2025北京二中高三11月月考数学试题及答案

高中2025北京二中高三11月月考数学一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（）A.5 B. C.2 D.3.设，，，则（）A. B.C. D.4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（）A.2 B. C.6 D.5.在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（）A. B. C. D.6.已知非零向量，则“与共线”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在数列中，，，则A. B. C. D.8.将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则函数的（）A.最大值为 B.最小值为 C.一个对称中心为 D.一条对称轴为9.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（）（参考数据：，）A.280 B.300 C.360 D.64010.已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（）A.98 B.99 C.100 D.101二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．12.已知递减的等差数列满足成等比数列，则数列的前n项和的最大值为______.13.设函数.（1）当时，的解集为______；（2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______.14.已知长方体的外接球的表面积为，，点在四边形内含边界，且直线与平面所成角的正切值为，则长方体的体积最大时，三棱锥体积的最小值为______.15.2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，设平面过点且与平行，现有下列四个结论：①当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于；②当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于；③异面直线与所成角的余弦值为；④三棱锥的体积是该“堑堵”体积的.所有正确结论的序号是___________.三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.记的内角的对边分别为，已知，.（1）求及；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.17.在五面体中，平面，平面．（1）求证：；（2）若，点D到平面的距离为，求二面角的大小．（3）在第（2）问条件下，线段上是否存在点M，使得与平面所成的角为．若存在，求的长度，若不存在，请说明理由．18.某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.跑步里程男生女生用样本频率估计总体概率.（1）求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率；（2）从学院所有男生中随机抽取人，从学院所有女生中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望；（3）该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表.月份累计跑步里程平均值（单位：）性别学院男生女生设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由.19.已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．20.已知函数.（注：…是自然对数的底数）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若只有一个极值点，求实数m的取值范围；（3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.21.对于有限正整数数列，若存在连续子列和符号序列，，使得，其中，则称数列存在平衡连续子列．（1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列；（2）设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列；（3）设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列．

参考答案一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案DDCDABADCB二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：.故答案为：.12.【答案】解：因为数列是递减的等差数列，设公差为d，则，所以，即，即①，又成等比数列，所以，即②，联立①②，解得，所以，令，则，解得：，又数列是递减的等差数列，所以从到均大于0，从开始每项都小于0，所以.故答案为：.13.【答案】当时，函数，当时，，即，解得；结合，得当时，即，解得或，结合，得或综上，的解集为；若函数有3个零点，可得在上有一个零点，在上有两个零点，当时，，得，因，故，即当时，在上有一个零点；当时，，这是一元二次方程，需有2个正根，则，解得，综上，a的取值范围是.故答案为：（1）；（2）.14.【答案】设长方体的外接球的半径为，则，即，设，，，则，即，所以，而长方体的体积，当且仅当时，等号成立，所以长方体的体积最大时，，即，所以，，，连接，，交于点，连接，则，由长方体的性质知，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成角，即，在中，，，所以，即点的轨迹是在四边形内含边界，以为圆心，为半径的半圆，过点作于点，因为，所以，所以半圆上的点到距离的最小值为，所以三棱锥体积，即三棱锥体积的最小值为故答案为：15.【答案】对于①，如图，取，，分别为对应边中点，易知四边形是等腰梯形，且高为，当不是中点时，不平行平面，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，.所以①正确；对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积.所以②错误；对于③，将三棱柱补成正方体，为对应边中点，易知为异面直线与所成角或补角，，，所以，所以③正确；对于④，，，所以④正确.故答案为：①③④.三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】（1）由和余弦定理可得.因为为的内角，所以，故，由变形得，由正弦定理得.（2）选择条件①：，由正弦定理得，解得，因为为的内角，所以，故，与相互矛盾，故不存在这样的三角形，所以我们不选择条件①，选择条件②：，因为，，所以，解得，由余弦定理得，化简得，解得或（舍），所以.选择条件③：，因为，所以.因为，所以，由余弦定理得，化简得.解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，所以.17.【答案】（1）证明：平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面，平面，．（2）平面，，平面，平面，，又平面，平面，，又，平面，平面，，，，即，，即，，以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，设，则，，，，解得，设平面的法向量为，平面的法向量为，，，令则，，，令，则，设二面角的大小为，结合图象可知为钝角，，故．（3）设线段上存在点M，使得与平面所成的角为，设，则，则，由（2）知，平面的法向量为，，即，解得，，，线段上是存在点M，使得与平面所成的角为，此时．18.【答案】（1）依题意，解得，所以在中的概率为；（2）学院所抽取的学生中男生有人，其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人，学院所抽取的学生中女生有人，其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人，由题意的可能取值为，，，，，则的分布列为：；（3）设学院女生有人，则男生有人，则，，依题意，即，显然，解得，所以的最大值为19.【答案】（1）因的离心率，且经过点，所以解得，．所以椭圆标准方程为．（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，．设，，则直线的方程为，联立方程组消得，所以点的横坐标为；又直线的方程为联立方程组消得，所以点的横坐标为．由得，则有，则，化简得，解得，因为，所以，所以点的坐标为．20.【答案】（1）（1）当时，，故，故在点处的切线方程为；（2）解：由题意知有且只有一个根且有正有负，构建，则.①当时，当时恒成立，在上单调递增，因为，所以有一个零点，即为的一个极值点；②当时，在上恒成立，即无极值点；③当时，当；当，所以在单调递减，在上单调递增，故，若，则，即.因为，所以当时，，当时，，令，则，故，故在上为增函数.故，故，故当时，有两个零点，此时有两个极值点，当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：.（3）解：由题意知，对于任意的，使得恒成立，则当取最大值时，取到最小值.当时，因为，故当时，的最小值为；当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；当时，由（2）得只有一个零点，即且，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，因为，所以，代入得，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，所以的最小值为.21.【答案】（1）1，2，3.子列1，2，3对应原数列的，，，设符号序列为，，，需满足，其中，，，若取，，，则和为，满足，由于存在连续子列1，2，3，以及符号序列，，均属于，使得符号与对应项乘积的和为0，完全符合“平衡连续子列”的定义（存在连续子列和符号序列，使符号加权和为，综上，子列1，2，3是数列2，1，2，3的平衡连续子列；（2）因为1，3，5，7是奇数，故，所以．因为，所以．因为，所以，所以数列4，2，4，1，4，2，4．因为，所以与奇偶性相同．当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数，所以为奇数．所以．当取时，由（1