2025北京清华附中高三（下）统练六数学试题及答案

高中2025北京清华附中高三（下）统练六数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是A. B. C. D.4.已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.75.已知，则符合条件的k的个数为（）A.51 B.52 C.53 D.546.已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（）A.300 B.450 C.600 D.7508.已知函数，则（）A.函数没有零点B.函数有最小值C.在上单调递增D.存在，对任意，有9.如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知奇函数的定义域为，且以6为周期，若，则函数在区间内零点个数的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）12.已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为_____；若在区间上有零点，则的最小值为_______．13.已知正六棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成角的正切值为，则该六棱锥的体积为______.14.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是______．15.已知等差数列满足.对，在区间中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为.下列四个结论中①②为等比数列③④所有正确结论的序号是______.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.在中，，，______.从①，②，③，这三个条件中选一个，补充在上面问题中，使存在并作答：（1）求；（2）求c以及的值.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面分别为的中点，点在线段上.（1）求证：平面；（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.18.在一大型仓库里，存有大量的原料台球，其大小均匀，按红色与白色分为两堆，每种颜色中又有塑料和木头两种材质，对球进行简单随机抽样，获得抽样数据如表：红色白色塑料球木质球塑料球木质球68个136个153个51个（1）估计从仓库所有红色球中随机抽取1个得到塑料球的概率；（2）从仓库所有红色球中依次随机抽取2个，从仓库所有白色球中依次随机抽取2个，估计这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率.（3）若仓库中红色球的个数比白色球的个数少，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，该球为木质球的概率为，比较与的大小关系（结论不要求证明）19.已知椭圆：的一个顶点为，焦距为.（1）求椭圆E的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明.20.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）①求证：只有一个零点；②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.21.若有限数列A：的各项均为正整数，且对，都有，则称数列A具有性质P.将数列A各项之和记为.（1）分别判断下列两个数列：1，6，2，4，3，：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说明理由.（2）若数列A具有性质P，且项数m为6，求的最小值.（3）对具有性质P且项数固定为m的数列A，记的最小值为.判断是否存在正整数使得.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据一元二次不等式化简集合，再根据交集的运算求解即可.【详解】因为或，又，所以.故选：A.2.【答案】D【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应点所在象限.【详解】因为所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限，故选：D.3.【答案】C【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．4.【答案】B【分析】依题意知点P的轨迹为以为圆心半径为1的圆面，则点P到直线的距离最小值为圆心到直线的距离减去半径．【详解】设点，则，圆心到的距离为则点P到直线的距离最小值为故选：B5.【答案】C【分析】利用对数函数的性质求出的范围即可得解.【详解】由，得，则，解得，而，则符合条件的k的个数为53.故选：C6.【答案】B【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的取值范围，进而判定二者的关系.【详解】由，即，即，，可得，即.所以不能推出，而可以推出，所以是的必要不充分条件.故选：B.7.【答案】C【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解.【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以，所以，若，则.故选：C.8.【答案】B【分析】根据判断A；利用导数判断函数单调性、求出函数最小值可判断BC；根据函数没有最大值判断D.【详解】因为函数，，所以函数至少有一个零点，A错误；所以，令，可得，时，在上递减；x>log32log32时故在R上不单调递增，C错误；所以时，有最小值，B正确；因为的增长速度大于的增长速度，所以时，，故不存在，对任意，有，D错误.故选：B.9.【答案】D【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围.【详解】如图，由于，在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，则，要使得点落在指定区域内，则点应落在上，当点在点处时，，当点在点处时，，所以的取值范围是.故选：D.10.【答案】B【分析】由奇函数在处有定义得，由已知有，根据函数的奇偶性和周期性可得答案.【详解】因为为上的奇函数，所以，因为以为周期，所以，，因为为奇函数，所以，所以，所以函数在区间内零点个数的最小值为.故选：B二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【分析】由展开式的通项中令可得.【详解】通项为，令，所以的系数为.故答案为：.12.【答案】①.（答案不唯一）②.4【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值.【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴，所以，解得，又，所以取（答案不唯一）；若在区间上有零点，令，解得，由，故且,又且要求的最小值，故，所以的最小值为；故答案为：（答案不唯一）；13.【答案】【分析】根据给定条件，利用二面角大小，结合正六棱锥的结构特征求出正六边形边心距，再利用锥体的体积公式求解.【详解】令正六棱锥底面中心为，取边中点，连接，则底面，，是侧面与底面所成的角，即，令，则，由，得，该六棱锥的体积.故答案为：.14.【答案】【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可．【详解】由题意得，由抛物线的定义得，所以，由于是锐角三角形，则为锐角，在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角，设点，，则，所以，则，故答案为：．15.【答案】①③④【分析】先分别求出当时的集合，，及，总结出当为奇数时，，，，当为偶数时，，，，计算即可判断①；求出及的值即可判断②；分为奇数和为偶数，即可判断③，先判断前几项，再根据指数型函数和一次函数的增长速度即可判断④.【详解】当时，区间，令，解得，因为，即，所以，，；当时，区间，令，解得，因为，即，所以，，；当时，区间，令，解得，因为，即，所以，，；当时，区间，令，解得，因为，即，所以，，.故当为奇数时，，，，当为偶数时，，，，对于①，因为，，所以，故①正确；对于②，由，，，，可知，公比不相等，所以不为等比数列，故②错误；对于③，当为奇数时，，当为偶数时，，所以，故③正确；对于④，当为奇数时，，显然，，当为偶数时，，显然，，随着的增大，指数函数的增长速度远大于一次函数增长速度，故恒成立，故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）选择①，由，得，矛盾；选择②，由正弦定理化边为角求出，即可求出；选择③，由化简可求出.（2）选择②，由余弦定理求出，再结合面积公式即可求解；选择③，求出，由正弦定理求出，再结合面积公式即可求解.【小问1详解】选择①，在中，由，得，而，则，矛盾，所以这样的不存在.选择②，由及正弦定理得，则，于是，解得，所以.选择③，，而，则，即，又，所以，故.【小问2详解】选择②，由余弦定理得，即，而，解得，所以选择③，，由正弦定理，则，所以.17.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据已知可得平面，所以有，在底面中，可得，，进而有，即可证明结论；（2）设，根据直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，利用向量法求出的值，从而可求出的值【小问1详解】因为侧面底面，，即，侧面底面平面，平面因为平面，因为底面是平行四边形，，因为即，因为分别为的中点，所以平面，平面；【小问2详解】由（1）可知，，又平面，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以,设，则，所以，，易得平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，所以，即，所以，解得，所以，即.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】(1)根据表中数据，结合古典概型求出对应概率；(2)4个球中恰有2个塑料球的情况可以分三种，即从红色球中抽出的2个都是塑料球；或者红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球；或者红色球中抽出的2个都是木质球再结合事件的相互独立性求概率.(3)先分别设出红球白球的个数结合概率公式表示出再作差比较大小即可.【小问1详解】由题知，从所有红色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为．【小问2详解】当所取4个球中塑料球的个数等于木质球的个数时即有两个塑料球两个木质球，因为，所以从仓库所有红色球中随机抽取1个得到木质球的概率，从所有白色球中随机抽取1个，得到塑料球的概率为，从所有白色球中随机抽取1个，得到木质球的概率为，当从红色球中抽出的2个都是塑料球，从白色球中抽的都是木质球时对应的概率为：，当从红色球中抽出的是1个塑料球，1个木质球，从白色球中抽的是1个塑料球，1个木质球时对应的概率为：，当从红色球中抽出的2个都是木质球，从白色球中抽的都是塑料球时对应的概率为：，故当这4个球中塑料球的个数等于木质球的个数的概率为.【小问3详解】设红色球总数为，白色球总数为，已知，从仓库中随机抽取1个球，该球为塑料球的概率为，从仓库中随机抽取1个球，该球为木质球的概率为，，因为，所以，所以，所以.19.【答案】（1）（2），证明见解析【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据即可判断.【小问1详解】依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】依题意过点的直线斜率存在，设，设、，不妨令，由，消去整理得，所以Δ=16k所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，即的中点横坐标为，又，所以20.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解；（2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解.【小问1详解】由题意知，，所以曲线在处的切线的斜率为，又曲线在处的切线方程为，所以，解得；【小问2详解】①：由（1）知，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，所以函数在上存在唯一，使得，即函数在上存在唯一零点.②：由①知，切线的斜率为，又，所以，令，得，设，则，令或，或，所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，当时，，即，由①知，故不符合题意；当时，由，得，即，符合题意，故实数的取值范围为.21.【答案】（1）数列不具有性质，数列具有性质，理由见详解（2）16（3）存在正整数使得，且唯一的为7，理由见详解【分析】（1）根据数列A具有性质P的定义判断即可；（2）用列举法，从数列最小的