2025北京汇文中学高三（上）阶段测试三数学试题及答案

高中2025北京汇文中学高三（上）阶段测试三数学1.本试卷共8页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分.2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）A. B.C. D.3.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（）A. B. C. D.4.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.如图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（）A. B. C.1 D.5.，为非零向量，“”是“函数为一次函数”的A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.今年高三的“节”活动引用了漫画《龙珠》.在原著中卡林塔上的猫仙人种植了一种仙豆，可以帮助主角疗伤和增长战斗力.仙豆共有7颗，从小到大可以增加的战斗力构成一个递增的等差数列.在下一场挑战前，主角将7颗仙豆全部吃掉，增加21000的战斗力，击败了“比克大魔王”.如果第3小的仙豆可以增加2700的战斗力，那么最小的仙豆可以增加的战斗力为（）A.1800 B.2100 C.3600 D.39007.将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（）A. B.C. D.8.已知数列满足：，则下列命题正确的是（）A.若数列为常数列，则 B.存在，使数列为递减数列C.任意，都有为递减数列 D.任意，都有9.设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么经过两点、的直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.随的变化而变化10.关于定义域为的函数，下列说法中正确的个数为（）.①存在两个单调递减函数与②存在奇函数与偶函数③存在单调递增函数与偶函数④存在单调递增函数与减函数A.0 B.1 C.2 D.3第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为______12.的展开式中，系数最小的项为__________.13.双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为__________，其焦距为__________.14.如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为__________.15.如图所示，在的长方形区域（含边界）中有两点，对于该区域中的点，若其到的距离不超过到距离的一半，则称处于的控制下，例如原点满足，即有点处于的控制下，同理可定义处于的控制下，给出下列四个结论：①点不处于的控制下；②若处于的控制下，则；③点可以同时不处于的控制下；④图中所有处于的控制下的点构成的区域面积为.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，分别为角的对边，，且.（1）求角的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：为锐角；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.17.如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18.通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示．表1问题类型数学物理化学生物损失函数参考值8.510.39.010.5表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”．表2数学6.465.778.7911.628.13物理9.029.438.6815.1510.497.93化学6.3114.505.987.08生物7.968.7815.2510.9410.038.379.02当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”．假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立．（1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率；（2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望；（3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可）19.已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，．（1）求椭圆的方程；（2）证明：点到直线的距离是定值；（3）求的取值范围．20.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）①求证：只有一个零点；②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.

参考答案第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案BDBABBDDBD第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由题设有，故，故函数的定义域为，故答案为：.12.【答案】二项式的展开式的通项是，展开式中各项的系数为，由二项式系数的性质知的值最大，则展开式中各项的系数中最小，则系数最小的项为.故答案为：.13.【答案】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，则，由，解得，因为，所以，求得，即，由，解得，由正弦定理可得：，则由，得，由，得，则，所以，，所以双曲线的方程为，焦距为故答案为：；.14.【答案】过点作直线，交于点，，如图，，其中是在直线上投影的数量，要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大，观察图形知，当点在线段上时在直线上投影的数量最大，而，由对称性知，，在中，，由，解得，则，所以的最大值为.故答案为：15.【答案】由图知：①设，则，不满足，故错误；②若处于的控制下，则满足，设，则所以，化简得，如图所示：当点P在OCD区域时，的最大值为，故正确；③若点不处于A的控制下，则，即；若点不处于B的控制下，则，即，则成立，则存在点可以同时不处于的控制下，故正确；④由②知，图中所有处于的控制下的点构成的区域为圆和矩形，所以其面积为，故错误；所以其中所有正确结论的序号是②③，故答案为：②③三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）在中，，所以，所以，所以，又，所以，所以；（2）选择条件①：为锐角，由（1），由余弦定理有：，所以，即，解得或，当时，，所以为钝角，不满足题意，当时，，所以为锐角，满足题意，综上，满足条件的存在且唯一确定，所以；选择条件②：，由（1），所以为钝角，且唯一，满足题意，所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，即，解得或，当时，，所以为钝角，满足题意，当时，，所以为锐角，不满足题意，综上，满足条件的存在且唯一确定，所以；条件③：，由（1），所以，由正弦定理得，所以，所以，由正弦定理得，又，所以.17.【答案】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点.所以点为的中点，又因为点为的中点，所以，又平面，平面所以平面（2）因为，为中点，所以，且，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为（3）设，则，，由在平面内可知，即，解得，所以存在点，当时，点在平面内.18.【答案】（1）因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”，所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为；（2）的所有可能取值为，在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，所以，，，，所以的分布列为：0123所以的数学期望；（3）物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为，从小到大排列为：，设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量，则的所有可能取值为，则，所有，为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，只需最大即可，而，故只需令即可，即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科.19.【答案】（1）由，可得①，椭圆经过点，可得，解得，代入①，可得，故椭圆的方程为.（2）依题意，可设直线的方程为，，由，消去，整理得，可得，设，则，因，则，去分母得，化简得.则点到直线的距离为，为定值.（3）因，故，由得，代入上式，整理得，设，则，且代入上式，可得，设，则，且，所以，