二次型求值域题目及答案

二次型求值域题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

二次型求值域题目及答案

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3在何种条件下可以化为标准形？

A.正定矩阵

B.负定矩阵

C.半正定矩阵

D.半负定矩阵

2.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的矩阵形式为？

A.[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]

B.[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]]

C.[[1,0,0],[0,1,1],[0,1,1]]

D.[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的秩为？

A.1

B.2

C.3

D.4

4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的惯性指数为？

A.(3,0,0)

B.(2,1,0)

C.(1,2,0)

D.(0,3,0)

5.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的正惯性指数为？

A.0

B.1

C.2

D.3

6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的负惯性指数为？

A.0

B.1

C.2

D.3

7.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的符号差为？

A.0

B.1

C.2

D.3

8.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的值域为？

A.(-∞,+∞)

B.(-1,1)

C.(-2,2)

D.(-3,3)

9.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最小值为？

A.-1

B.0

C.1

D.2

10.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最大值为？

A.-1

B.0

C.1

D.2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的矩阵形式为_________。

2.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的秩为_________。

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的惯性指数为_________。

4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正惯性指数为_________。

5.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的负惯性指数为_________。

6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的符号差为_________。

7.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的值域为_________。

8.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最小值为_________。

9.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最大值为_________。

10.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的矩阵形式为_________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的矩阵形式可以是？

A.[[1,1,2],[1,2,3],[2,3,3]]

B.[[1,1,1],[1,2,3],[1,3,3]]

C.[[1,0,0],[0,2,1],[0,1,3]]

D.[[1,1,2],[1,2,1],[2,1,3]]

2.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的秩可以是？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的惯性指数可以是？

A.(3,0,0)

B.(2,1,0)

C.(1,2,0)

D.(0,3,0)

4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的正惯性指数可以是？

A.0

B.1

C.2

D.3

5.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的负惯性指数可以是？

A.0

B.1

C.2

D.3

6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的符号差可以是？

A.0

B.1

C.2

D.3

7.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的值域可以是？

A.(-∞,+∞)

B.(-1,1)

C.(-2,2)

D.(-3,3)

8.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最小值可以是？

A.-1

B.0

C.1

D.2

9.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最大值可以是？

A.-1

B.0

C.1

D.2

10.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的矩阵形式可以是？

A.[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]

B.[[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]]

C.[[1,0,0],[0,1,1],[0,1,1]]

D.[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,1]]

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3是正定二次型。

2.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的秩为3。

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的惯性指数为(2,1,0)。

4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正惯性指数为2。

5.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的负惯性指数为1。

6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的符号差为1。

7.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的值域为(-1,1)。

8.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最小值为0。

9.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的最大值为2。

10.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的矩阵形式为[[1,1,2],[1,2,3],[2,3,3]]。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.如何将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3化为标准形？

2.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正惯性指数是多少？如何确定？

3.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的值域是什么？如何求解？

4.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的矩阵形式是什么？如何写出？

5.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的秩是多少？如何求？

6.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的惯性指数是什么？如何确定？

7.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的符号差是多少？如何计算？

8.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3的最小值是多少？如何求解？

9.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3的最大值是多少？如何求解？

10.如何判断二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3是否正定？

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.答案：A

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3对应的矩阵为A=[[1,1,2],[1,2,3],[2,3,3]]。判断其是否为正定矩阵，可以通过计算其特征值，若所有特征值均为正，则该二次型为正定二次型。计算矩阵A的特征值，得到特征值为1,3,5，均为正数，因此该二次型为正定二次型。

2.答案：D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的秩，可以通过行变换将其化为行阶梯形矩阵，得到秩为1。

3.答案：C

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3对应的矩阵为A=[[1,1,2],[1,2,3],[2,3,3]]。计算矩阵A的秩，可以通过行变换将其化为行阶梯形矩阵，得到秩为3。

4.答案：B

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的惯性指数，可以通过特征值判断正负惯性指数，得到惯性指数为(1,1,0)。

5.答案：C

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的正惯性指数，可以通过特征值判断正惯性指数，得到正惯性指数为1。

6.答案：B

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的负惯性指数，可以通过特征值判断负惯性指数，得到负惯性指数为1。

7.答案：D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的符号差，可以通过正负惯性指数之差判断符号差，得到符号差为0。

8.答案：A

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的值域，可以通过特征值判断值域，得到值域为(-∞,+∞)。

9.答案：B

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的最小值，可以通过特征值判断最小值，得到最小值为0。

10.答案：D

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的最大值，可以通过特征值判断最大值，得到最大值为0。

二、填空题答案及解析

1.答案：[[1,1,2],[1,2,3],[2,3,3]]

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+4x1x3+6x2x3对应的矩阵为A=[[1,1,2],[1,2,3],[2,3,3]]。

2.答案：3

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的秩，可以通过行变换将其化为行阶梯形矩阵，得到秩为3。

3.答案：(1,1,0)

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计算矩阵A的惯性指数，可以通过特征值判断正负惯性指数，得到惯性指数为(1,1,0)。

4.答案：1

解析：二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2x1x2+2x2x3+2x1x3对应的矩阵为A=[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]。计