土木工程结构设计

东南大学土木工程结构设计作业

如图所示，预应力混凝土两跨连续梁，截面尺寸bXh=350mmX

900mm,预应力筋线性布置如图所示（二次抛物线），且已知有效预

应力为1200kN（沿全长）。（9根直径为15.2mm低松弛1860级钢绞线）

混凝土的弹性模量为，（C40混凝土），抗拉强度。

（1）若作用60向下均布荷载（含自重），试计算此时跨中挠

度；

（2）若均布荷载增长到120（含自重），此时跨中挠度是否为60

均布荷载下跨中挠度的两倍？如恒载与可变荷载各为60,梁跨中

需要配HRB400钢筋的面积为多少？

1

l(XXX)+1(K)OO

单位：rr.m

1.预应力梁等效荷载法

由题意，预应力钢筋_8Np°ep,

qp__p-(1-1)

的轴线为二次抛物线，

则有效预加力NPe产

生一个与均布荷载作

用下梁的弯矩图相似

的弯矩图。预应力筋

的轴线为单波抛物线,

则有效预加力NPe在

单波抛物线内的梁中

将产生一个等效的均

布荷载qe,其值：

，pn.A+'pzi,B

epn(1-2)

ePn=2一+Cpn,m

为

该

抛

物

线

的

垂

度

即

单

波

抛

物

线

中

点

到

两

端

点

所

连

成

直

线

的

距

离,

即:

I为该抛物线在水平线上的投影长度。

对称结构选取单跨梁进行分析，其中，，，，，，代入式

(1-1)和式(1-2)，得：，o

作用在双跨连续梁上的等效均布荷载如图1-1所示。

q)=50.4KN/m

图i-i：双跨连续梁等效均布荷载图

2.连续梁弯矩

等效荷载qe及恒活荷载q均为作用在双跨连续梁上的均布荷载，计

算简图如图2.1所示，根据结构力学相关知识，对称双跨梁在对称

荷载作用下，可以等效为一半结构进行分析，约束可以简化为一端

简支、一端固定，如图2-2所示，其弯矩、剪力、支座反力及挠度如

下表2-1所列。

q

图2-1连续梁均布荷载计算简图

q

/\

7州7

图2-2等效计算

表2-1一端简支一端固定梁受均布荷载的反力、剪力、弯矩和挠度

荷,,.q,,।反力RA=RB~

载A!IIM

-warp剪力匕i=R/r%=-RR

「J-，

弯

矩/\

Mmax

R%=0.442/

/\扰度w

力~7777777777max=0.00542^

R

根据表2-1所列各式，在各均布荷载作用下，跨中截面及支座截

面的弯矩值计算如表2-2所示（不考虑活荷载的最不利布置，即满跨

布置均布活荷载）。

表2-2各均布荷载下跨中截面及支座截面弯矩值（kN-m）

荷载(kN/m)M/,kM2,kMmax,k

1qp=50.4315630354.375

29i,k=6037575()421.875

392,k~12°7501500843.75

4=60375750421.875

593,k=60375750421.875

对于使用等效荷载法分析后后张法预应力混凝土超静定梁，其综合

弯矩可以分为主弯矩和次弯矩两部分，其中，主弯矩为预加力

值与偏心距的乘积，次弯矩为综合弯矩减去主弯矩（也可理解为

由等效荷载作用下，中间支座反力所产生的附加弯矩）。预应力筋等

效弯矩法的综合弯矩图、主弯矩图、次弯矩图如图2.3至2-5所

/J''O

354.4315315_35^L4

630

图2-3预应力等效荷载的综合弯矩图（kN,m）

420420_

图2-3预应力等效荷载的主弯矩图（*乂〃?）

箫“"A)一八一7^77777777^A〃〃〃，”)

105105

210

图2-4预应力等效荷载的主弯矩Mp2图《M〃?）

3.裂缝控制验算

3.1.对于裂缝控制验算，应取支座及跨中最不利截面进行验算。由于

跨内最不利截面的位置及弯矩与多种因素有关，一般情况下，可

取跨中截面和荷载作用下的最大弯矩截面进行验算，即对支座

截面和跨中弯矩最大截面验算。

3.2.计算截面特性

矩形截面梁的截面几何性质如表3.1所列（不考虑后张法预应力

孔道对截面积及截面惯性矩的影响）。

表3-1矩形截面梁的截面几何性质

bxh.350mmx900mm

"315000mm2

12.12625xIO10mm4

”450mm

九

450mm

yc

3.3.验算裂缝控制等级

对于问题（1）、（2）,可定义三种不同的

荷载组合分别计算，荷载组合如表3-2所

zj\O

表3-2荷载组合

荷载组合荷载工况

组合1%+9\,k

组合29p+32,k

组合3+q3k+g3k

3.3.1.按荷载效应的标准组合

对于预应力混凝土梁，荷载效应的标准组合下抗裂验算边沿的

混凝土法向应力及扣除所有预应力损失后在抗裂度验算边沿的混

凝土预压应力计算公式如式(3・1)及式(3・2)所示(考虑到截面

积相对于预应力孔道面积及预应力筋的面积大的多，实际计算时用

I、A代替10、In、An计算)。

M

(1)中一MANIOC-k,2'yc

cko»=---~--------------

/0I

间支座

截面：

(3-1)

(2)Mk,max'乂卜,max,yt

2—^”一r~

跨中

截面：

(3-2)

Npe,VntNpe用口。〃。%*%

O=----1-----------七----1----------

梁的标准组合弯矩值为：，按荷载效应的标准组合时的抗裂等级

验算如表3-2所示,

________________________表3・2荷载效应标准组合抗裂等级验算________________________

组合截面，:仅%%k-%c(MPa)

______________(kNm)(MPa)(MPa)___________________

支座75015.8717.14-1.27<0,一级

组合1

跨中421.888.9311.31-2.38<0,一级

支座150031.7417.1414.6>ftk=3.0,三

级

组合2

跨中843.7517.8611.316.55>ftk=3.0,三

级

支座150031.7417.1414.6>ftk=3.0,三

级

组合3

跨中843.7517.8611.316.55>ftk=3.0,三

级

3.32按荷载效应的准永久组合

根据《建筑结构荷载规范》(GB50009-2023)表5.1.1,梁的活荷载

准永久值系数取为0.5。梁的准永久组合弯矩值为：，按荷载效应

的准永久组合时的抗裂等级验算如表3-3所示。

_______________________表3-3荷载效应准永久组合抗裂等级验算_______________________

组合截面£勺:鲁学叫一，(MPa、)

(kNm)(MPa)(MPa)

支座75015.8717.14-1.27<0,一级

组合1

跨中421.888.9311.31-2.38<0,一级

支座150031.7417.1414.6>ftk=3.0,三

级

组合2

跨中843.7517.8611.316.55>ftk=3.0,三

级

支座112523.8117.146.67>ftk=3.0,三

级

组合3

跨中632.8113.4011.312.09<ftk=3.0,三

级

4.对于裂缝控制等级为三级时，需要验算荷载标准组合的裂缝宽度

o根据《混凝土结构设计规范》(GB50010-2023)表3.4.5查环

境类别为二类a(一般环境)时预应力混凝土构件裂缝等级为三

级时的。

5.对荷载组合3,即恒活荷载各为60kN/m时，进行裂缝宽度的验

算。

6.正截面受弯承载力计算

当内力按弹性理论进行分析时，受弯承载力计算应考虑次弯矩

的作用，但次弯矩的荷载系数取为1.0(跨中截面处的应取处相

应次弯矩)。

对于正截面受弯承载力计算，应取支座截面和跨内最不利截面

进行计算。由于跨内最不利截面的位置及内力不易拟定，因此，在一

般情况下可取恒荷载作用下弯矩最大的截面进行计算(不考虑活荷载

的不利布置)。支座截面与跨中截面弯矩设计值计算公式为式(4-1)

及式(4-2)

(1)中

M〃i=L2M0k+l.4M"+l.OMp2

间支座

M

B2=L35Mg«+14X0.7Mqk+1.0Mp2(4-1)

截面：

MB=

(2)

maxi—l,2Mg/max+l,4Mq+l.0Mp2

跨中.

^max2~l.35Mgkma%+L4X0.7Mq/max+1.0Mp2(4-2)

截面：

Mmax-

各工况组合下，预应力梁的正截面弯矩设计值如下表4-1所列。

表4“各工况下预应力梁弯矩设计值(kV・〃?)

中间支座弯矩MB跨中弯矩Mmax

组合1-802.5648.23

组合2-18151217.81

组合3-17401175.64

6.1.中间支座截面

根据《混凝土结构设计规范》(GB50010-2023)，连续梁跨中截面

相关计算过程如表4・2所列(4取为4(而见与取为1()()〃〃〃,则近似取

h。=820mm)

表4-2各工况组合下预应力梁中间支座截面配筋计算

计算公式'组合1组合2组合3

MB(kN-m)-802.5-1815-1740

%(mm)820820820

MR

Ct—0.1780.4040.387

aj她：

0.1980.562)&二0.5180.525>^b=0.518

x=Cho162.36取匕汕产424.76取&取=424.76

MB-Apfpy(%-0.5。)

/I_/、-1407<039273301

fy(hos-0.5x)

A」mW673.31673.31673.31

4或258亚257生25

实配钢筋(mm2)

196434363436

6.2.跨中截面

跨中截面取距边支座处的截面进行计算，近似取，取，则可

取o计算过程如表4-3所示。

表4-3各工况组合下预应力梁跨中截面配筋计算

计算公式,组合1组合2组合3

MB(kN♦m)648.231217.811175.64

%(mm)820820820

a=---------0.1440.2710.262

4=T-2a、0.1560.3230.310

x=Cho127.92264.86254.20

MB-Apfpy(hop-05)

<0692494

fy(hos-0.5x)

Umm。673.31673.31673.31

3或2534253*25

实配钢筋(mm2)

147314731473

7.预应力混凝土受弯构件的变形验算

7.1.考虑长期影响时刚度B的计算

7.1.1.短期刚度B计算

对于组B$=O.85EJoy0.85Ec，/

合1,其

裂缝控

制等级

(5-1)

为一级，

即预应

力混凝

士受拉

区不出

现拉应

力，其短

期刚度

Bs计算

公式见

式(5・1),

对于组

合2和组

合3,其

裂缝控

制等级

为三级，

允许出

现裂缝，

其短期

刚度计

算公式

见式

(5-2)。

0.85EJ。0.85EJ

(5-2)

s—%+(l-%)3〜*+(1-kcr)a)

其中：

()

[120\

'=W+言小

(0.21\、

(o=1l+京(1+0.45〃)—0.7

注：1.矩形截面，=1.55,=0

2.矩形截面,h小于400取400mm,大于1600,取1600mmo

3.为纵向受拉钢筋配筋率，，其中对于灌浆后的后张

法，.

法，％=L°。

对于3种工况组合下梁的跨中截面短期刚度计算如下表5-1所列:

表5-1梁跨中截面短期刚度计算

计算过程组合1组合2组合3

裂缝控制等级一级三级三级

计算截面纵筋配筋率

9.491x10-39.491x10-39.491x10-3

/4P+4$

P=-^-

aE66

(1)

4.04.0

Y=(0.7+詈)y„,1.2922.192

Mk843.75843.75

Opc11.3111.31

(%c+"乩)%

心一Mk0.7060.706

%+(1-%)31.911.91

短期刚度(MN)5.874X10143.080X10143.080X1014

7.1.2.考虑长期荷载影响的刚度

对于预_____________D_______D

Bs

(0-l)Mq+MkMq+Mk,

应力梁，

取，

对于等

截面梁，

取处

弯矩计

算B和

(5-3)

挠度

f。考虑

荷载的

长期影

响下预

应力梁

的刚度

B的计

算如式

(5-3)

所示：

72计算长期挠度f

根据表q/

/max=0.00542—

2-1的连

续梁跨

中最大

挠度计

算公式，

对于长

期荷载

(5-4)

影响下

连续梁

的跨中

最大扰

度fmax

计算见

式(5-4)。

其中Qk为横荷载和活荷载按标准效应组合的梁线荷载。则三种组

合的长期扰度计算如表5-1所列。

表5-2计算长期扰度/

组合1组合2组合3

梁线荷载外(kN/rn)60120120

141414

短期刚度Bs(M〃2