CBF的一个外角，

∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，

分三种情况：

当BD=BF时，

∴∠BDC=∠BFD=3α，

∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，

∴90°−α=3α，

∴α=22.5°，

∴∠A=∠BCD=2α=45°；

当DB=DF时，

∴∠DBE=∠BFD=3α，

∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，

∴90°−2α=3α，

∴α=18°，

∴∠A=∠BCD=2α=36°；

当FB=FD时，

∴∠DBE=∠BDF，

∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，

∴不存在FB=FD，

综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的综合；直角三角形的两锐角互余【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理结合等量代换得∠ABC=∠BDC，则等角对等边可得结论成立；（2）①由直角三角形两锐角互余得∠CBE+∠ACB=90°，由三角形内角和定理结合等腰三角形的性质知12∠BAC+∠ACB=90°，等量代换得②根据三角形的外角性质可得∠BFD=3∠CBE，然后分三种情况：当BD=BF时、当DB=DF时、当FB=FD时，利用等腰三角形的性质分别进行计算即可解答．（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC=∠A+∠ACD，∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，∴∠BDC=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．∴CD=CB；（2）解：①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠ACB=90°，设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−90°−α∴∠BCD=2∠CBE；②∵∠