2025北京清华附中高三（下）统练四数学试题及答案

高中2025北京清华附中高三（下）统练四数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.在的展开式中，的系数为（）A.10 B. C.20 D.3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（）A. B. C. D.4.在复平面内，复数满足方程，则所对应的向量的坐标为（）A. B.C. D.5.平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（）A. B. C.3 D.66.已知三棱锥中，，E，F分别是SA，BC的中点，，则EF与AB所成的角大小为（）A. B. C. D.7.已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（）A. B. C. D.9.已知半圆C：（），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是（）A. B.C. D.10.美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（）A.若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数B.存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍C.存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过D.将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．11.抛物线的准线方程是______．12.已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为_____13.能说明“若，则”是假命题的一组正实数的值是_____14.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____15.已知无穷数列满足．给出下列四个结论：①若且，则；②若，则中有无穷多项是1；③存在一组，使得单调递增；④中一定存在一项．其中所有正确结论的序号为_____．三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.在中，角所对边分别为，已知：（1）求；（2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积.①；②；③.17.如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点.（1）求证：平面；（2）判断与是否垂直，并说明理由；（3）求与平面所成角的正弦值.18.某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：轮次一二三四五六七八九十第一次分数76898597107第二次分数87910898779若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”.（1）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；（2）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望；（3）假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值，为各轮较低分的算数平均值，为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）.19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值．20.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若是函数的极值点，（i）证明：；（ii）求在区间内的零点个数21.已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；②（1）已知和分别为数列和数列，且，求和；（2）已知正整数数列是数列.（i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，；（ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】D【分析】解不等式得到集合B，由补集和并集的定义求.【详解】不等式，解得，则，所以.故选：D2.【答案】D【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解.【详解】展开式的通项为，令，则的系数为.故选：D.3.【答案】D【分析】根据奇函数的定义：对于任意实数，都有.然后分析每个函数的值域判定即可.【详解】对于函数，定义域为R，，而.因为，所以该函数不是奇函数.对于值域，因为的值域为，所以的值域为R.故A错误.对于函数，定义域为R，，所以该函数是偶函数，不是奇函数，故B错误.对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.对于值域，，，当趋于时，趋于正负无穷，其值域为，不是R.故C错误.对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.对于值域，当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，所以值域为R.故选：D.4.【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到所对应的向量的坐标.【详解】因为，所以，则，所以复数所对应的向量的坐标为.故选：B5.【答案】A【分析】利用向量模的计算公式可求.【详解】因为是线段的中点，故，故，故选：A.6.【答案】B【分析】取的中点G，然后根据异面直线所成角的定义证明（或其补角）是与所成的角，进而求得答案.【详解】取的中点G，连接，如图，又E为的中点，所以，同理可得，所以（或其补角）是与所成的角.取的中点H，连接，则，所以，则，所以与所成的角为.故选：B.7.【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，②当{an}和{Sn}都有最小项，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，Sn＝na1tn2+(a1)n，则或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，故选：B．8.【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.【详解】双曲线的渐近线，双曲线与直线没有公共点，则.又因为双曲线离心率大于1，所以B选项符合题意.故选：B9.【答案】A【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t＝0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[，0）]；故选A．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．10.【答案】B【分析】根据给定的信息，按各选项的条件，结合函数计算判断得解.【详解】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为.对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误；对于B，令，解得，B正确；对于C，，不成立，C错误；对于D，令，解得，即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误.故选：B二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】根据抛物线的性质，求解抛物线的准线.【详解】由，则，准线方程为故答案为：.12.【答案】【分析】首先将的表达式求出来，然后利用正弦函数的单调性求出各自的单调递增区间，进而求得的最大值.【详解】因为，所以将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，所以.当时，单调递增，此时单调递增区间为.当时，递增区间分别为；当时，单调递增，此时单调递增区间为.当时，递增区间分别为；要使得在区间上单调递增，则的最大值为.故答案为：.13.【答案】，（答案不唯一）【分析】要说明命题“若，则”为假命题，等价于找到一组正实数，满足且.【详解】假设命题“若，则”为假命题，只需要找到一组正实数，满足且.根据对数的加法公式可知：.若，则假设，，则所以存在正实数：，使得“若，则”成立，即“若，则”是假命题.故答案为：，（答案不唯一）.14.【答案】【分析】分析该分段函数在各段上的零点情况，将问题转化为直线与在上有一个交点的问题，结合函数的图象即得参数的范围.【详解】当时，由可得，依题意，时，有1个零点，即方程在上有一个实根，也即直线与在上有一个交点.如图作出函数的图象.因在上单调递增，由图可知，此时.综上，实数的取值范围是.故答案为：15.【答案】②④【分析】利用特殊值判断①；根据递推关系找到关系或，当时，通过计算前几项可发现数列具有周期性，周期为6，即可判断②；根据数列周期性与单调递增矛盾判断③；利用不等式关系判断④；【详解】①若且，取，，，不满足小于2，故①错误；②，化简或，当时，通过计算前几项可发现数列具有周期性，周期为6：其中均为1，故存在无穷多个1，②正确；③存在一组，使得单调递增，由②可知，数列周期为6，若单调递增需满足矛盾，③错误；④中一定存在一项，若初始值，则，必然存在小于2的项，④正确.故答案为：②④三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解；（2）若选①，可余弦定理运算可知此时存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦定理可知此时，此时通过余弦定理可唯一解出满足题意，结合三角形面积公式求解即可；若选③，一方面有，另一方面，且，由此可唯一解出，进而也唯一，满足题意，结合三角形面积公式即可求解.【小问1详解】因为所以，即，所以.【小问2详解】若选①，因为，，所以由余弦定理有，整理得，解得，此时存在但不唯一，不符题意；若选②，则，所以此时，由余弦定理有，整理得，解得或（舍去），此时存在且唯一，且；若选③，则，又，且，所以整理得，解得或（舍去），此时存在且唯一，且.17.【答案】（1）证明过程见解析（2）垂直，理由见解析（3）【分析】（1）设的中点为，证明平行于，结合线面平行的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出与所在直线方向向量，判断它们的数量积是否为0即可；（3）分别求出与平面的方向向量、法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解.【小问1详解】由于是对角线的中点.设的中点为，则分别是的中点，故，这就说明是平行四边形，故平行于，而在平面内，不在平面内，故平行于平面；【小问2详解】记的中点为，由于，故，又由于该三棱柱是直三棱柱，且，故平行于.而垂直于平面，故垂直于平面，而均在平面内，故两两垂直.现在以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，故，，从而，这就说明垂直于；【小问3详解】由于，，故.而，，，故，.设是平面的法向量，所以，则.所以，，从而可以取.而，故与平面所成角的正弦值是.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）【分析】（1）该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，由此即可求解；（2）首先求出甲在某一轮中发挥稳定的概率为0.6，从而可知服从二项分布，进一步即可求得分布列以及数学期望；（3）首先求得关于的表达式，进一步即可比较大小.【小问1详解】直接计算知该选手在第1、3、4、5、7、8轮稳定发挥，故；【小问2详解】甲在每轮游戏中“稳定发挥”的概率为，，的可能取值为0，1，2，3，，，这就得到的分布列为0123二项分布的数学期望.【小问3详解】设在第轮中，较高分和较低分分别为和，则，且，，故，且从而.即.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；（2）设，表示出直线的方程，则可求出点的坐标，求出直线和直线的方程，两直线方程联立可求出点的坐标，进而可求出的值．【小问1详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，所以设椭圆方程为，由题意得，解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】由题意得，设，则，得，即，由题意得直线的斜率存在，则，所以直线为，当时，，所以，所以直线的斜率为，因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，所以直线为，当时，由椭圆的对称性，不妨设点为第一象限的点，则，此时直线为，直线为，由，得，即，所以，当时，直线的斜率为，则直线为，由，得，即，所以综上，20.【答案】（1）（2）（i）证明见解析（ii）2个【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案；（2）（i）根据是函数的极值点求出，设，根据的单调性、零点存在定理可得答案；（ii）求出，设，分、讨论，利用导数判断出单调性可得答案.【小问1详解】，，，所以曲线在处的切线方程为；【小问2详解】（i），，由题意，得，设，则有，，且在上单调递增，根据零点存在定理得；（ii）由（i）知，所以，得，，设，则，当时，，故，单调递增，所以，故函数单调递减，，故函数在上无零点；当时，，设，则，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，，故存在，使，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，故，，故函数在上有1个零点.综上所述，在区间内的零点个数为2.21.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii），的全部可能取值为【分析】（1）根据数列的定义分别求解即得；（2）（i）运用反证法，不妨假设为满足