2025北京四中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京四中高三10月月考数学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.2.已知复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知，则（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知a，b为非零实数，下列不等式一定成立的有（）A. B. C. D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.7.若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.8.在人工智能模型训练中，为避免模型后期震荡，常采用指数学习率衰减策略，学习率与训练轮次T满足公式（其中是初始学习率，k是衰减系数）．已知当训练轮次时，学习率降至初始学习率的；当训练轮次时，学习率为；当训练轮次时，学习率为，那么约为（）A. B. C.10 D.9.已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.函数的定义域为____________．12.已知复数，则____________．13.设是定义在上的偶函数，且，当时，，则____________．14.设函数的导函数为，同时具有下列三个性质的函数可以是____________．（写出一个即可）①；②当时，；③是偶函数．15.记表示不超过实数x的最大整数．设函数，有以下四个结论：①函数为增函数；②函数的图象关于对称；③函数的值域为；④存在实数使得关于的方程有无数多个解．其中，所有正确结论的序号是____________．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值．17.已知函数是定义域为的奇函数，满足．（1）求实数的值；（2）求关于的不等式的解集．18.已知点在椭圆：上.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线于点M，N.当的面积为时，求的值.19.已知函数．（1）求的最小值；（2）求证：；（3）设，已知，求x的取值范围．20.已知函数.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）判断函数的零点个数.（直接写出结论）21.对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．（1）写出集合和；（2）证明：对任意，存在，使得；（3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．

参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）题号12345678910答案ADDDABCAAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】要使函数有意义，只需，解得，且.所以函数的定义域为.故答案为：.12.【答案】，．故答案为：10．13.【答案】是定义在上的偶函数，有，由，设，则，，得，则函数周期为2，所以，故答案为：014.【答案】取，则，满足①；在时成立，满足②，的定义域为，，故是偶函数，满足③.故函数可以是.故答案为：（答案不唯一）15.【答案】对于①，设，当时，当时，恒成立，，所以，即函数为增函数，正确；对于②，函数的图象关于对称，则满足，当时，，不满足，故错误；对于③，当时，，时，；时，，时，，所以的值域中不含元素，故错误对于④，取时，，取，此时与的图象在重合，故有无数多个解，正确.故答案为：①④三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.【答案】（1）由题意有：，所以，所以，所以切线方程为：，即；（2）由，令，得或，由可得或，由可得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以.17.【答案】（1）由可得，即，又，即，解得，即，；（2）由（1）可得在任取，设，即，则，因为，所以，，，即当时，，所以在区间上是增函数．由题意，所以，即，解得．即不等式的解集为.18.【答案】（1）将点代入，解得，所以椭圆的方程为又，离心率（2）联立，整理得设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得：，直线AE的方程为，令，得，即直线AF的方程为，令，得，即所以的面积即，解得或所以的值为或19.【答案】（1）由题得，令得到，在上，，所以在上单调递减；在上，，所以在上单调递增；所以的最小值为.（2）由得到，令，，令，则，令得到，在上，，所以在上单调递减；在上，，所以在上单调递增，由，且当时，,故：当时，，即，所以在上单调递减；当时，，即，所以在上单调递增，所以，即，所以得证.（3）由题得，，则，令，则，在单调递增，，所以在上，，在上，,所以时，函数取得极小值即最小值，，所以，所以函数在上单调递增，，所以当时，成立，当时，成立，当时，，此时函数单调递减，因此，而，可得，综上得到：.20.【答案】解：（Ⅰ）当时，定义域为.因为，所以.令，解得，极大值所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以有极大值，极大值为；没有极小值.（Ⅱ）因为，所以在上恒成立，即在恒成立.设①当时，，不符合题意.②当时，.令,即，因为方程的判别式，两根之积.所以有两个异号根.设两根为，且，i）当时，极大值所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，不符合题意；ii）当时，，即时，在单调递减，所以当时，，符合题意.综上，.（Ⅲ）当或时，有个零点；当且时，函数有个零点.21.【答案】（1），（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可；（2）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立；（3）任取，，可证明，且，，再设集合中的元素个数为，设，设集合，通过证明，，推出，即可完成证明．（1），．（2）对任意，