2025北京理工大附中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京理工大附中高三10月月考数学2025.10考试时间：120分钟总分：150分一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数，则的虚部是（）A. B. C. D.3.在中，，，，则（）A.4 B.3 C. D.24.函数的图象大致是（）A.B.C. D.5.若实数满足，则的最大值是（）A. B. C. D.6.在中，若，则的形状是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形7.将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（）A. B.C. D.8.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则()A.B.C.直线是图象的一条对称轴D.将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角、、所对的边分别为、、，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.10.如图，四边形中，，，，，则（）A. B. C. D.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.______.12.命题“，为假命题”，则实数的取值范围为______.13.的值域是______．14.已知，则__________．15.设函数，①当时，没有零点；②当时，在区间上不存在极值；③存在实数，使得曲线为轴对称图形；④存在实数，使得曲线为中心对称图形其中所有正确结论的序号是______.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求函数的对称轴和单调递增区间；（2）已知，求的值.17.已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.18.已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.条件①：函数的最小正周期为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为.（1）求的解析式及最小值；（2）若函数在区间上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围.19.在中，分别为角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.20.已知函数，设的图象在处的切线为l：．（1）若，证明：当时，；（2）若有三个零点，，（）．（i）求a的取值范围；（ii）证明：．21.已知集合，，设函数.（1）当时，证明：函数是常数函数；（2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合；（3）当为奇数时，写出函数是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

参考答案一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BDDAACDBCDCB二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】,故答案为：.12.【答案】因为“，”为假命题，所以命题“，”为真命题.即，成立.令,因为，所以是单调递增函数，，所以，即故答案为：.13.【答案】函数的定义域为，则，而，因此当时，；当时，，所以函数的值域是.故答案为：14.【答案】.故答案为：15.【答案】对于①：当时，，定义域为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，综上，当时，没有零点，故①正确；对于②：当时，，则，令，，则，因为，，所以，又，所以，即，所以在上单调递减，无极值，故②正确；对于③：令，因为，所以或，由对称性知，若存在对称轴或对称中心，必在直线上，考虑=，当时，，所以，所以关于对称，故③正确对于④：考虑=，所以不存在实数，使得，即不存在实数，使得曲线为中心对称图形，故④错误；故答案为：①②③三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）由题意得，令，则，所以对称轴为；令，解得，故的单调递增区间为.（2）由于，则，即，而，故，.17.【答案】（1）时，，，，故，所以在点处的切线方程为，即；（2）的定义域为R，，若，恒成立，令得，令得，的单调递增区间为，单调递减区间为；若，令得或，当，即时，令得或，令得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，即时，恒成立，所以的单调递增区间为R，无单调递减区间；当，即时，令得或，令得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为；若，的单调递增区间为，，单调递减区间为；若，的单调递增区间为R，无单调递减区间；若，的单调递增区间为，，单调递减区间为；18.【答案】（1）由题可知，.选择①②：因为，所以，又因为，所以.所以.当，即时，，所以函数的最小值为－1.选择①③：因为，所以，又因为函数的最大值为，所以.所以，当，即时，.所以函数的最小值为.选择②③：因为，所以.又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意.（2）因为，所以，又因为在区间上上有且仅有2条对称轴，所以，所以，所以.19.【答案】（1）解：在中，因为，由正弦定理可得，即，可得,因为，所以，可得，所以，又因为，所以，所以，因为，所以.（2）解：由题意知：，，且，则，根据正弦定理得，可得，所以的周长，因为，所以当，即时，取得最大值，此时，即周长的最大值为.20.【答案】（1）当时，，．对求导得，则．所以切线l的方程为，即，令．对求导得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，所以当时，．（2）（i），显然有，，．①若，则恒成立，所以在上单调递增，所以在上只有一个零点，不符合题意；②若，令得，记其两根分别为，则，，所以，由得，或，由得，，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，所以，，当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，所以在上有唯一零点，为，又，且，所以在上只有一个零点，从而，所以．（ii）由（i）知，且，所以，由（1）知，当时，，所以，整理得，又，所以，得证．21.【答案】（1）当时，，所以是常数函数.（2）设，不妨令，则.若函数是常数函数，则，则，得，所以，得或，，所以或，，同理或，，或，，则①，又，所以集合有，，共2个.（3）不妨令，因为，若函数是常数函数