2025北京东直门中学高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京东直门中学高三12月月考数学第一部分（选择题）一、选择题：（本题有10道小题，每小题4分、共40分）1.已知集合，那么（）A. B. C. D.2.如果复数的实部与虚部相等，那么（）A. B.1 C.2 D.43.已知，则（）A. B. C. D.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知圆截直线所得弦的长度为1，那么k的值为（）A. B. C.1 D.6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）A. B.3 C.9 D.367.已知菱形的边长为，，则A. B. C. D.8.在中，，则（）A.为直角 B.为钝角 C.为直角 D.为钝角9.如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（）A.两个点 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分10.已知，其中是常数，则（）A.存在实数，使得对任意实数，函数都有零点B.存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点C.对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点D.对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点第二部分（非选择题）二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，的系数是__________．12.若点在角的终边上，则_____.13.已知直线与双曲线没有公共点，那么双曲线的离心率的一个值是_____．14.据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过______天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：，）15.数列，记（且）．现有如下说法：①若数列为等差数列，则；②若数列为等比数列，且数列单调递增，则公比；③若数列为等比数列，且，则公比；④若对任意的且，都有，则数列单调递增．其中所有正确说法的序号是______．三、解答题：（本题有6道小题，共85分）16.已知函数（，）.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.（1）求的解析式；（2）设，，求函数的最小值与单调递减区间.条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.18.某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．（1）估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望．19.已知椭圆过点两点．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．20.已知函数，.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）已知，若有两个极值点，求的取值范围.21.已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表：①对任意，，，…，中有个，1个1；②存在，使得，，…，都是正整数．（1）分别判断数表，是否为规范表；（直接写出结论）（2）当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；（3）当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

参考答案第一部分（选择题）一、选择题：（本题有10道小题，每小题4分、共40分）题号12345678910答案CAABDCDCBB第二部分（非选择题）二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）11.【答案】二项式展开式的通项为（且），令，解得，所以，所以的系数是.故答案为：12.【答案】由点在角的终边上，可得，则.故答案为：13.【答案】由双曲线方程，可得其渐近线方程为，若双曲线与直线没有公共点，则须满足所以离心率，所以离心率可以取一个值.故答案为：(答案不唯一)14.【答案】由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的增长率为，则有，解得，设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只，则有，所以，即，故，所以，故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只．故答案为：54．15.【答案】对于①，若数列为等差数列，设其公差为，则，①对；对于②，若数列为等比数列，设其公比为，则，因为数列单调递增，则，故且，所以，解得或，②错；对于③，，，而，因为，则，当且仅当时，等号成立，③对；对于④，因为，当且仅当，，，，或，，，，，即当或时，又因为，即，故，所以，当且仅当时，等号成立，故数列是不减数列，但不一定是递增数列，④错.故答案为：①③.三、解答题：（本题有6道小题，共85分）16.【答案】（1）为奇函数，故②不能选，选择条件①③：因为函数的最大值为1，所以，即，因为，所以，的值不唯一，故不能选.选择条件①④：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以.选择条件③④：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以，因为函数的最大值为1，所以，即，所以.（2），因为，所以，当，即时，，因为在上单调递减，所以，所以，所以函数在上的单调递减区间为.17.【答案】（1）因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，，平面，所以平面，又底面为正方形，及，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即，令，则，，故，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（3）因为，平面的法向量为，所以点到平面的距离.18.【答案】（1），故均值为29．（2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为，则，则，；．列出的分布列如下：012340.00810.07560.26460.41160.2401．19.【答案】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，．所以椭圆的方程．又，所以离心率．（Ⅱ）设，则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而所以四边形的面积．从而四边形的面积为定值．考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系．【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．20.【答案】（1）由，得，则，又，所以，所以曲线在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，又，当时，在时恒成立，此时在单调递增；当时，令，得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（3），则，因为的两个极值点为，所以的两根为，且，所以，解得.21.【答案】（1）数表，，当时，，，中有个，1个1；当时，，，中有个，1个1；满足条件①；，当时，，，均为正整数，满足条件②，综上B是规范表；数表，，当时，，，中有个，2个1；不满足条件①，则C不是规范表．（2）不存在．用反证法．假设存在规范表满足，令，则；另一方面，根据性质（1）：，即对任意；另一方面，由条件②，存在，使，矛盾．所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表．（3）存在符合题意的规范表．①构造：考虑满足如下条件的数表，其中，并且当时