4.数学归纳法-物理一轮微专题（思维篇）

专题四数学物理方法——数学归纳法一、数学知识复习1、等比数列的求和公式：2、等差数列设等差数列的公差为（1）通项公式：（2）求和公式：二、典例剖析1、（2025届湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高三下学期模拟预测（一）物理试题）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，P(－eq\r(2)L，0)，Q(0，－eq\r(2)L)为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是()A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间一定为eq\f(πm,2eB)B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为πLC．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程可能为πL或2πLD．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为eq\f(3πm,eB)2、（多选）（2025届陕西省西安高新第一中学高三上学期第六次模拟物理试题）10.水平绝缘桌面上有两个质量均为、相距的小物块M和N，两物块位于范围足够大的匀强电场内，其中物块M带有正电荷，电荷量为，物块N在M的右边，为绝缘体，不带电。电场强度大小为，方向与MN连线平行，且指向右方，如图所示。初始时物块N静止，M在外力的作用下也处于静止状态。M被释放后会与N发生一系列碰撞，若在碰撞过程中没有机械能损失和电荷交换，不计摩擦，则第9次碰撞前瞬间（）A.物块M的速度大小为B.物块M的速度大小为C.M与其初始位置间的距离为D.M与其初始位置间的距离为3、（2025届山西省太原市高三下学期一模考试物理试题）15.如图所示为三级火箭示意图，运载物的质量为，每一级燃料的质量均为m，燃料燃烧后喷出炽热高速气体。火箭从地面由静止发射，若不考虑空气阻力、重力的影响，燃料外壳质量不计。求：（1）假如火箭在点火加速阶段，尚未离开地面，在时间内，相对于地面以速度喷出质量为的气体，火箭在此阶段获得的平均推力的大小；（2）假如一次性把三级燃料燃烧后瞬间全部喷出，喷出的气体相对对于地面的速度为，运载物可获得速度的大小；（3）假如依次把每一级火箭的燃料燃烧后瞬间全部喷出，喷出的气体相对火箭的速度为，运载物可获得速度的大小为。根据的表达式，若把燃料总质量分为份（为正整数），依次把的燃料燃烧后瞬间喷出，喷出的气体相对火箭的速度为，若取到无穷大，则火箭最终可获得的理想最大速度为多大。（已知：，为正的常数，为正整数，当时，则）4、【2025届湖南名校教育联盟高三上学期12月大联考物理试题】14.图所示，水平放置的劲度系数为k的轻质弹簧右侧与墙壁连接，初始弹簧处于原长，水平面光滑且足够长，上面依次放有2024个质量均为2m的弹性物块（所有物块在同一竖直平面内），另有一个质量为m的0号物块在外力作用下将弹簧压缩后由静止释放，以速度与1号物块发生弹性正碰，0号物块反弹后再次压缩弹簧，在弹簧弹力作用下返回再次与1号物块发生弹性正碰，如此反复。所有物块均可视为质点，物块之间的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度为g，弹性势能表达式为，求：（1）0号物块第一次压缩弹簧后获得的速度大小以及2024号物块的最终速度大小；（2）2020号物块的最终速度大小；（3）从弹簧压缩至处将0号物块静止释放到最终所有物块都能稳定运动，整个过程中弹簧弹力的总冲量Ⅰ多大。（提示当q>1且n很大时，近似为0）5、【2024届湖南省长沙市长郡中学高三下学期模拟（二）物理试卷】15.喷气式汽车的尾部有一个喷射器，可向后连续喷射气体，依靠向后喷出高速气体的反冲，从而获得向前的推力。可简化为如图（a）所示模型，总质量为M的小车（包含小球），每次向后水平射出一个质量为m的小球。（1）若车静止在光滑的地面上，弹射器离地的高度为h，若此时小球以相对地面的速度v弹出，求小球落地瞬间与车的水平距离；（不计一切阻力，重力加速度为g）（2）若车静止在光滑的地面上，小球相对车以速度u向后弹出，求此次弹射需消耗多少化学能：（3）现车运行速度为v0，为使车停下，开启车前端的喷射器，向前喷出气体让车减速，可简化为如图（b）所示模型。总质量为M的车（含小球），每次相对车以u0向前水平弹射出一个质量为m的小球，同时为提高减速效率，在车弹出小球后的瞬间，马上与车前的一种“特殊物质”接触，“特殊物质”质量同为m，对地速度为零，“特殊物质”与车接触后马上被吸附在车上。之后车第二次向前弹射出小球，再吸附“特殊物质”……，忽略一切阻力，为使车停下或者速度反向，求车至少弹射小球的次数n。本问中取，。（可能用到的数据：，）6、【2025届陕西省宝鸡市高三上学期联考物理试题】15.如图所示，水平传送带以m/s的速度做逆时针运动，传送带左端与水平地面平滑连接，传送带与一固定的四分之一光滑圆弧轨道相切，物块a从圆弧轨道最高点由静止下滑后滑过传送带，与静止在水平地面右端的物块b发生弹性碰撞。已知物块a的质量kg，物块b的质量kg，两物块均可视为质点，圆弧轨道半径m，传送带左、右两端的距离m，物块a与传送带和水平地面间的动摩擦因数均为，物块b与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度m/s2，碰撞时间极短。求：（1）物块a第一次与物块b碰撞后瞬间，物块b的速度大小；（2）两物块最多能碰撞的次数及最终两者的距离。7、【2025届黑龙江省哈尔滨市东北三省精准教学高三上学期112月联考（一模）物理试题】15.如图所示，半径为R的竖直圆弧轨道与足够长的水平轨道平滑连接，水平轨道上有2024个大小相同的球从左往右依次编号排成一排，相邻两球间距均为R，1号球的质量为2m，2~2024号球的质量均为m。若将质量为2m的A球从圆弧轨道的最高点静止释放。所有球均视为质点，碰撞均为弹性碰撞，已知重力加速度大小为g，不计一切阻力。（1）求1号球与2号球第一次碰撞后1号球的速度大小；（2）若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出，F远小于1、2号球碰撞时的相互作用力），使1号球每次与2号球碰撞前的速度都和两球第一次碰撞前1号球的速度相等，直到1~2024号球速度第一次都相等时撤去外力，求ⅰ.外力F的大小；ⅱ.最终1号球与2024号球之间的距离。8、（2025届重庆市高三下学期高考模拟调研卷（六）物理试卷）15.如图所示，竖直平面的直角坐标系xOy中，以竖直向上为y轴正方向，在第一、四象限内充满沿+x方向的匀强电场，在第二、三象限内充满沿方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为的带电小球（可视为质点），从坐标原点O以初速度v0沿与+x轴夹45°角的方向射入第一象限。已知y轴左右两侧电场的场强大小均为，磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，忽略空气阻力。（1）求该小球从离开O点到第一次经过y轴所用的时间；（2）求该小球离开O点后，第三次经过y轴时纵坐标；（3）若该小球从O点以某一初速度沿与轴夹角的方向射入第三象限，且能再次回到O点，求所有满足条件的初速度大小。9、（2025届黑龙江省哈尔滨第三中学校高三下学期第二次模拟考试物理试题）15.如图所示，平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，右端连接有光滑倾斜轨道，导轨间距离为，导轨左侧接有电阻，区域与区域间存在竖直向上与竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为，与，与的距离均为。M导体棒质量为、N绝缘棒质量为，两棒垂直导轨放置，现N棒静止于与之间的某位置，M棒在边界静止，某时刻M棒受到水平向右的恒力作用下开始运动，已知，当运动到边界时撤去，此时M棒已经达到匀速运动。已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨左侧电阻和M棒接入导轨的电阻均为，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰撞之后N与M每次碰撞前M均已静止，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，求：（1）撤去时M棒速度大小；（2）从M棒开始运动到M棒第一次静止，整个过程中通过的电荷量；（3）自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小。10、（2023年湖北卷）15.如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。t=0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；（3）时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）11、【2025届甘肃省兰州市高三下学期诊断考试（一