乘法结合律和交换律（四年级下册数学青岛版）深度探究教学设计

乘法结合律和交换律（四年级下册数学青岛版）深度探究教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）教学内容分析

本课“乘法结合律和交换律”隶属于小学四年级下册数学“运算律”这一核心领域，是学生系统学习数学运算定律的深化与拓展阶段。在此之前，学生已经掌握了加法的交换律和结合律，并对乘法的意义有了深刻理解，能够熟练进行多位数乘法计算。本课内容不仅在知识体系上起到了承上启下的作用，更是学生从仅关注计算结果的“算术思维”向关注运算过程与结构的“代数思维”跨越的关键一步【重要】。乘法交换律揭示了乘法运算中因数的位置无关性，而乘法结合律则揭示了运算顺序的无关性，二者共同构成了乘法运算的基本性质，不仅是进行简便计算的理论依据，更是后续学习乘法分配律、小数乘法、分数乘法乃至整式乘法运算的基础，在整个数学学习中具有举足轻重的地位【非常重要】。

（二）学情分析

四年级的学生正处于由具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期。他们已经积累了大量的乘法计算经验，对于“交换因数位置积不变”这一现象其实早有朦胧的感知，但尚未形成明确的规律性认识。对于结合律，学生可能在口算如25×7×4时，会不自觉地先将25和4相乘，但这只是一种朴素的操作技巧，并未上升到定律的高度。因此，本课的教学设计不应是简单的结论灌输，而是要利用学生已有的“前数学经验”，通过创设富有挑战性的问题情境，引导他们经历“观察发现—提出猜想—举例验证—归纳总结—符号表达—应用拓展”这一完整的科学探究过程，从而将零散的感性经验升华为系统的理性认识【热点】。

（三）设计理念

本设计秉持“学为中心”与“素养导向”的理念，将数学学习定位为一场“再创造”的旅程。教师不再是知识的权威发布者，而是探究火种的点燃者与思维爬坡的支架提供者。课堂将通过真实的生活情境驱动学生产生真实的数学问题；通过核心问题链引导学生进行深度思考与合作交流；通过多维度的验证活动，让学生感悟数学规律的严谨性与普适性；通过分层递进的练习，让不同的学生在数学上得到不同的发展。最终，不仅让学生掌握“是什么”和“怎么用”，更要让他们领悟“为什么这样”以及“还能怎样”，从而在知识习得的过程中，同步提升其观察、比较、抽象、概括以及符号化表达的数学核心素养【基础】。

二、教学目标定位

（一）知识与技能目标

1、学生通过观察、计算、比较，能够用自己的语言准确地描述乘法交换律和结合律，并能用字母表达式a×b=b×a和(a×b)×c=a×(b×c)进行规范表示。

2、学生能够识别并判断具体情境或算式中是否应用了乘法交换律或结合律。

3、学生能够初步运用乘法交换律和结合律对一些算式进行简便计算，体会运算律的实用价值。

（二）过程与方法目标

1、学生经历“猜想—验证—结论”的探究过程，学习举例验证这一基本的数学研究方法，培养初步的合情推理能力。

2、通过观察、比较、分析三组算式，引导学生发现并归纳规律，培养抽象概括能力。

（三）情感态度与价值观目标

1、在探究活动中，让学生感受数学规律的确定性和简洁美，激发学习数学的兴趣和求知欲。

2、通过小组合作、交流质疑，培养学生的团队协作精神和勇于探索、严谨求实的科学态度。

三、教学重难点与关键

（一）教学重点

引导学生通过观察、比较、举例，探索并发现乘法交换律和结合律，理解其内涵，并能用字母表示。

（二）教学难点

1、乘法结合律的探索过程。与交换律相比，结合律涉及三个数的运算顺序变化，较为抽象，学生不易自发地从“计算方法不同”联想到“运算顺序不同，但结果相同”的规律。

2、区分乘法结合律与乘法交换律的不同功用，尤其是在简便计算中能灵活、正确地运用【难点】。

（三）教学关键

提供丰富、典型且具有结构性的素材，创设认知冲突，引导学生经历完整的“举例验证”过程，感悟规律发现的严谨性。

四、教学准备

（一）教师准备：多媒体课件（PPT）、探究学习单（每人一份）、实物投影仪。

（二）学生准备：预习课本、草稿纸。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒经验，迁移猜想（约5分钟）

1、复习导入，搭建桥梁

教师在课件上快速呈现一组口算题：25×4=、125×8=、5×24=。

学生快速抢答，教师追问：“为什么算得这么快？”引导学生回忆起这些是“好朋友数”，相乘能得到整百、整千的数。

2、回顾旧知，引出猜想

教师出示一道加法算式：12+17+8。提问：“怎么算更简便？运用了什么运算律？”

学生回答后，教师顺势引导：“看来，在加法王国里，交换律和结合律是我们做计算的好帮手。那么，在乘法王国里，是否也存在着类似的‘交换律’和‘结合律’呢？如果有，它们又会隐藏着怎样的奥秘呢？”（板书课题部分内容：乘法交换律？结合律？）

【设计意图】从学生熟悉的“凑整”口算和加法定律入手，利用知识的正迁移效应，唤醒学生的已有经验，并自然地引出本课的核心研究问题，激发学生的探究欲望。

（二）创设情境，初步感知（约8分钟）

1、呈现素材，收集信息

课件出示青岛版教材“快乐农场”情境图：购进花土和花肥的记录单。

教师：“农场主正在为春天的种植做准备，我们一起来看看他的采购清单。从图中，你读到了哪些数学信息？”（花土20袋，每袋25包，每包2千克；花肥10袋，每袋8包，每包5千克）

2、聚焦问题，列式求解

教师：“根据这些信息，你能提出一个用连乘法解决的数学问题吗？”预设学生提出“一共购进了多少千克花土？”和“一共购进了多少千克花肥？”。

教师选取第一个问题进行重点研究：“要解决‘一共购进了多少千克花土？’，请同学们尝试列出一个综合算式，并在小组内说说你先算什么，再算什么。”

3、算法交流，初步感知

学生汇报，教师板书两种典型算法：

算法一：先算每袋花土多少千克，再算20袋花土多少千克。(2×25)×20=50×20=1000（千克）

算法二：先算一共有多少包花土，再算这些花土的总质量。2×(25×20)=2×500=1000（千克）

教师引导学生观察这两个算式：“它们的算式不同，计算顺序不同，但结果怎样？可以用什么符号连接？”

学生回答后，板书：(2×25)×20○2×(25×20)。引导学生填入“=”。

【设计意图】依托教材情境，让学生在解决实际问题的过程中，自然而然地生成两种不同的解题思路，从而引出两组数字、运算符号完全相同但运算顺序不同的算式，为下一步观察发现规律提供了具体的、感性的素材【基础】。

（三）观察比较，提出猜想（约5分钟）

1、丰富素材，加深印象

教师：“刚才我们研究了花土的问题，现在请你们用同样的方法，独立解决‘一共购进了多少千克花肥？’并列出两种不同的综合算式。”

学生独立列式计算，然后汇报交流。教师根据学生回答板书：

(5×8)×10=40×10=400（千克）

5×(8×10)=5×80=400（千克）

板书：(5×8)×10○5×(8×10)，引导学生填入“=”。

2、聚焦观察，发现共性

教师指着黑板上的两组等式，提出核心问题：“请同学们仔细观察这两组算式，左边和右边有什么相同的地方？有什么不同的地方？把你的发现在小组里说一说。”

学生通过小组讨论，会逐步发现：

相同点：两个等式都是三个数相乘；左右两边的三个因数完全相同；左右两边的计算结果也完全相同。

不同点：运算顺序不同（左边都是先把前两个数相乘，再乘第三个数；右边都是先把后两个数相乘，再乘第一个数）。

3、鼓励猜想，提炼规律

教师顺势引导：“看来，三个数相乘，无论我们先算前两个数，还是先算后两个数，积竟然不变。这仅仅是我们从这两组算式中发现的巧合，还是乘法运算中普遍存在的一个规律呢？你能大胆地提出一个猜想吗？”【热点】

学生尝试用自己的语言说出猜想：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。

【设计意图】通过引导学生对两组等式进行横向比较，提炼出它们的共性特征，并鼓励学生将这种共性的发现用语言表达出来，从而完成从具体事例到一般猜想的第一次抽象。这是培养学生合情推理能力的关键一步。

（四）举例验证，构建模型（约15分钟）【非常重要】

1、明确验证必要性

教师：“数学是一门非常严谨的学科，仅仅通过一两个例子就得出结论是远远不够的。我们刚才提出的猜想，还需要经过大量的验证。只有经过验证，它才能从‘猜想’升级为‘规律’。”

2、提出验证要求

教师出示“探究学习单”，并提出验证要求：

“请同学们以小组为单位，每个人都来举出几个三个数相乘的例子。先算一算按照第一种顺序（前两个数先乘）的结果，再算一算按照第二种顺序（后两个数先乘）的结果。看看它们是否真的相等。”

温馨提示：为了确保结论的可靠性，我们举的例子既要包括像2、3、5这样的小数，也要包括像123、456这样的大数；既要有整数，也可以考虑特殊数如1和0。

3、学生自主验证，教师巡视指导

学生分组活动，在练习本上举例验证。教师巡视，选取不同层次的典型例子准备展示。例如：

普通数：(3×6)×5=90，3×(6×5)=90。

较大数：(12×25)×4=300×4=1200，12×(25×4)=12×100=1200。

特殊数：(1×25)×8=200，1×(25×8)=200；(0×9)×3=0，0×(9×3)=0。

4、汇报交流，强化结论

教师利用实物投影仪展示学生的验证例子，并追问：“有谁举出的例子是不相等的吗？”（学生必然回答“没有”）

教师总结：“看来，无论我们举什么样的例子，这个猜想都是成立的。因此，我们的猜想是正确的！这是一个经得起推敲的、普适性的数学规律。”

5、命名规律，符号表达

教师：“这个规律，就是我们今天要学习的第一个重要内容——乘法结合律。”（板书：乘法结合律）

教师：“我们能不能用更简洁、更抽象的符号来表示这个规律呢？如果用字母a、b、c分别表示这三个因数，你能写出乘法结合律吗？”

引导学生尝试用字母表示，最终板书：

(a×b)×c=a×(b×c)

强调：这里的“结合”就是指运算过程中，后两个因数“结合”起来先乘，或者前两个因数“结合”起来先乘，它们的结果是相等的。

【设计意图】此环节是本课的重中之重。通过明确的验证指令，让学生亲历“举例验证”的全过程，这不仅是对猜想的检验，更是对严谨科学态度的熏陶。从大量个别例子中归纳出普遍规律，并最终用字母进行符号化表达，实现了从特殊到一般、从具体到抽象的思维飞跃，有力地培养了学生的归纳思想和符号意识【非常重要】。

（五）类比迁移，自主探索（约7分钟）

1、引发新思，类比猜想

教师：“刚才我们通过猜想、验证，成功地发现了乘法结合律。回顾我们最初的问题，乘法王国里除了结合律，还有类似加法交换律的‘乘法交换律’吗？谁来说说，你认为什么是乘法交换律？”

学生根据加法定律和乘法计算的经验，很容易猜出：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

2、自主验证，巩固方法

教师：“有了刚才研究结合律的经验，你们觉得要验证‘乘法交换律’的正确性，我们需要怎么做？”

引导学生说出：需要大量举例验证。

教师：“请大家立刻在小组内开始验证，看看这个关于交换律的猜想是否成立。”

学生迅速举例验证，如：25×4=100，4×25=100；125×8=1000，8×125=1000；36×42与42×36等。

3、总结规律，对比辨析

学生汇报验证结果，教师板书结论：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。这叫乘法交换律。（板书：乘法交换律）

引导学生用字母表示：a×b=b×a。

教师追问：“同学们，仔细观察，乘法交换律和结合律有什么不同？交换律只涉及两个数的位置交换，而结合律涉及三个数的运算顺序改变。但在实际计算中，它们常常是同时起作用的。”

【设计意图】有了探索结合律的成功体验和方法积淀，乘法交换律的发现可以大胆放手，让学生通过知识的正迁移，独立完成猜想、验证、总结的全过程。这不仅提高了课堂效率，更让学生体验到学以致用、举一反三的成就感，进一步巩固了数学探究的基本范式。

（六）分层练习，内化应用（约10分钟）【高频考点】

1、基础练习：对号入座

（1）出示一组算式，让学生判断分别运用了什么运算律。

如：25×17×4=25×4×17（乘法交换律）

(15×4)×10=15×(4×10)（乘法结合律）

125×(8×13)=(125×8)×13（乘法结合律）

23×5×2=23×(5×2)（乘法结合律）

【设计意图】通过辨析，帮助学生清晰地区分交换律（移动位置）和结合律（改变运算顺序），加深对定律本质的理解。

2、应用练习：简便计算

课件出示：25×17×4125×7×8

学生独立尝试简便计算，并请学生上台板演，说清楚每一步运用了什么运算律。

重点引导学生发现：25×17×4=25×4×17（先交换），体现了交换律让“好朋友数”先凑到一起的优越性；125×7×8=7×(125×8)（既交换又结合），体验运算律联用的便捷。

【设计意图】此环节是教学的重点应用，让学生在计算实践中真切感受到运算律在简化计算中的巨大价值，培养简算意识和灵活运用定律的能力【重要】。

3、拓展练习：一题多解

出示：125×48

教师：“这个算式能运用今天的知识进行简便计算吗？”引导学生思考：48可以看成8×6，那么125×48=125×(8×6)=(125×8)×6=1000×6=6000。

【设计意图】打破学生定式思维，让学生看到，运算律不仅可以正向运用“凑整”，也可以逆向运用“拆分”，为后续学习乘法分配律埋下伏笔，拓展学生的思维广度。

（七）回顾整理，反思提升（约3分钟）

教师引导学生回顾本节课的学习历程：“同学们，回想一下，今天我们是如何发现乘法运算中的这些奥秘的？”

师生共同梳理学习路径：具体情境（发现问题）→观察比较（提出猜想）→举例验证（检验猜想）→归纳总结（得出规律）→符号表达（抽象建模）→实际应用（解决问题）。

教师总结：“这就是数学家发现数学规律常用的方法。希望同学们能将这把‘探究的金钥匙’运用到今后的学习中去，去发现更多数学王国的宝藏。”

【设计意图】学习方法