中考数学专题复习“PA+kPB”最值探究 学案

一、引言：最值问题的“拦路虎”与“金钥匙”在中考数学的舞台上，最值问题始终是一块重要的“试金石”，它不仅考查同学们对几何图形性质的理解，更考验大家运用数学思想方法解决实际问题的能力。其中，形如“PA+kPB”（P为动点，A、B为定点，k为常数）的线段和最值问题，常常因其灵活性和综合性，成为不少同学心中的“拦路虎”。这类问题并非无章可循，只要我们能够准确识别模型，巧妙转化线段，就能找到开启“最值之门”的“金钥匙”。本学案将带领大家深入探究“PA+kPB”型最值问题的常见类型、解题策略与思想方法，希望同学们通过本次专题复习，能够对此类问题有一个系统且深刻的认识，并能熟练运用所学知识解决实际问题。二、知识回顾：我们已有的“武器库”在攻克“PA+kPB”最值问题之前，让我们先回顾一些与之相关的基础知识和基本模型，它们是我们解决复杂问题的“弹药”。1.两点之间，线段最短。这是解决所有路径最短问题的根本依据。2.垂线段最短。点到直线的距离，垂线段最短。3.轴对称的性质（“将军饮马”模型）。通过对称变换，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最值。4.三角形三边关系。三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。5.勾股定理与三角函数。用于计算线段长度或进行线段间的比例转化。6.相似三角形的性质。利用相似比进行线段的等比代换。三、核心探究：“PA+kPB”模型的破解之道“PA+kPB”型问题的核心在于如何处理那个系数k。当k=1时，我们可以直接利用“将军饮马”等模型解决。当k≠1时，则需要通过巧妙的几何变换，将kPB转化为一条新的线段，从而将问题转化为我们熟悉的“PA+PB'”型问题（其中PB'=kPB），再利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”来求解。（一）“胡不归”模型——当k为锐角三角函数值时（通常k<1）1.模型引入与思想方法问题情境：相传，从前有个小伙子从家A出发到边关B去打仗，途中要经过一片沙地（如图1所示）。已知他在平地上的速度为v1，在沙地上的速度为v2（v1>v2）。为了尽快到达边关，他应该选择怎样的路径？这个问题的本质就是求AP/v2+PB/v1的最小值（其中P为分界线上一点）。若将速度关系转化为时间关系，设平地速度为1，沙地速度为k（k<1），则问题可简化为求PA+(1/k)PB的最小值，这与我们要研究的“PA+kPB”形式相似（只是k的位置不同，思想相通）。核心思想：构造直角三角形，利用锐角三角函数，将含系数k的线段kPB转化为另一条线段PC，使得PC=kPB，从而将“PA+kPB”转化为“PA+PC”，再利用“两点之间线段最短”找到最小值点。2.模型特征与关键步骤*特征：*动点P在一条直线上运动（我们称之为“基准线”）。*有一个定点B在基准线的一侧。*系数k是一个小于1的正数，通常与某个特殊角的三角函数值相关（如1/2,√2/2,√3/2等）。*关键步骤：1.确定基准线：明确动点P的运动轨迹直线。2.构造角：过定点B作一条射线，使其与基准线所成的锐角θ满足sinθ=k(或cosθ=k，视具体情况而定，目标是用三角函数表示k)。3.作垂线，实现转化：过动点P作该射线的垂线，垂足为C，则PC=PB·sinθ=kPB。4.化折为直：连接AC，AC与基准线的交点即为所求的点P，此时PA+kPB=PA+PC≥AC，AC的长度即为最小值。3.典例精析例题1：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是边BC上的一动点，连接AP，求AP+√2PB的最小值。分析：*动点P在直线BC上运动（基准线）。*目标式为AP+√2PB，k=√2>1。哎？这与我们刚才说的k<1不符。别急，可以将式子变形为：√2((AP)/√2+PB)，此时(AP)/√2可看作k'·AP，k'=1/√2=√2/2<1。或者，我们也可以将√2PB视为“k·PB”，此时k=√2，思考能否构造一个角的三角函数值为1/k=√2/2。*考虑到√2/2是45°角的正弦或余弦值。解法：*因为要求AP+√2PB的最小值，我们可以将其看作AP+(1/(√2/2))PB。考虑到√2/2=sin45°=cos45°。*过点B作一条射线，使得它与BC的夹角为45°，且在BC的下方（因为P在BC上，要构造有效转化）。*过点P作这条射线的垂线，垂足为D。则在Rt△PBD中，PD=PB·sin45°=PB·(√2/2)，所以√2PB=2PD。*这样，AP+√2PB=AP+2PD。嗯？好像还不是我们想要的“PA+PC”。看来刚才的变形思路可能更顺畅。*换个思路：将AP+√2PB=√2((AP)/√2+PB)。设(AP)/√2=PE，则PE=AP·(1/√2)=AP·cos45°。*过点A作一条射线AE，使得∠CAE=45°，过点P作AE的垂线，垂足为E。则PE=AP·cos45°=AP/√2。*所以原式=√2(PE+PB)。要求原式的最小值，即求PE+PB的最小值。*此时，点E、P、B构成折线，P在BC上运动。PE+PB的最小值就是点B到射线AE的最短距离。*过点B作AE的垂线，交AE于点E'，交BC于点P'。则此时(PE+PB)min=BE'。*接下来计算BE'的长度。（具体计算过程略，可利用三角形面积或解直角三角形）*最终可求得AP+√2PB的最小值。（*此处应有配图辅助理解，图2及解题辅助线图*）反思与总结：“胡不归”模型的关键在于根据k的值（或其倒数）找到对应的锐角三角函数值，从而构造合适的直角三角形进行线段转化。当k>1时，可以通过提取系数等方式将其转化为k'<1的情形。（二）“阿氏圆”模型——当k为两线段长度之比时（构造母子型相似）1.模型引入与思想方法问题情境：已知平面上两点A、B，求所有使得PA/PB=k（k≠1）的点P的轨迹。这个轨迹是一个圆，由古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现，故称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”。在中考中，我们遇到的“PA+kPB”型最值问题，如果动点P在一个定圆上运动，并且k是这个定圆的半径与某条定线段的比值，那么就可以考虑利用“阿氏圆”的性质，通过构造相似三角形，将kPB转化为另一条线段PC，从而将问题转化为“PA+PC”的最小值问题。核心思想：构造以“阿氏圆”的圆心O为顶点的母子型相似三角形，利用相似比k，将kPB转化为PC（其中C为定点），进而将“PA+kPB”转化为“PA+PC”，再根据“两点之间线段最短”求出最小值（或根据“三角形三边关系”求最大值）。2.模型特征与关键步骤*特征：*动点P在一个定圆⊙O上运动。*存在一个定点B和定圆⊙O的半径r，以及另一个定点（或可求的点）A。*系数k=r/OB（或k=OB/r，取决于相似比的构造方向）。*关键步骤：1.识别“阿氏圆”：确定动点P的轨迹是定圆⊙O，半径为r。2.寻找“特征比”k：确定k的值，看是否满足k=r/m（m为某个定点到圆心O的距离，通常是OB）。3.构造“母子型相似”：在OB（或其延长线）上取一点C，使得OC/OP=OP/OB=k(因为OP=r，所以OC=k·OP=k·r，又k=r/OB，所以OC=r²/OB)。从而△OPC∽△OBP（SAS）。4.线段转化：由相似三角形性质得PC/PB=k，即PC=kPB。5.化折为直：则“PA+kPB”=“PA+PC”。当A、P、C三点共线且P在A、C之间时，PA+PC取得最小值AC；当A、C、P三点共线且C在A、P之间时，PA-PC取得最大值AC（视具体题目要求）。3.典例精析例题2：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点O是BC的中点，以O为圆心，OB为半径作圆。点P是⊙O上的一个动点，连接AP，求AP+(1/2)PC的最小值。分析：*动点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动。OB=OC=1.5（因为O是BC中点，BC=3），所以圆的半径r=1.5。*目标式为AP+(1/2)PC。这里k=1/2。我们看是否满足k=r/OC？r=1.5，OC=1.5，r/OC=1，不是1/2。那k=OC/r呢？也是1。换个思路，看PC前面的系数是1/2，P在圆O上，OP=r=1.5。能否构造一个以OP为公共边的相似三角形，使得PC的对应边是OP的一半？或者OP的对应边是PC的一半？解法：*已知OP=1.5（半径），OC=1.5。目标是(1/2)PC。设(1/2)PC=PD，则PD/PC=1/2。*我们希望构造△POD∽△PCO，使得PD/PC=PO/PC=OD/OC=1/2。*若PD/PC=PO/PC，这显然不成立。应该是PD/PO=PO/PC=1/2。*即PO/PC=1/2，则PC=2PO=3。但PC是动点P到定点C的距离，在圆上运动时PC长度会变化，此路不通。*换为PD/PO=PO/PC=OD/OC=k。设k=1/2，则PO/PC=1/2→PC=2PO=3。OD/OC=1/2→OD=(1/2)OC=(1/2)*1.5=0.75。*所以，在OC上取点D，使得OD=0.75。此时OD/OP=0.75/1.5=1/2，OP/OC=1.5/1.5=1。不相等。*关键：圆心是O，半径是OP=OB=OC=1.5。目标式中的线段是PC。我们要找的是“定点”B，使得k=OP/OB。这里，如果把C看作“B”，那么OB就是OC=1.5，k=OP/OC=1.5/1.5=1。但题目中是(1/2)PC。所以，我们要构造的是(1/2)PC=PD，即PD=kPC，k=1/2。那么，应该是寻找一点D，使得PD/PC=1/2，且△POD∽△PCO。*因此，PD/PC=OD/OC=OP/PC？不，相似三角形对应边成比例，应该是OD/OC=PD/PC=OP/PO？不对，公共角是∠PCO（即∠POD）。所以，若△POD∽△PCO，则∠POD=∠PCO，∠OPD=∠CPO。对应边：OD/OC=PD/PC=OP/PO。OP/PO=1，所以PD/PC=1，OD/OC=1，还是回到了k=1。*哦！应该是构造以O为顶点的相似三角形，而不是以C为顶点。即△POC∽△DOP。*设(1/2)PC=PD，则PC=2PD。希望△POC∽△DOP，那么OP/OD=OC/OP=PC/PD=2。*因为OP=1.5，OC=1.5，所以OP/OD=2→OD=OP/2=1.5/2=0.75。OC/OP=1.5/1.5=1，不等于2。所以这个比例不成立。*再仔细想想：AP+(1/2)PC。我们要把(1/2)PC转化为某条线段。设Q为某个定点，则(1/2)PC=PQ，即PQ/PC=1/2。根据阿氏圆的定义，到两定点距离之比为定值的点的轨迹是阿氏圆。这里P在⊙O上，若Q、C是定点，PQ/PC=1/2，则P的轨迹是阿氏圆。反过来，已知P在⊙O上，能否找到这样的Q？*阿氏圆的圆心O在直线QC上，且OQ/OC=(PQ/PC)²=(1/2)²=1/4？或者OQ/OC=PQ/PC=1/2。阿氏圆半径r²=OQ·OC。*已知⊙O的半径r=1.5，OC=1.5。设OQ=x，若P的轨迹是关于Q、C的阿氏圆，且PQ/PC=1/2，则r²=OQ·OC→(1.5)²=x·1.5→x=1.5。即OQ=1.5，OC=1.5，所以Q与O重合？那么PQ/PC=PO/PC=1.5/PC=1/2→PC=3。当PC=3时，P点在圆上的位置是固定的（此时P在BC延长线上，距离C为3），但P是动点，显然Q不能与O重合。*回到题目：AP+(1/2)PC。点O是BC中点，BC=3，所以OB=OC=1.5=3/2，圆O半径为3/2。我们考虑(1/2)PC=(PC)*