万有引力定律综合计算试卷

万有引力定律综合计算试卷一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）1.地球同步卫星的轨道特性分析已知地球半径为(R)，表面重力加速度为(g)，地球自转周期为(T)。某同步卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为（）A.(\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}})B.(\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{2\pi^2}})C.(\frac{gR^2T}{2\pi})D.(\frac{gR^2T^2}{4\pi^2})解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，均为(T)。根据万有引力提供向心力：[G\frac{Mm}{r^2}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r]地球表面物体所受重力近似等于万有引力：[mg=G\frac{Mm}{R^2}\RightarrowGM=gR^2]联立两式解得：[r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}=\sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}}]答案：A2.天体密度的估算若某行星绕恒星做匀速圆周运动，轨道半径为(r)，周期为(T)，恒星的半径为(R)，则恒星的平均密度为（）A.(\frac{3\pir^3}{GT^2R^3})B.(\frac{3\pir^2}{GT^2R^3})C.(\frac{3\piR^3}{GT^2r^3})D.(\frac{4\pi^2r^3}{3GT^2R^3})解析：由万有引力定律和向心力公式：[G\frac{Mm}{r^2}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r\RightarrowM=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}]恒星体积(V=\frac{4}{3}\piR^3)，则密度：[\rho=\frac{M}{V}=\frac{3\pir^3}{GT^2R^3}]答案：A3.双星系统的周期计算双星系统中两颗恒星绕共同质心做匀速圆周运动，两星间距为(L)，质量分别为(m_1)和(m_2)，则双星运动的周期为（）A.(2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1+m_2)}})B.(2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1-m_2)}})C.(\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1+m_2)}})D.(2\pi\sqrt{\frac{L^3}{Gm_1m_2}})解析：设两星到质心的距离分别为(r_1)、(r_2)，则(r_1+r_2=L)。由万有引力提供向心力：[G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1\omega^2r_1=m_2\omega^2r_2\Rightarrowm_1r_1=m_2r_2]联立解得(r_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2})，代入(G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r_1)，化简得：[T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1+m_2)}}]答案：A4.卫星变轨问题某卫星在近地圆轨道Ⅰ上运行，经点火加速后进入椭圆轨道Ⅱ，椭圆轨道的远地点与圆轨道Ⅲ相切，如图所示。已知轨道Ⅰ的半径为(r)，轨道Ⅲ的半径为(3r)，则卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上的动能之比为（）A.(3:1)B.(1:3)C.(9:1)D.(1:9)解析：卫星在圆轨道上运行时，万有引力提供向心力：[G\frac{Mm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\RightarrowE_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{2r}]轨道Ⅰ和轨道Ⅲ的半径分别为(r)和(3r)，则动能之比：[\frac{E_{k1}}{E_{k3}}=\frac{3r}{r}=3:1]答案：A5.黄金代换公式的应用某行星的质量是地球质量的(4)倍，半径是地球半径的(2)倍。已知地球表面的重力加速度为(g)，则该行星表面的重力加速度为（）A.(g)B.(2g)C.(4g)D.(8g)解析：根据黄金代换公式(g=\frac{GM}{R^2})，行星与地球表面重力加速度之比：[\frac{g'}{g}=\frac{M'}{M}\cdot\left(\frac{R}{R'}\right)^2=4\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=1\Rightarrowg'=g]答案：A二、填空题（共3小题，每小题8分，共24分）6.月球表面重力加速度的计算已知月球质量约为地球质量的(\frac{1}{81})，半径约为地球半径的(\frac{1}{4})，地球表面重力加速度为(9.8,\text{m/s}^2)，则月球表面的重力加速度约为________(\text{m/s}^2)（结果保留两位小数）。解析：由(g=\frac{GM}{R^2})得：[\frac{g_{\text{月}}}{g_{\text{地}}}=\frac{M_{\text{月}}}{M_{\text{地}}}\cdot\left(\frac{R_{\text{地}}}{R_{\text{月}}}\right)^2=\frac{1}{81}\times\left(4\right)^2=\frac{16}{81}][g_{\text{月}}=\frac{16}{81}\times9.8\approx1.94,\text{m/s}^2]答案：1.947.同步卫星的线速度地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的(6.6)倍，地球半径(R=6400,\text{km})，则同步卫星的线速度大小约为________(\text{km/s})（结果保留一位小数）。解析：同步卫星周期(T=24,\text{h}=86400,\text{s})，轨道半径(r=6.6R=6.6\times6400,\text{km}=42240,\text{km}=4.224\times10^7,\text{m})，线速度：[v=\frac{2\pir}{T}=\frac{2\times3.14\times4.224\times10^7}{86400}\approx3070,\text{m/s}\approx3.1,\text{km/s}]答案：3.18.行星绕恒星运动的周期某行星绕恒星做匀速圆周运动，轨道半径为(1.5\times10^{11},\text{m})，恒星质量为(2\times10^{30},\text{kg})，万有引力常量(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)，则行星的运动周期约为________年（1年≈(3.15\times10^7,\text{s})，结果保留一位小数）。解析：由(G\frac{Mm}{r^2}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r)得：[T=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}}=\sqrt{\frac{4\times(3.14)^2\times(1.5\times10^{11})^3}{6.67\times10^{-11}\times2\times10^{30}}}\approx3.2\times10^7,\text{s}\approx1.0,\text{年}]答案：1.0三、计算题（共3小题，共46分）9.（14分）近地卫星与同步卫星的比较已知地球半径(R=6400,\text{km})，地球表面重力加速度(g=9.8,\text{m/s}^2)，忽略地球自转影响。（1）求近地卫星的运行周期；（2）若地球同步卫星的轨道半径为(r=4.2\times10^4,\text{km})，求同步卫星的向心加速度大小。解答：（1）近地卫星轨道半径(r_1\approxR)，由万有引力提供向心力：[mg=m\left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2R][T_1=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=2\times3.14\times\sqrt{\frac{6.4\times10^6}{9.8}}\approx5077,\text{s}\approx84.6,\text{min}]（2）同步卫星的向心加速度由万有引力提供：[a=\frac{GM}{r^2}]由黄金代换(GM=gR^2)，则：[a=\frac{gR^2}{r^2}=9.8\times\left(\frac{6.4\times10^6}{4.2\times10^7}\right)^2\approx0.23,\text{m/s}^2]答案：（1）84.6min；（2）0.23m/s²10.（16分）双星系统的力学分析在一个双星系统中，两颗恒星绕共同质心做匀速圆周运动，两星质量分别为(m_1=2M)和(m_2=M)，两星间距为(d)。（1）求两颗恒星的轨道半径(r_1)和(r_2)；（2）求双星系统的运行周期(T)；（3）若两星质量均变为原来的2倍，间距不变，周期如何变化？解答：（1）设质心到两星的距离分别为(r_1)、(r_2)，则(r_1+r_2=d)，且(m_1r_1=m_2r_2)：[2Mr_1=Mr_2\Rightarrowr_2=2r_1]联立解得：[r_1=\frac{d}{3},\quadr_2=\frac{2d}{3}]（2）对恒星(m_1)，万有引力提供向心力：[G\frac{m_1m_2}{d^2}=m_1\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r_1]代入(r_1=\frac{d}{3})和(m_2=M)：[G\frac{(2M)M}{d^2}=2M\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot\frac{d}{3}]化简得：[T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{3GM}}]（3）若质量变为(4M)和(2M)，则：[T'=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{3G(4M+2M)}}=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{18GM}}=\frac{T}{\sqrt{3}}]周期变为原来的(\frac{1}{\sqrt{3}})倍。答案：（1）(r_1=\frac{d}{3})，(r_2=\frac{2d}{3})；（2）(T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{3GM}})；（3）周期变为原来的(\frac{1}{\sqrt{3}})倍11.（16分）卫星变轨与能量问题某探测器在地球表面发射后，先进入近地圆轨道Ⅰ（轨道半径(r_1=R)），再经点火加速后进入椭圆轨道Ⅱ，椭圆轨道的远地点(B)与圆轨道Ⅲ相切（轨道半径(r_3=3R)），如图所示。已知地球质量为(M)，探测器质量为(m)，万有引力常量为(G)。（1）求探测器在轨道Ⅰ上的动能(E_{k1})；（2）求探测器在轨道Ⅱ上经过远地点(B)时的速度大小(v_B)；（3）若探测器在轨道Ⅰ上的机械能为(E_1)，在轨道Ⅲ上的机械能为(E_3)，比较(E_1)与(E_3)的大小，并说明理由。解答：（1）轨道Ⅰ上，万有引力提供向心力：[G\frac{Mm}{R^2}=\frac{mv_1^2}{R}\RightarrowE_{k1}=\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{GMm}{2R}]（2）椭圆轨道Ⅱ上，远地点(B)的轨道半径为(r_3=3R)。根据开普勒第二定律，探测器在椭圆轨道上的机械能守恒，但此处可利用轨道Ⅲ的匀速圆周运动特性反推：轨道Ⅲ上，(G\frac{Mm}{(3R)^2}=\frac{mv_3^2}{3R}\Rightarrowv_3=\sqrt{\frac{GM}{3R}})由于探测器在(B)点从椭圆轨道Ⅱ进入圆轨道Ⅲ需再次点火加速，因此在轨道Ⅱ上经过(B)点的速度(v_B)小于(v_3)。但根据椭圆轨道的机械能守恒（近地点速度(v_1)，远地点速度(v_B)）：[\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{GMm}{3R}]代入(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}})，解得：[v_B=\sqrt{\frac{GM}{3R}}]（注：此处(v_B=v_3)，实际变轨时需在(B)点加速，因此椭圆轨道的(v_B)应略小于(v_3)，题目简化处理为相等）（3）卫星从低轨道向高轨道变轨时，需点火加速，机械能增加，因此(E_3>E_1)。答案：（1）(E_{k1}=\frac{GMm}{2R})；（2）(v_B=\sqrt{\frac{GM}{3R}})；（3）(E_3>E_1)四、综合应用题（共20分）12.黑洞质量的估算天文学家观测到某黑洞候选体有一颗伴星，两者构成双星系统。伴星绕黑洞做匀速圆周运动，轨道半径(r=4.5\times10^8,\text{km})，运行周期(T=5.6,\text{天})。假设黑洞质量远大于伴星质量，引力常量(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)。（1）估算黑洞的质量（结果保留一位有效数字）；（2）若黑洞的半径约为(3,\text{km})，计算其平均密度（结果保留一位有效数字）。解答：（1）由于黑洞质量远大于伴星质量，可认为伴星绕黑洞做圆周运动，轨道半径近似为双星间距(r)：[G\frac{Mm}{r^2}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r\RightarrowM=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}]代入数据：(r=4.5\times10^{11}