2025北京北师大实验中学高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京北师大实验中学高三12月月考数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数在复平面上所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（

）A．2 B． C．6 D．4．已知向量，，若，则的值可以为（

）A． B． C．2 D．35．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则（

）A．3 B．4 C．5 D．76．若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（

）A． B． C． D．7．设，若，，，则（

）A． B． C． D．8．如图，四棱锥的所有棱长都等于5，点在线段上，且满足，过三点的平面与交于点，则四边形的周长为（

）A．B．16C．14D．9．已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要10．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．二、填空题11．若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为．12．若，则.13．如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为14．已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为.15．已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论：①；②若为递增数列，则的取值范围是；③存在实数，使得为等比数列；④，使得当时，总有.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；17．在中，(1)求c的值；(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．条件①：；条件②：AB边上的高为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．2019年7月30日国家市场监督管理总局第11次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自2019年10月1日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或不合格品．(1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品．（i）若每次从中随机取出1瓶，共取两次，且取出的罐头有放回，求恰有一次取到优级品的概率；（ii）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验不放回，直到区分出6瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望；(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于（约为0.5256）．直接写出的最小值．19．椭圆的左､右焦点分别为是椭圆C上一点，且（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是y轴上的两个动点(点M与点E位于x轴的两侧)，，直线EM交x轴于点P，求的值.20．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若，求曲线与曲线的公切线；(3)已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.21．正整数列定义如下：，对有，.(1)直接写出；(2)对，若，求的值；(3)证明：每个正整数在数列中出现且恰好出现一次．

参考答案题号12345678910答案BDBACBCACD1．B【分析】求函数的定义域求得集合，进而求得.【详解】对于函数，，所以，所以.故选：B2．D【分析】先利用复数乘法运算和除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义求解即可.【详解】因为，所以复数在复平面上所对应的点为，位于第四象限.故选：D3．B【分析】根据奇函数性质以及时的解析式求解即可.【详解】由于是定义在R上的奇函数，则，由于当时，则，所以，故选：B.4．A【分析】根据向量的加法运算结合数量积公式计算求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，即，解得或.故选：A.5．C【分析】利用抛物线的准线与点的横坐标的关系，求出、横坐标之和，再结合焦点弦长公式计算.【详解】抛物线的准线为，.设、，则、到直线的距离之和为.由题知该和为7，故.根据抛物线焦点弦长公式，.故选：C.6．B【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由题意，直线可化为，当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，由圆的方程知，圆心为，半径，当直线时，取得最小值，且最小值为，如图，此时弦长对的圆心角一半的正切值为，故圆心角为，所以劣弧长为.故选：B.7．C【分析】由对数运算公式可得，由条件结合对数函数的性质可得，结合不等式性质比较大小.【详解】∵，∴，，，∴.故选：C.8．A【分析】通过四棱锥的所有棱长都等于5，确定其为正四棱锥，再结合余弦定理求得，即可求解.【详解】四棱锥的所有棱长都等于5，所以四棱锥为正四棱锥，所以是正方形，因为；又平面，平面，所以平面；又平面平面，所以，所以；因为，所以，所以；中，，所以；同理，所以四边形DEFC的周长为，故选：A．9．C【分析】利用等比数列及递增数列的性质判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义判断即可得.【详解】设的公比为且，，若为递增数列，则恒成立；若对任意有恒成立，则，所以，时，或，显然时，不符；所以，此时，则为递增数列；时，或，显然时，不符；所以，此时，则为递增数列；综上，“对任意有恒成立”是“数列为单调递增数列”的充要条件.故选：C10．D【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为故选：D11．【分析】利用球的截面的性质和勾股定理求得球的半径，然后利用球的表面积公式求解即可.【详解】用平面去截球所得截面圆的半径为3，由球心到该截面的距离为1，则球的半径，所以球的表面积为．故答案为：.12．【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求.【详解】令，则，令，则，所以.故答案为：13．【分析】由图可知，要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．【详解】由题意可知：则，所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，由图形可知：当向量时，向量在向量上的投影最大，即即的最大值为．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．14．【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；②利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值．【详解】函数，其中，是这两个函数图象的交点，当时，．所以函数的交点间的距离为一个周期，高为．所以：．如图所示：①当时，面积的最小值为；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得的最小值为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．①②④【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解.【详解】由得，相减可得，由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，对于①，，故正确；对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，若，则需要，则，故正确，对于③，，若为等比数列，则为常数，则，此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误，对于④，若，只要足够大，一定会有，则，只要足够的大，趋近于0，而，显然能满足，故，当时，总有，故正确，故答案为：①②④【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．16．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值；【详解】（1）如图，连接交于点O，连接，则点O为的中点，且D是的中点，则为的中位线，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点F，因为在正中，D是的中点，故，因为三棱柱为正三棱柱，所以平面ABC，又因为D是的中点，F是的中点，所以，所以平面，所以，，以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．故，，，设平面的法向量为，则，令，则，即．设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值；（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.【详解】（1）由正弦定理及得．所以．所以．又因为，所以．所以．（2）选条件①：因为，且，所以．因为，所以．所以．又因为，所以．所以．又，所以．所以的周长为．选条件②：因为边上的高为，所以．又因为，所以．所以．因为，所以．（1）当时，由，得．又，所以．所以．所以的周长为．（2）当时，由，得．又，所以，不符合题意．综上，的周长为．选条件③：由余弦定理，可得，即。解得或，此时不唯一，不符合要求.18．(1)（i）；（ⅱ）分布列见解析，(2)【分析】（i）根据概率乘法公式求解即可；（ii）由题意可知，的取值可能为2、3、4、5，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（2）设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为，利用独立重复试验的概率公式可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，即可得出的最小值.【详解】（1）（i）设恰有一次取到优级品的概率为，由题知每次取出优级品的概率为，故.（ii）根据题意可知的取值可能为2、3、4、5．则，，，．则的分布列为：345所以．（2）设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为，则，其中，因为，所以在单调递增．注意到，所以，故的最小值为．19．（1）；（2）.【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；（2）设出，根据直角的性质求出N点坐标、E点的纵坐标，进而求出点P坐标，最后利用两点间距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以椭圆方程为；（2）因为M，N是y轴上的两个动点，所以不妨设，，因为点M与点E位于x轴的两侧，所以设,所以，由（1）知，所以，因为，所以，因为，所以，而，所以，解得或，因为，，所以，因此，所以直线EM的直线方程为：，令，得，即，.【点睛】关键点睛：根据直角得到N点坐标、E点的纵坐标是解题的关键.20．(1)当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减(2)(3)【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案；（2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可；（3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可.【详解】（1），当时，在时恒成立，此时在单调递增；当时，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2），，，设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，，此时切线方程为，设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，此时切线方程为，所以，，时两边都是单调的，且时，等号成立，故，公切线方程为；（3），，即，因为的两个极值点为，，所以有两个不同的正数解，所以又，代入解得，，，令，，，所以在单调递减，，故答案为.21．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据数列递推关系式求解即可；（2）结合数列定义有，然后用数学归纳法证明即可；（3）利用数学归纳法证明即可【详解】（1）根据数列新定义可知；（2），下面用数学归纳法证明：当时，由数列定义，且对