2025北京房山区高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京房山高三（上）开学考数学一、单选题1．已知集合M=xx<1, A．−2, −1, 0 B．0 C．2．若复数z满足z⋅i=2+2i，则复数zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．双曲线x24−A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．3x±2y=0 D．4．等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2,a3A．−2 B．−3 C．2 D．35．若a, b∈R, A．a2<b2 B．1a<6．已知函数fx,gx的定义域分别为集合A,B，则“A∩B=∅”是“曲线y=fx与A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．把圆x2+yA．x+12+y+1C．x−12+y−18．若函数fx=sinωx−π4ω>0A．2 B．3 C．4 D．59．生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率f（单位：次/分钟）和体重W（单位：克）的关系模型为lnf=lnk−lnW3，其中A．120次/分钟 B．110次/分钟 C．100次/分钟 D．90次/分钟已知在等腰梯形ABCD中，AB//DC, AB=2, BC=CD=1，2PB−PCA．52, 7 B．332二、填空题11．抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是12．若1−3x5=a0+a113．已知在△ABC中，sin2A=sin2B, a≠b．写出满足条件的一组角A, B14．羡除是我国古代数学著作《九章算术》中记载的一种特殊五面体，其有三条相互平行且不全相等的棱，这三条棱在古算中被称为“三广”．《九章算术》中记载的羡除体积的计算方法简洁而准确，其术文曰：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”现有羡除ABCDEF如图所示，AB//CD//EF．底面ABCD为正方形，EF=4，其余棱长均为2，则该羡除的体积为．15．已知函数fx①当k=0时，函数fx恰有1个零点；②存在负数k，使得f③存在负数k，使得fx恰有3个零点；④存在正数k，使得f其中正确结论的序号是．三、解答题16．在△ABC中，cosC=−(1)求sinB(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．条件①：a=3；条件②：bsin注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分．17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//EF，∠FAD=90°，AB=AF=EF=1，AD=2，M为线段(1)求证：DE//平面BFM(2)若平面ADEF⊥平面ABCD，求CE与平面BFM所成角的正弦值．18．为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下：生产方式工作时间（单位：min）第一种68

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92第二种65

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93假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．(1)从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；(2)从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为X，求X的分布列和数学期望；(3)根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．19．已知椭圆E:x2a2+(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与椭圆E相交于M, N两点，若直线AM与直线AN的斜率之积为−320．已知函数fx=ax2(1)若x0=1时，切线l1与x(2)若fx在x=−2处取得极大值，求a(3)过点A的直线l2与l1垂直，当l1, l2都与x21．已知数列A:a1, a2, ⋯, an, n≥3，集合M=i, j, ki, j, k∈1, 2, ⋯,n, i≠j, j≠k, k≠i(1)给定数列A:0，1，0，1，0，1，0和序列Ω:（1，2，3），（4，5，6），（1，2，7），写出Ω(2)给定数列A:0，0，0，0，0，0，0，请写出一个序列Ω，使得ΩA为1，1，1，1，1，1，1，并求s(3)若项数为n的数列A的各项均为0，证明：存在序列Ω，使得ΩA的各项均为1，并求s

参考答案题号12345678910答案BDCADACBAC1．B【分析】先化简集合M,然后利用交集的运算可求答案.【详解】因为M=xx<1故选：B2．D【分析】由复数除法运算求出z，找出其对应点所在象限.【详解】因为z·i=2+2i所以复数z在复平面内对应点2,−2，位于第四象限，故选：D.3．C【分析】由双曲线方程易求得a=2,b=3【详解】由x24−y2所以双曲线x24−y2故选：C.4．A【分析】由等比中项的定义得到a32=a2【详解】设等差数列an的公差为d因为a2,a即a1整理可得d2因为a1=1，d≠0，所以解得故选：A5．D【分析】利用不等式的性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，若a=−2,b=−1，但a2对于B，由于 a<b且ab>0，则 aab对于C，若a<b<0，此时1a+1对于D，由于ab>0，故ba>0,ab>0，因此b故选：D.6．A【分析】根据充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】充分性：若A∩B=∅，意味着两个函数的定义域没有公共部分.因为函数的交点是在自变量取值相同的情况下，函数值也相同的点，而此时没有共同的自变量取值，所以曲线fx必要性：若曲线fx,gx无交点，有可能存在自变量在A∩B所以不能推出A∩B=∅，必要性不成立.综上，“A∩B=∅”是“曲线y=fx与y=g故选：A.7．C【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程.【详解】圆x2原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到1,1，故得到x−12故选：C8．B【分析】根据正弦函数的对称性可得ωx−π4=k【详解】函数fx=sinωx−π4关于将x=π4代入，得ω⋅π4−π4=k⋅π+因此，ω的最小值为3，所以B正确.故选：B.9．A【分析】由题意可知，ln300=lnk−ln3003，求出【详解】由题意可知，ln300=lnk−若一只小狗的体重为5000克，则lnf=∴3lnf=3ln∴f比较选项，903=729000,所以最接近的脉搏率f=120/min故选：A.10．C【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则A0,0则AP=mAD=12故2PB故2PB由于0≤m≤1，故274≤m−故选：C

11．4【详解】试题分析：抛物线x2=8y的焦点是(0,2),准线方程是考点：抛物线性质.12．−1532【分析】根据题意，由二项式的通项公式，代入计算，即可求得a1，然后再令x=1【详解】二项式1−3x5的展开式的通项公式为T令r=1，则a1令x=1，则a0故答案为：−15；3213．π6【分析】根据sin2A=sin2B,【详解】因为A,B是△ABC的内角，所以A∈(0,则2A∈(0,2又因为a≠b，所以A≠B，所以2A+2B=π或2A+2B=3所以A+B=π所以可取A=π故答案为：π614．8【分析】根据给定条件，利用割补法，结合棱柱、棱锥的体积公式求解.【详解】在平面ABEF中，过A,B分别作EF的垂线，垂足分别为G,H，连接DG,CH，依题意，四边形ABEF为等腰梯形，则AG=BH=B由EF//AB，得AB⊥AG，由正方形ABCD，得AB⊥AD，而AD∩AG=A,AD,AG⊂平面ADG，则AB⊥平面ADG，EF⊥平面ADG，又DG⊂平面ADG，则DG⊥EF，同理CH⊥EF，DG=CF=3等腰△ADG底边AD上的高ℎ=A同理得EF⊥平面BCH，平面ADG//平面BCH，几何体ADG−BCH是直三棱柱，所以该羡除的体积为V=1故答案为：815．①②③【分析】对于①，当k=0时，解方程，得到x=0，故fx恰有1个零点，①正确；对于②③④，令gx=2x−1,ℎx=kx−2，ℎx=kx−2【详解】对于①，当k=0时，fx=2x−1，令f故fx恰有1个零点，①对于②，令fx=0得2x令gx故fx的零点个数等价于g同一坐标系内，画出gx其中ℎx=kx−2当x<0时，gx=1−2x，设过点g'x=−2x故切线方程为y−1−2x0−1−2x令wx=2则w'故wx=2其中w−3=5故存在x2∈−3,−1，使得w当0≤x<2时，结合图象可知，此时k<0，且gx故当k∈−∞,−此时fx恰有1个零点，②对于③，当k∈−2x此时fx恰有3个零点，③对于④，当x=2时，f2当x>2时，gx=2x−1g'x=2x故切线方程为y−2x2−2x2设qx=2故q'故qx=2q3=8ln故存在x3∈3,5，使得q故当k=2x3当0<k<2x3又x>2时，y=2x−1当k>2x3故不存在正数k，使得fx恰有3个零点．④故答案为：①②③16．(1)sinB=(2)315【分析】（1）利用同角公式及正弦定理边化角求解.（2）选择条件①，利用余弦定理、三角形面积公式求解；选择条件②，利用正弦定理求出a，再利用余弦定理、三角形面积公式求解.【详解】（1）在△ABC中，由cosC=−14由 c=2b及正弦定理，得sinC=2sin（2）选择条件①：a=3，由余弦定理c2=a而b>0，解得b=2，所以△ABC的面积为S△ABC条件②：bsinA=3158由余弦定理c2=a而b>0，解得b=2，所以△ABC的面积为S△ABC17．(1)见详细解析(2)1【分析】（1）通过证明DE//MF来证明DE//（2）通过在A点建立空间直角坐标系，采用坐标法求解CE与平面BFM所成角的正弦值．【详解】（1）因为AD//EF，AD=2，M为AD中点，所以DM=EF=1，DM//EF，所以四边形因为DE⊄平面BFM，MF⊂平面BFM，所以DE//（2）因为平面ADEF⊥平面ABCD，AF⊂平面ADEF，且 ∠FAD=90°，即AF⊥AD，所以AF⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD因此可以建立空间直角坐标系，如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，已知AB=AF=EF=1，AD=2，M为AD中点，则各点坐标为：A0,0,0，B1,0,0，M0,1,0，F0,0,1，所以BF=−1,0,1，BM=设平面BFM的法向量为n=x,y,z，则n⋅令x=1，则y=1，z=1，所以n=设CE与平面BFM所成角为θ，根据直线与平面所成角的向量公式，可得sinθ=其中CE⋅n=−1×1+−1×1+1×1=−1所以sinθ=综上，CE与平面BFM所成角的正弦值为13【点睛】18．(1)1(2)分布列见解析，E(3)应该采用第二种生产方式，理由见解析【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可得结果；（2）由古典概型的概率计算公式可计算得到分布列，由数学期望的计算公式可计算出数学期望的值；（3）由比较两组数据的分布情况和比较中位数的大小均可得到结果.【详解】（1）第一组工人中工作时间小于80分钟的有5人，所以从第一组工人中随机抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率为520（2）第一组和第二组工人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数分别为5人和15人，X的所有可能取值为0，1，2，PX=0=C151故X的分布列如下：X012P353X的数学期望EX（3）应该采用第二种生产方式，理由如下：①由所给数据可知，用第一种生产方式的工人中，有75%用第二种生产方式的工人中，有75%②由所给数据可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85+862用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73+74219．(1)x(2)过定点0,0【分析】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可；（2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线l的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出t=0或t=−2k，可求出直线过定点0,0.【详解】（1）由顶点为A2, 0又离心率为12，即ca=因此b2所以椭圆E的方程为x2（2）当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+t，Mx联立x24+显然Δ>0，即8kt2−4且x1则直线AM与直线AN的斜率分别为kAM即可得k=k所以可得4k2+解得t=0或t=−2k；当t=0时，直线l为y=kx，此时直线恒过点0,0，当t=−2k时直线l为y=kx+t=kx−2，恒过2,0，与点A当直线l的斜率不存在时，设直线方程为x=m,m≠2，代入椭圆方程可得y=±3不妨取Mm,则kAM解得m=0，即直线l为x=0，恒过点0,0，当m=2时，直线x=2过点A2,综上可知，直线l过定点0,0.20．(1)−1(2)1(3)−1,1【分析】（1）函数fx=ax2+x+1ex求导得f'（2）由（1）知f'x=ax+1x+2ex，令f'x=0，解得x=−2或x=−1aa≠0，若fx在x=−2处取得极大值，则（3）当a=12时，fx=12x2+x+1ex，f'x=12x2+2x+2ex=12x+22ex，由题知过点A的直线