导数的研究应用+函数最值2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的最值学习目标能利用导数求某些函数的在给定闭区间上函数的最大值、最小值体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系区别函数的极值和最大(小)值，借助于求函数的最大(小)值的运算，提升数学运算和直观想象素养函数最大值和最小值是如何定义的？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在

x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值.

一般地，设函数y=f(x)定义域为的I

，如果存在实数M满足：

（2）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在

x0∈I，使得f(x0)=m那么，称m是函数y=f(x)的最小值

.复习回顾复习回顾

定理

设点x=x0是函数y=f(x)的驻点.(1)若在点x0的左侧附近有f′(x)>0，而在的右侧附近有f′(x)<0，则函数

y=f(x)在x0处取得极大值；（左负右正）(2)若在点x0的左侧附近有f′(x)<0，而在的右侧附近有f′(x)>0，则函数

y=f(x)在x0处取得极小值；（左正右负）xyOf′(x)>0f′(x)<0极大值f(x0)xyOf′(x)<0f′(x)>0极小值f(x0)求可导函数f(x)极值的步骤：

(3)

把定义域划分为部分区间，并列成表格：

如果左负右正（左减右增），

那么f(x)在这个根处取得极小值即“谷底”

(2)b(1)复习回顾探究新知极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.极值仅考虑函数在某点附近的局部特征，最值反映了函数在定义域上整体的情况.函数的最大值和最小值统称为最值

.思考：函数在什么条件下一定有最值?

它们与函数极值的关系如何？极大值：f(x1)，f(x3)，f(x5)极小值：f(x2)，f(x4)，f(x6)2最大值：f(b)探究：观察函数f(x)在区间[a,b]上的极值和最值.最小值：f(x4)追问1：函数f(x)在区间(a,b)上是否有最值？只有最小值，为f(x4)，没有最大值.探究新知问题1

以下函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值吗？追问1什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？不是!Oxyaby=f(x)y=f(x)OxyabOxyaby=f(x)Oxyaby=f(x)在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.

在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值探究新知追问2：通过刚才得探究，你有哪些发现？在开区间(a,b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值，但在闭区间[a,b]上的连续函数必有最值.有时最值和极值是一致的，(如函数y=sinx)，但有时不一致.

探究新知追问3

如何结合函数的极值来求函数的最大（小）值呢？求最值的方法：

只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.

一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续曲线,它必有最大值和最小值.探究新知追问4

函数最值与极值有什么关系？1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个.3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值.小试牛刀例1已知

f(x)=－x2+6x－1，求函数y=f(x)在区间[0,7]上的最大值与最小值.解：对函数求导，得

f(x)=－2x+6，

令

f(x)=0，解得

x

=

3，

从而

x=

3为函数y=f(x)的唯一驻点.∵f(3)=8，f(0)=－1，f(7)=－8，∴f(3)>f(0)>f(7).因此，函数

y=f(x)在区间[0,7]上的最大值是8，最小值是－8，如图所示.小试牛刀例2

求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a,b)内的极值；②求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a),f(b)；③将函数f(x)在各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．方法总结解：x0(0,)(,2)2f′(x)f(x)巩固练习解：x

－4（－4，－3）－3（－3，3）3（3，4）4f′(x)f(x)巩固练习解：x－(－,2)2(2,3)3f′(x)f(x)巩固练习解：巩固练习1.知识清单：(1)函数最值的定义.(2)求函数的最值.(3)函数最值的应用.2.方法归纳：转化化归、分类讨论.3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.课堂小结所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π.√课堂小结3.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)A.有最值，但无极值

B.有最值，也有极值C.