2025北京十一学校高三1月月考数学试题及答案

高中2025北京十一学校高三1月月考数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题4分，共计40分）1.已知全集，若集合，则（）A. B. C. D.2.复数满足，则（）A. B. C. D.3.展开式中的常数项为（）A.7 B. C.14 D.4.已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（）A.－4 B.4 C. D.5.已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.6.在空间中，与是不重合的两个平面，直线平面，直线平面，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（）A. B. C. D.8.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（）A.1 B. C. D.9.已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知为定义在上的函数，且存在，使得，不恒为0．定义，则下列说法正确的是（）A.若，则一定为上的奇函数；B.，使得为上的周期函数，且是它的一个周期；C.若，当在其定义域上存在最大值时，一定存在实数，使得对于；D.若，当时，,记，则方程无正实数解．二、填空题（每小题5分，共计25分）11.设等比数列的前项和为．若，则__________．12.将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同．现从盒中不放回地抽取球．每次抽取一个球，在两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率为__________．13.平行四边形中，，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________．14.已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且，恒成立．若存在，使得成立，则__________；的取值范围为__________．15.如图，在棱长为2的正方体，中，分别为的中点，为底面（不包括边界）上的动点且满足平面，则下列说法中，正确的序号有__________．①存在点，使得平面；②存在点，使得三棱锥的体积为；③存在点，使得；④若点在线段（不包含端点）上运动，则二面角一定为锐角且无最小值．三、解答题（共计85分）16.如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．17.在中，角的对边分别为，．（1）求角的大小；（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积．条件①：；条件②：边上的中线长为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示．表1问题类型数学物理化学生物损失函数参考值8.510.39.010.5表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”．表2数学6.465.778.7911.628.13物理9.029.438.6815.1510.497.93化学6.3114.505.987.08生物7.968.7815.2510.9410.038.379.02当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”．假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立．（1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率；（2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望；（3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可）19.已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程及长轴长；（2）点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：的图象与直线无交点；（3）若方程在上有解，求的取值范围．21.设集合的元素均为实数，若对任意，存在，．使得且，则称元素最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依次类推．．．．．．．（1）设，直接写出集合的“孪生集”；（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：中所有元素之和为；（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，设的所有“级孪生集”的并集为，若；求有序集合组的个数．

参考答案一、选择题（每小题4分，共计40分）1.【答案】C【分析】由补集的概念即可求解.【详解】由题意，若集合，则.故选：C.2.【答案】B【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意，所以.故选：B.3.【答案】D【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.【详解】展开式的通项为，，令，得，则展开式中的常数项为.故选：D.4.【答案】A【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出的值.【详解】根据,得到,则焦点在轴，故渐近线为，则，故.故选：A5.【答案】B【分析】对于A，取即可判断；对于B，由不等式性质以及指数函数单调性即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断.【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，因为，所以，所以，所以，故B正确；对于C，取，则，故C错误；对于D，取，则，故D错误.故选：B.6.【答案】A【分析】根据线线、线面关系结合充分条件、必要条件的定义分两方面说明即可.【详解】因为直线平面，若，则或，所以存在，使得，因为直线平面，，所以，又因为，所以；若直线平面，，则或，若直线平面，则不足以说明，比如让和与的交线平行（假设相交）且不在平面内，此时满足直线平面，平面，但不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可.【详解】作出示意图如图所示：则抛物线的性质，可得，又，所以可得的倾斜角为，则可得，从而.故选：C.8.【答案】C【分析】设圆柱的高为，根据圆柱和球的表面积公式求得，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得的范围，即可得解.【详解】设圆柱的高为，则，所以,酒杯的体积，半球的体积，因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍，所以，解得，又因，所以，所以，当时，的最小值为.故选：C.9.【答案】D【分析】设，求出与圆相切时且时的取值即可得答案.【详解】由题意可知圆心在直线上，设，又因为圆与轴相切，所以，因为当与圆相切时，取最大值，所以当，则，此时，所以，整理得，解得或，因为圆上存在两点使得，所以，即圆圆心的横坐标的取值范围为.故选：D.10.【答案】C【分析】由函数奇偶性得判定易得A错误，对于B，根据周期推导得恒成立，无解即可判断B；对于C，设最大值为，可得，分情况说明有上限即可；对于D，根据周期性可得的值域为，结合零点存在定理即可判断.【详解】对于A，若，则，则，仅，不一定成立，故A错误；对于B，若，使得为上的周期函数，且是它的一个周期，则，即，已知为定义在上的函数，且存在，使得，不恒为0，所以恒成立，所以恒成立，因为，不可能恒成立，矛盾，故B错误；对于C，设的最大值为，则恒成立，即，又，所以，则，当时，，当时，，综上，只要，即可使得对于，故C正确；对于D，，时，，所以，此时，又，所以的值域为，又，，，所以在存在正实数解，故D错误；故选：C.二、填空题（每小题5分，共计25分）11.【答案】93【分析】根据题意求得，结合等比数列求和公式求解即可.【详解】由题意公比，所以，解得，所以.故答案为：93.12.【答案】【分析】利用古典概型概率计算公式计算即可.【详解】当不放回地抽取时，颜色相同的有种情况，其中黑色相同的有种，白色相同的共种，所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率为.故答案为：.13.【答案】【分析】根据向量加减法、数乘的几何意义有，应用数量积的运算律展开，即可求值.【详解】由题设，得如下示意图，，，又，，所以.故答案为：.14.【答案】①.2②.【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得解析式，根据题意，求得周期，可得值，根据，结合正弦型函数的性质，可求得a值，根据x的范围，求得的范围，可得的最值，结合题意，分析即可得b的范围.【详解】由题设，，，由相邻两个对称轴之间的距离为，故，又，即，故，解得．，当时，，此时的最大值为，最小值为，若存在，使成立，则只需，，故的取值范围为.故答案为：2；.15.【答案】②④【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，运用空间向量相关知识，逐一判断每条结论，即可得到结果.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），正方体的棱长为2，各点坐标为：.设点，又，设平面的法向量，则，即，令，可得，所以.又且平面，所以，即，化简得，即点的轨迹是平面内的直线（不包括边界）.分析①：，设平面的法向量为，则，令，得.则有，此时点不在平面内，所以①错误.分析②：由已知得，，设平面的法向量为，则，令，得，则点到平面的距离.由，所以当时存在点使得三棱锥的体积为，所以②正确.分析③：由已知得，则，所以不在点使得，所以③错误.分析④：由已知可设点，且.又，设平面的法向量为，平面的法向量，则，令，得，，令，得.设二面角为，根据法向量和图形，判断得，又，所以为锐角，结合图形观察，取不到最小值，所以④正确.故答案为：②④.三、解答题（共计85分）16.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解；（3）设，根据已知条件及线面角的向量公式列方程求解.【小问1详解】∵四边形为菱形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面和平面的交线为，∴.【小问2详解】取的中点，连接，∵是边长为4的等边三角形，∴，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，由，令，则，，∴点到平面的距离.【小问3详解】假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为．设，则，∵平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为，∴，整理得，解得或，所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为．17.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换得即可求解；（2）选条件①，说明即可说明①不符合题意；选条件②，由余弦定理依次算得即可说明存在且唯一，结合三角形面积公式计算的面积即可；选条件③，，结合以及余弦定理得，解得，故③符合题意.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以；【小问2详解】若选条件①：，则，此时，但这与三角形内角和矛盾，此时不存在；若选条件②：边上的中线长为，设，由题意，，，由余弦定理有，即，解得或舍去，由余弦定理得，，此时存在且唯一，且的面积；若选条件③：，，即，因为，所以由余弦定理有，即，即，因为，所以，即，解得,则，此时三角形是唯一存在的，所以的面积为.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）化学、生物【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；（2）的所有可能取值为，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，求出对应的概率可得分布列，进一步结合期望公式求解期望即可；（3）设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量，的所有可能取值为，计算出对应的概率，进一步得，故只需所选的两科目在该次考试中模型运行“有效”的概率分别是最大和第二大即可.【小问1详解】因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”，所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为；【小问2详解】的所有可能取值为，在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，所以，，，，所以的分布列为：0123所以的数学期望；【小问3详解】物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为，从小到大排列为：，设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量，则的所有可能取值为，则，所有，为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，只需最大即可，而，故只需令即可，即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科.19.【答案】（1）椭圆的方程为，椭圆的长轴长为（2）证明过程见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出即可求解；（2）欲证，只需证明，由题意知斜率存在，设，联立椭圆方程，结合韦达定理得的坐标，求得方程，联立，可得，由题意得，求得方程，联立得，对比，即可得证.【小问1详解】由题意，解得，所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为；【小问2详解】由题意知斜率存在，设，联立与得，，化简得，由韦达定理得，，所以，而直线，从而，因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称，根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称，所以，而，所以，显然，所以，所以直线的方程为，联立与，得，即，化简得，即，因为，所以，所以.20.【答案】（1）（2）证明见详解（3）【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间，结合函数最值分析求解；（3）换元，分离参数整理可得，构建