2025北京北师大实验中学高三（下）统练四数学试题及答案

高中2025北京北师大实验中学高三（下）统练四数学2025.6本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.，，且，则实数取值的集合是（）A. B.C. D.2.若复数满足，则复数的虚部是（）A. B. C. D.3.的展开式中，常数项等于（）A. B.15 C. D.204.设向量，若，则（）A. B. C. D.5.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.6.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（）A.或 B.或C.或 D.或8.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为（）A. B. C. D.9.已知且，则下列结论中不正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.B.不是周期函数C.在区间上存在极值D.在区间内有且只有一个零点第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.设是等比数列，，，则______．12.若双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率______．13.无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．14.在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为______．15.已知数列．给出下列四个结论：①；②；③为递增数列；④，使得．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在上的最小值．条件①：的最大值为；条件②：的一个对称中心为；条件③：的一条对称轴为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．18.为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：快递公司A快递公司B快递公司项目份数评价分数配送时效服务满意度配送时效服务满意度292416124756404844402420假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.（1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率：（2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：（3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由，19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且．记，的面积分别为，，求的值．20.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调递减区间；（3）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围．21.已知集合，对于，，定义与之间的距离为．（1）已知，写出所有的，使得；（2）已知，若，并且，求的最大值；（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．

参考答案第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】根据给定条件可得且即可求解作答.【详解】因，，且，则，于是得且，即有或或，所以实数取值的集合是.故选：B.2.【答案】A【分析】根据复数的除法运算及减法运算得，再根据复数的概念即可得到答案．【详解】由，则，所以复数的虚部是．故选：A．3.【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中的次数为，进而求出常数项.【详解】二项式的通项为，即

，令，解得.可得常数项为.故选：B.4.【答案】D【分析】根据向量的数乘公式和模的公式代入即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：D5.【答案】B【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.【详解】因为，所以，即，令，且均为增函数，则不等式为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，又当时，当时，，所以由图像可知：的解集为：，故选：B.6.【答案】A【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可.【详解】一方面：，另一方面：，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得.【详解】设，依题意得，动点到的距离比点到轴的距离的大2，则，即，所以的轨迹方程是或，故选：C8.【答案】C【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式求木质工艺品的体积.【详解】由题意可知：这个木质工艺品的体积.故选：C.9.【答案】D【分析】对A：由对数性质运算即可得；对B：由对数性质运算即可得；对C：借助基本不等式运算即可得；对D：找出反例即可得.【详解】对A：，故A正确；对B：由，则，故，故B正确；对C：由，故，当且仅当时等号成立，由，故等号不成立，即，故C正确；对D：当、时，符合题意，但此时，故D错误.故选：D.10.【答案】D【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误；对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】16【分析】利用等比数列的性质求解即可.【详解】因为是等比数列，所以，又，所以.故答案为：16.12.【答案】①.②.【分析】根据渐近线与标准方程求解.【详解】标准方程的一条渐近线方程为,则,,故.故答案为：，.13.【答案】

（答案不唯一）.【分析】根据是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据是递增数列，可以联想到在上是递增的函数，进而构造出数列.【详解】因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造.故答案为：（答案不唯一）.14.【答案】【分析】利用向量的运算化简，利用基本不等式求最值.【详解】在中，，所以,因为为的中点，所以,又因为为线段上的一个动点，所以，所以,当为线段上的中点时取等号，所以则的最小值为，故答案为：.15.【答案】①②④【分析】利用指数函数的单调性可判定①②③，根据条件递推得，结合不等式性质可判定④.【详解】根据题意可知，因为，所以，即①正确；则，即，故③错误；依次递推有，，，，故②正确；因为，所以，则，依次可知，所以，故④正确.故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）；（2）详见解析.【分析】（1）函数为化简求解；（2）选择条件①由的最大值为，求，再利用正弦函数的性质求解；选择条件②：由的一个对称中心为，求得，再利用正弦函数的性质求解；选择条件③：由的一条对称轴为，实数m的值无法确定.【小问1详解】解：，，，所以函数的最小正周期；【小问2详解】选择条件①：由的最大值为，可知，所以所以，因为，所以，所以当，即时，取得最小值；选择条件②：由的一个对称中心为，可知，所以，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最小值条件③：由的一条对称轴为，实数m的值无法确定，不满足题意；综上：选择条件①：取得最小值；选择条件②：取得最小值选择条件③：实数m的值无法确定，不满足题意；17.【答案】（1）证明见解析（2）（3）相交，【分析】（1）利用面面垂直的性质可证明；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出；（3）根据可判断，再利用空间距离公式求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．【小问2详解】证明：因为平面，平面，所以，又，所以两两互相垂直.如图以A为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.由，可知，，，，，则，，，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，所以，则，易知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【小问3详解】由，得，因为，所以与平面不平行，所以直线与平面相交，在四边形中延长交的延长线于点.点就是直线与平面的交点，易知，所以.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大.（言之有理即可）【分析】（1）从表中读取数据后计算即可得；（2）先得出两个公司分别不低于75分的概率，再由离散型随机变量性质计算即可得；（3）得出各个公司等级情况后，言之有理即可.【小问1详解】调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为，则，故可估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为；【小问2详解】A快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：，B快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：，X的可能取值为0，1，2，，，，故其分布列为：X012P其期望；【小问3详解】A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，“良好”等级占比为，“一般”等级占比为；B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为，“良好”等级占比为，“一般”等级占比为；其中A快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为，B快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为，我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出椭圆的基本量后可求椭圆方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则利用同构可求直线过定点，据此可求面积的比值.【小问1详解】由题设有，而，故，所以，故椭圆方程为：.【小问2详解】由题设的斜率存在且不为零，设其斜率为，则，由可得，故，故，，设的斜率为，同理，，由题设与轴不平行，故设方程为：故，整理得到：，而，故，故，故恒过定点，所以，所以，所以即.20.【答案】（1）（2），（3）【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【小问1详解】当时，，则，所以，曲线在点处的切线方程为，【小问2详解】当时，，所以该函数的定义域为，，由，解得或，所以当时，求函数的单调递减区间为，【小问3详解】因为，则，令，因为函数在区间上只有一个极值点，则函数在上有一个零点，当时，对任意的，，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，因为，只需，合乎题意；当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，只需，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a的取值范围是.21.【答案】（1）、、、；