《流体力学基础》-第五章

5.1流体运动的一维模型及基本方程

5.1.1一维流动模型所谓一维流动是指流场中所有的流动物理量（例如速度、压力和密度等）只与一个空间坐标系有关的流动。如果此时流动物理量与时间无关，则称为一维定常流，否则为一维非定常流。在自然界和工程实际中，严格的一维流动几乎不存在。但是，如果取流线作为坐标系，那么，沿一条流线或沿微元流束的中心流线的流动，或者沿平面或空间辐射状流线的对称流动则可以认为是比较严格的一维流动。在各种工业管道或槽道中的流动一般都不是一维流动，因为不管过流截面多大，在整个截面上的流动参数分布一般是不均匀的。只有假定截面上的流动参数均匀分布或者按截面平均计算流动参数，才可以将管道或槽道中的流动看成一维流动这种一维流动通常称为准一维流动。下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程在准一维流动中所研究的内容，除了一维流动所要研究的速度、压力等参数沿管道或槽道轴线方向（也就是流动方向）的变化规律等问题外，还要研究由于管道或槽道的过流截面面积流动方向的变化而造成的过流流量、动量、动量矩和能量等的变化情况。5.1.2无黏性流体一维流动的基本方程在这里和以后所说的一维流动均包括准一维流动。对于以流线或微元流束的中心流线为坐标系的一维流动，其基本方程可以通过对第四章已导出的微分形式基本方程的简化得到，对这类问题求解的关键是要根据实际的流动状况来正确选择坐标系和正确运用简化条件。上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程关于变截面管道或槽道中的一维流动，由于要考虑到沿流动方向的过流截面变化的影响，因此，此时的基本方程需要通过对积分形式基本方程进行简化，或者通过微分形式基本方程进行简化后再积分得到。1.连续性方程图5−1所示的是一种沿弯曲的变截面细管中的流动。设管截面上的流动物理量均匀分布（若不均匀分布时取截面平均值），则此流动是一维流动。采用沿流动方向的管轴坐标s，则管道截面面积A=A(s)，沿管轴方向的流体速度V=V(s,t)，流体密度ρ=ρ(s,t)。上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程为建立这种一维流动的连续性方程，取一微元管段ds作为控制体，则控制体体积dτ=Ads，两过流截面均与管轴线垂直，得到积分形式的连续性方程为把此方程用在目前的一维管流情况下，即相当于取τ=dτ=Ads，而V·n=V，因控制体积中只有一个截面允许流体进入，一个截面允许流体流出，截面上的ρ，V为均匀分布，所以上式可以改写为上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程式中，ρVA就是通过管道的质量流量。由于ds很小，在dτ内可视为与ds相同，且从而得到这就是沿变截面细管中可压缩一维非定常流动的连续性方程。上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程2.动量方程积分形式的运动方程也可以用在图5−1所示的一维流动中：取控制体τ=dτ，则有将其代回到积分形式的动量方程，得到上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程式中，ΣFs是作用在控制体dτ内流体上所有外力在轴线s方向上的合力。考虑到ds很小，作用在控制体内流体上的体积力和表面力简化为图5-2所示情况，则ΣFs为式中，取体积力为重力，作用在控制体侧表面上的压力取平均值黏性切应力的平均值为wτ；α是重力方向与管轴线方向ds的交角；θ为ds段管内管壁的扩张角。对于无黏性流动有wτ=0，于是上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程这就是在重力场中，无黏性可压缩一维非定常流动的动量方程。3.能量方程和前面导出连续性方程、动量方程的方法相同，把积分形式能量方程应用到图5−1所示的一维管流，取控制体τ=dτ，则有上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程同时，令∫τρqdτ=0（忽略热辐射等热源项），（单位时间内通过控制面传给流体的热流量），设体积力只有重力，f=g，从而，，根据图5-2中所示几何关系，取z轴竖直向上，则，从而上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程整理后可以得到这就是无黏性流体一维非定常流动的能量方程，式中已忽略辐射热等热源项，并设体积力只有重力。如果令A=const，则为沿流线的一维流动能量方程。4.管道弯曲对流动的影响在前面推导一维流动基本方程的过程中，都只考虑沿管道或槽道轴线的流动。当变截面的管道是一种弯曲管道时，应考虑到在垂直轴线方向上可能产生的流体速度与压力的变化。上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程为了简单地说明弯曲效应，现把问题简化为一种无黏性不可压缩流体在弯曲管道内的定常平面运动，其平面流线如图5−3所示。设流体顺轴线（中心流线）s方向的速度为V，在垂直轴线的r方向上的速度为零，作用在流体上的体积力只有重力，因而，f=g，它在r方向的分量为，其中z是竖直向上的高程。在柱坐标下应用无黏性不可压缩流体的运动微分方程，因注意到此处Vθ=V=V(s,t)，rdθ=ds，因而在r方向和s方向（即θ方向）上有上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程将式（5.15）改写成，它就是沿轴线s（中心流线）的伯努利方程。同时，式（5.14）可改写为如果此平面流动位于水平面内，或者流体的重力可以忽略不计，则式（5−16）变为上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程式（5.17）说明，在弯道的过流截面上，在r方向的压强梯度是由弯曲流动的离心力造成的。或者说，由于离心力的作用，在弯道的过流截面上，流体的压强将从弯道的内侧到外侧逐渐增大。由此产生的结果是，在弯道的过流截面上形成了从外侧沿管壁流向内侧的二次流，它不仅使弯道中流动具有r方向的速度，而且，二次流与沿轴线的主流结合形成的复杂的螺旋流动会造成局部的流动能量损失。如果弯道轴线的曲率半径很大，即在管道或槽道内的流线几乎都是平行的直线，那么式（5−16）或式（5−17）中的r→∞，从而使得在垂直于轴线（中心流线）的过流截面上有上一页下一页返回5.1流体运动的一维模型及基本方程或在流体力学中，常常把管道或槽道内流线几乎都是平行线的那部分流段或区域称为缓变流区域，实际上也就是等直（或接近于等直）截面管道中的流段区域。式（5-18）说明，对于变截面有弯度的管道或槽道中的一维流动，在缓变流区域的过流截面上，压力分布遵循静止流体中的压力分布规律。若忽略重力，则整个过流截面上的压力相等，这个特点给伯努利方程的应用带来很多方便。上一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用5.2.1无黏性流体运动方程的简化利用矢量恒等关系可以将运动微分方程改写为兰姆—葛罗米柯运动方程，即下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用当流体无黏性时，应力张量P=-pI，上式变为式中，ω=∇×V就是流场涡量。现对所考察的无黏性流体运动作两个假定：（1）作用在流体上的体积力有势；（2）运动流体的密度只是压力的函数，即p=f(p)，流场是正压的。换言之，运动中的流体是一种正压流体。根据假定（1），流场中必定存在一个体积力函数U，它的定义为上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用在直角坐标系中，势函数U定义为根据假定（2），可以引入一个正压函数P，它的定义为正压流场主要有不可压缩流场、完全气体的等温流场和绝热流场（无黏性时也就是等熵流场）等。上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用把式（5−21）和式（5−23）代入式（5−20）可以得到5.2.2定常流动的伯努利方程如果流动是定常的，则式（5−24）进一步简化为上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用式（5−25）可以沿一条流线积分。因为在定常流场中的流线形状和位置是不随时间变化的，所以可任取一条流线ψ，设此流线上微元弧长矢量为ds，用ds去点乘式（5−25）两边，即有根据流线定义ds//V，可知[(▽×V)×V]·ds=0，从而得到上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用上式积分后得或式中，ψ表示所选流线。在同一条流线上，积分常数C(ψ)必然相同；对于不同的流线，一般应有不同的C(ψ)值。式（5−26）称为伯努利积分或伯努利定理。它是一种对运动微分方程的首次积分。必须注意的是，积分要成立是有条件的，它包括：①流体无黏性；②体积力有势；③流场正压；④流动定常；⑤沿一条流线。上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用针对不同的流动情况，伯努利积分有更具体的表达式。1.无黏性不可压缩流体的伯努利方程对于不可压缩流体的流动，因为密度ρ=const，所以，正压函数P有具体表达式：若此时体积力只有重力，则f=g=−∇U。选取直角坐标系的z轴竖直向上，则由式（5−22）得到上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用因而，体积力势函数U=gz+const（可略去而不影响结果）。把上述的P和U代入式（5-26）得到或上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用这就是著名的不可压缩流体的伯努利方程。它和上一节从能量方程中得到的式（5-13）在形式上完全相同，这说明对于无黏性不可压缩流体流动，由于流动中不存在热效应，故其由运动方程得到的伯努利方程也是流动的能量方程。必须指出的是，在得到式（5-13）时，假定了流动是一维的，而现在导出的式（5-27）并没有要求流动是一维的，只要求它在一条流线上成立。2.无黏性可压缩流体的伯努利方程对于可压缩的流体，要根据具体流动条件，给出正压函数P的表达式。如果假定可压缩流体是一种比热容为常数的完全气体，且流动绝热（也就是等熵流动），则由等熵关系式p=cρk，得到上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用式中，k为比热比。从而有如果仍然假定体积力只有重力，则可由式（5−26）得到若忽略重力，则为上一页下一页返回5.2不可压缩流体的伯努利方程及其应用式（5-29）称为可压缩流体的伯努利方程。它和式（5-11）在形式上也是完全相同的。这说明对于无黏性的可压缩流动，只有当流动绝热时，由运动方程得到的伯努利方程才与能量方程相同。和式（5-27）一样，式（5-29）的得到也没有要求流动是一维的。上一页返回5.3动量定理及其应用在第4章，由动量定理得到了流体运动的微分方程，利用微分方程组求解问题，可以得到流场中物理量的分布。在本章的前两节中，讨论了运动微分方程在一些特定条件下沿一条流线积分，可得到伯努利方程。利用伯努利方程求解问题，可以得到流动物理量（主要是速度和压力）沿流线各点或沿管道各截面的变化规律，这也是一种一维的分布。在工程中，常常遇到这样一类流体力学问题：它不需要计算流场内每点或管道每个截面上的压力分布，而仅需要计算流体与物体之间总的相互作用力或作用力矩，那么，直接使用积分形式的动量定理或动量矩定理就比使用微分方程式或伯努利积分方便得多。下一页返回5.3动量定理及其应用5.3.1动量方程及其简化在有限体积控制体上建立的关于流体运动的动量定理即在此方程中：①只对惯性坐标系成立，即控制体τ必须相对于惯性坐标系固定；②目前的形式与流体黏性无关，即有黏性影响时也成立；③ΣF是指作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。由于控制体是人为选定的，方程本身又允许τ内流体物理量不连续，所以也允许控制体内尚有其他物体存在，从而ΣF就包括下列两种情况：上一页下一页返回5.3动量定理及其应用式中，R是控制体τ内所含物体对流体的总作用力（反作用力）。式（5−55）是一个矢量方程，可以在选定坐标系下写成标量形式方程。例如在直角坐标系中有上一页下一页返回5.3动量定理及其应用5.3.2动量方程的应用在应用动量方程时需要注意两个关键步骤：第一步要选择好控制体，把要研究的问题集中在控制面上，尽量减少未知量的个数；第二步是正确选择坐标系，尽量减少方程的个数，列标量形式方程时注意外力的作用方向、速度的方向以及它们投影的正负。5.3.3轴流式涡轮机的欧拉方程涡轮机又称透平机。按涡轮机流道中流体的运动方向分，有轴流、径流、混流或斜流等形式。轴流式就是指流体进入和离开叶轮时基本上和转轴平行，如图5−17（a）所示。现在应用动量定理来得到轴流式涡轮机的欧拉方程，它是一个说明其工作原理的基本方程。上一页下一页返回5.3动量定理及其应用如果以轴线为中心，则用一个圆柱面切割叶轮，然后平面展开就成为如图5−17（b）所示的平面翼栅，它由一组形状相同、互相平行的流线型叶片剖面（称为翼型）组成。叶片与叶片间的间距称为栅距，用t表示。由于流动是轴向的，所以只要叶片足够长（高），叶片数量足够多，则每一个圆柱面上的流动都基本相似。因此，取叶片高度方向为1，流动就可以在平面翼栅上按平面流动来分析。取图5−17所示直角坐标系与翼栅固定，只要转速恒定，则此坐标系是一个以牵连速度u平移的惯性坐标系。选取如虚线所示控制体abcd，cd和ab是流动的进口截面和出口截面，ad和bc为相邻叶片通道的中心流线（面）。上一页下一页返回5.3动量定理及其应用设截面cd和ab上流体的平均绝对速度为V1和V2，与叶片运动方向所成的方向角为α1和α2；两截面上的牵连速度都是u，于是可画出进出口速度三角形（如图5−17所示），其中β1和β2称为叶片安装角，它保证相对速度w1和w2与运动叶片面相切。可想而知，随着叶片高度增加，牵连速度会增加，而绝对速度都基本不变，因而，相对速度的变化会造成β角的变化。故为了保证在每一个圆周截面上相对速度与运动叶片相切，就要将叶片沿高度逐渐扭曲。现假定流体在叶片通道中的流动是无黏性一维流动，设进出口截面上的平均压强为p1和p2，作用在两中心流面ad和bc上的压强分布正好反对称，互相抵消，忽略重力，则可以应用动量定理式（5−59）得到轴向（x方向）平衡方程上一页下一页返回5.3动量定理及其应用和轴向（y方向）平衡方程式中，，Rx和Ry分别是单位高度叶片对流体的反作用力分量。单位时间内动叶轮对流体所做的机械功率为化成单位时间内动叶轮对单位重量流体所做的机械功率为上一页下一页返回5.3动量定理及其应用式中，V2u=V2x，V1u=V1x是为了强调说明它们是绝对速度的轴（切）向分量。式（5-62）称为轴流式涡轮机的欧拉方程，H的含义与式（5.41）和式（5-50）中的H相同，即表示流体通过涡轮机时，单位重量流体与涡轮机之间的能量（圆周功率）授受关系。如果H＞0，则表示涡轮机对流体做功，流体获得能量，如轴流压缩机、轴流泵、轴流风机等；如果H＜0，则表示流体对涡轮机做功，推动叶轮等角速度旋转，流体输出能量，如汽轮机、燃气轮机和水轮机等。式（5−62）称为轴流式涡轮机的